從學(xué)生的錯(cuò)誤出發(fā)
——由一節(jié)高三復(fù)習(xí)課談起

江蘇省灌云高級中學(xué)　(222200)

卞文輝

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從學(xué)生的錯(cuò)誤出發(fā)
——由一節(jié)高三復(fù)習(xí)課談起

江蘇省灌云高級中學(xué)(222200)

卞文輝

布魯納認(rèn)為知識的學(xué)習(xí)是以已有的有關(guān)知識和經(jīng)驗(yàn)所構(gòu)成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，或者接受比以前更精練的知識，或者修正以前的錯(cuò)誤認(rèn)識.而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，產(chǎn)生錯(cuò)誤是不可避免的.高三一輪復(fù)習(xí)后，學(xué)生對高中數(shù)學(xué)已經(jīng)建構(gòu)了較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R體系，并掌握了一些常規(guī)的解題方法，此時(shí)學(xué)生的解題錯(cuò)誤一般都是因考慮不周所致，善用這些錯(cuò)誤資源，可以增強(qiáng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的解題能力.現(xiàn)以線性規(guī)劃中一個(gè)常見錯(cuò)誤為引例，教會學(xué)生多變量求范圍的一些處理方法，供大家參考.

1.課堂簡錄

1.1錯(cuò)誤展示，修正解答

圖1

圖2

1.2尋找錯(cuò)因，鋪墊后文

師：那么錯(cuò)誤的原因在哪？

師：該錯(cuò)誤中有什么合理之處嗎？

生3：由圖2可知，x,y的取值范圍都是正確的，因?yàn)閤,y確實(shí)都是λ,μ的雙元函數(shù).

師：是的，這是一個(gè)很好的發(fā)現(xiàn)！其實(shí)若只求線性區(qū)域中一個(gè)字母的范圍，我們恰可以用該“錯(cuò)誤”方法來求解.

1.3適當(dāng)引導(dǎo)，探求新法

試題2(2015·浙江文科20題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).

(1)略；(2)已知函數(shù)f(x)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，且0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

生4：由f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在[-1,1]上存在零點(diǎn)，可以按函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)來分類討論：

圖3 圖4

生4：可以把b表示為關(guān)于x,a的雙元函數(shù)來求解.

師：很棒，你來繼續(xù)說說.

生4：易知b=-x2-ax，x∈[-1,1]，但是…(撓頭)但不知道a的范圍，只知道0≤b-2a≤1！

師：是啊，可惜差點(diǎn)就順利了，能想想辦法嗎？

師：很棒！那么這個(gè)復(fù)雜的線性規(guī)劃問題就被我們巧妙地轉(zhuǎn)化為雙元函數(shù)的值域問題，誰來求一下？

師：還有其他方法嗎？

①當(dāng)x=0時(shí)，b=0；

1.4發(fā)散思維，遷移應(yīng)用

試題3(2011·江蘇19改編)已知a,b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx，f′(x)和g′(x)分別是f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù).若f′(x)g′(x)≥0在區(qū)間Ⅰ上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間Ⅰ上單調(diào)性一致.

(1)略；(2)設(shè)a<0,b≤0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a,b為端點(diǎn)的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求a-b、a2-b2的取值范圍.

師：對于上述問題，誰來求一下？

圖5

師：請大家再思考一下，哪位同學(xué)來講一講？

師：很棒，通過本題我們體會到線性規(guī)劃問題實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)雙元函數(shù)，我們解題時(shí)可以根據(jù)題目特征，靈活選用合適的手段來求解.

3　課后感悟

高三二輪復(fù)習(xí)就是要把學(xué)生缺漏的知識修補(bǔ)起來，孤立的聯(lián)系起來，雜亂的條理起來，讓學(xué)生形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，承上啟下，是促進(jìn)知識靈活運(yùn)用、發(fā)展學(xué)生思維水平、提高綜合能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期.

3.1由實(shí)際學(xué)情主導(dǎo)教師選題.

在高三的二輪復(fù)習(xí)中，主要任務(wù)就是在已有知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上修正以前的錯(cuò)誤認(rèn)識.我們復(fù)習(xí)的服務(wù)對象是學(xué)生，因此教師必須了解學(xué)生在各知識塊、數(shù)學(xué)方法等方面的最新發(fā)展情況，對待錯(cuò)誤，更要分析學(xué)生的錯(cuò)誤原因、指出錯(cuò)誤步驟、解釋清楚，不能輕描淡寫，一語帶過.而且此時(shí)的錯(cuò)誤大多都是學(xué)生一再重復(fù)的、根深蒂固的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤在某些方面邏輯甚至是正確的，只是考慮的不夠全面.

如題目1錯(cuò)誤解法中對變量x,y各自范圍的求解本身恰是正確的.針對這種錯(cuò)誤，教師可以根據(jù)學(xué)情，精心設(shè)計(jì)學(xué)案，在課堂上修正錯(cuò)誤的同時(shí)，進(jìn)而利用錯(cuò)誤的價(jià)值來解答其它問題，如題目2，正是用了學(xué)生錯(cuò)誤的“合理之處”回避了復(fù)雜的討論與精確的畫圖，從而化繁為簡.在改編題目3時(shí)教師“別有用心”地增加了求a2-b2的取值范圍.不難看出本題的改編有助于學(xué)生進(jìn)一步把握各知識點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系，加深對知識的理解.

3.2由學(xué)生探究建構(gòu)高效課堂.

人人都希望展示自己的能力和成就，并得到他人的認(rèn)可，馬斯洛認(rèn)為，被肯定的需要是人的一種“擬本能”需要，被肯定需要若得到滿足，能使人對自己充滿信心，對事業(yè)滿腔熱情，做事更有效率，從而體驗(yàn)到實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值的幸福感.高三學(xué)生同樣有被肯定的需要，還具有較強(qiáng)的思維力.在教師精心預(yù)設(shè)的情況下，由學(xué)生自主探究解題途徑，有助于樹立學(xué)生解題信心，保持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)習(xí)效率并獲得滿足感，最終讓數(shù)學(xué)課堂更有實(shí)效.

3.3由獨(dú)立思考發(fā)散學(xué)生思維.

線性規(guī)劃問題本質(zhì)上就是一個(gè)雙元函數(shù)，但學(xué)生受知識水平限制很難體會，教師也很難在語言上把兩者的關(guān)系介紹清楚.孔子有云：“不憤不啟，不悱不發(fā)”，高三的二輪課堂更應(yīng)如此，學(xué)生如果不經(jīng)過思考并有所體會，就不去開導(dǎo)他；學(xué)生如果不是經(jīng)過冥思苦想而又想不通，就不去啟發(fā)他.題目3給予學(xué)生充足的再思考時(shí)間和空間，通過獨(dú)立思考體會數(shù)學(xué)各個(gè)知識模塊之間的內(nèi)在聯(lián)系，教師最后適時(shí)點(diǎn)評，畫龍點(diǎn)睛，力求讓學(xué)生形成系統(tǒng)化、條理化的知識框架，體會解題的靈活性和變通性.

總之，高三的二輪復(fù)習(xí)，教師的備課更要立足學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，精心設(shè)計(jì)學(xué)案，根據(jù)學(xué)生當(dāng)前的知識儲備、認(rèn)知規(guī)律，善待學(xué)生的解題錯(cuò)誤，讓學(xué)生思維發(fā)展得更流暢.

[1]梁寧建．當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)[M]：上海教育出版社，2014.