用“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”探究圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)

江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué)　(211504)

竺寶林

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用“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”探究圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)

江蘇省南京市六合區(qū)程橋高級(jí)中學(xué)(211504)

竺寶林

性質(zhì)1從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上(如圖1)；

性質(zhì)2雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上(如圖2)；

性質(zhì)3拋物線的光學(xué)性質(zhì)：從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸(如圖3).

圖1 圖2 圖3

上述橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)稱為圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，其實(shí)質(zhì)是圓錐曲線的切線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì).

圓錐曲線的統(tǒng)一性除了教材中的統(tǒng)一定義外，利用極限思想，還可以表述為：橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1在平面的有限位置，另一個(gè)焦點(diǎn)F2向右平移到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，橢圓在無限遠(yuǎn)處閉合，在平面有限位置的可見部分變成了拋物線；當(dāng)F2繞過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)又回到平面的有限位置，但F1,F2左右位置關(guān)系反轉(zhuǎn)了，此時(shí)曲線在平面有限位置的可見部分變成了雙曲線的左右兩支.

為了使雙曲線、拋物線與橢圓的光學(xué)性質(zhì)在表述上統(tǒng)一，文[1]提出了“無窮遠(yuǎn)處”和“無窮遠(yuǎn)點(diǎn)”的概念：當(dāng)直線與x軸相交時(shí)，其交點(diǎn)為x軸上一確定的點(diǎn)，當(dāng)直線與x軸平行時(shí)，其交點(diǎn)在x軸的無窮遠(yuǎn)處.具體對(duì)于雙曲線而言，我們可以認(rèn)為，經(jīng)過焦點(diǎn)F1的光線，被雙曲線反射后，經(jīng)無窮遠(yuǎn)處后回到了焦點(diǎn)F2；對(duì)于拋物線而言，焦點(diǎn)發(fā)出的光源經(jīng)拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，經(jīng)過拋物線的無窮遠(yuǎn)處的頂點(diǎn)或焦點(diǎn).

依照上述說法，圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)可以統(tǒng)一表述為：

定理1從圓錐曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過該曲線反射后，反射光線都匯聚到該曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)上.

筆者在研究圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，還得到拋物線的另一個(gè)性質(zhì)：

圖4

性質(zhì)4如圖4，點(diǎn)P(x0,y0)為拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處的切線分別交y軸于點(diǎn)T，過點(diǎn)P作PB∥x軸，交y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)T平分ON.

依照上述研究思路，若把性質(zhì)4中的點(diǎn)O看成是拋物線的一個(gè)頂點(diǎn)A，點(diǎn)B看成“無窮遠(yuǎn)處”的另一個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P與兩個(gè)頂點(diǎn)的連線分別交y軸于點(diǎn)M,N，則可以得到橢圓、雙曲線中類似的結(jié)論：

圖5

性質(zhì)5如圖5，點(diǎn)

圖6

此命題可仿照命題5證得.據(jù)此可得圓錐曲線另一統(tǒng)一性質(zhì)為：

定理2圓錐曲線上任意一點(diǎn)P與左右兩頂點(diǎn)A、B的連線分別交y軸于M、N，點(diǎn)P處的切線交y軸于點(diǎn)T，則點(diǎn)T平分MN.

[1]宋廣志,邢友寶.拋物線的另一個(gè)“頂點(diǎn)”和“焦點(diǎn)”[J].數(shù)學(xué)通訊，2010,10(下半月)：24-25.

[2]王樹茗.何謂無窮遠(yuǎn)點(diǎn)？圓錐曲線為何需要它？[J].數(shù)學(xué)通訊，2011,4(下半月)：39-41.