由阿波羅尼斯圓看研讀教材的重要性

安徽省合肥市第一中學(xué)　(230601)

時英雄

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由阿波羅尼斯圓看研讀教材的重要性

安徽省合肥市第一中學(xué)(230601)

時英雄

例1(2006高考四川卷)已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動點(diǎn)P滿足條件|PA|=2|PB|,則點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于().

(A)π(B)4π(C)8π(D)9π

試題賞析：本題主要考查對阿氏圓的理解，一個比較簡單求軌跡問題，求出軌跡是圓，算出半徑，進(jìn)而得到面積.

解：已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0)，如果動點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，則(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2]，即(x-2)2+y2=4，所以點(diǎn)P的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選B.

試題賞析：本題是一道解三角形的問題，一般的思路就是利用余弦定理，再利用面積公式，最后轉(zhuǎn)化成求解最值問題，但如果能利用好阿氏圓的定義，形數(shù)結(jié)合，就能非常巧妙快速地得出答案.

例3(2005高考江蘇卷理)如圖1,圓O1與圓

圖1

試題賞析：本題其實(shí)就是阿氏圓的一個變形，將阿氏圓中的兩個定點(diǎn)都膨脹為圓，然后建立平面直角坐標(biāo)系，利用圓的切線的性質(zhì)求出動點(diǎn)P的軌跡方程.

(A)4(B)8(C)16(D)32

圖2

解：如圖2，∵拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F(2，0)，準(zhǔn)線為x=-2，∴K(-2，0).設(shè)A(x，y)，由|AK|=

例5(2013高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.

(1)若圓心C也在直線y=x-1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；

(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

試題賞析：注意到第(2)問中MA=2MO，故M點(diǎn)的軌跡是阿氏圓，又M是圓C上的點(diǎn)，所以問題轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)，即相交或相切，然后由兩圓位置關(guān)系可順利解決此題.

解:(1)略.

問題溯源

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修2人民教育出版社A版(下稱教材)在定義圓的時候就是給出的傳統(tǒng)定義，即平面上到一個定點(diǎn)的距離等于定長的動點(diǎn)的軌跡為圓，阿氏圓書本沒有直接提出，但是在書中有三處體現(xiàn)，可見其重要性，而且，只要認(rèn)真研讀了教材，就不會陌生，如：

(1)教材第124面習(xí)題4.1B組第3題:

(2)教材第140面信息技術(shù)應(yīng)用,用幾何畫板探究點(diǎn)的軌跡：圓:

(3)教材第144面復(fù)習(xí)參考題B組第2題:

已知點(diǎn)M(x,y)與兩個定點(diǎn)M1,M2距離的比是一個正數(shù)m，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1兩種情形).

教學(xué)啟示

1.立足教材,把握高考.

教材是老師上課之本，學(xué)生學(xué)習(xí)之本，更是高考命題之本，高中數(shù)學(xué)課本是經(jīng)過資深專家們深思熟慮、千錘百煉而成，汲取了幾十年課程改革的經(jīng)驗(yàn).有很多的思考題，探究，習(xí)題為學(xué)生提供了豐富的具有思想性、實(shí)踐性、挑戰(zhàn)性的反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的選學(xué)材料，拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)活動空間，發(fā)展學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)的意識，重視課本習(xí)題潛在功能的挖掘和利用，不僅要弄懂課本提供的知識和方法，還要弄清定理、公式的推導(dǎo)過程和例題的求解過程，揭示例題、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題之間的聯(lián)系和變換.因?yàn)榭键c(diǎn)在書中，試題在書外，源于課本又高于課本，因此要順利解答此類題目，必須在掌握課本方法的基礎(chǔ)上向外拓展，進(jìn)行深挖，在教學(xué)和復(fù)習(xí)時不可脫離課本，堅持“以本為綱”，數(shù)學(xué)教學(xué)中，要夯實(shí)基礎(chǔ)，不要一味的追求解題的難度，以不變應(yīng)萬變.

2.變式探究，提煉思想和方法.

在日常的教學(xué)中，需要老師能靜下心來，對教材認(rèn)真研讀，深度挖掘，不盲目跟風(fēng)，課本是試題之源，只要我們能反復(fù)研究，在平時的教學(xué)中注重變式訓(xùn)練，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展不拘一格的意識，而且通過變式來透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，一舉切中要害，更重要的是，還可讓學(xué)生也可從書山題海中解放出來，并使其邏輯思維水平與形象思維水平得到真正的提高，而這也是新課標(biāo)體系所要求的.課本習(xí)題一般都具有典型性、示范性和遷移性，它們或是滲透了某些數(shù)學(xué)方法，或體現(xiàn)了某些數(shù)學(xué)思想，或提供了某些重要的結(jié)論，因此應(yīng)充分認(rèn)識例習(xí)題本身蘊(yùn)含的價值，掌握其中的通性通法.只有平時教學(xué)重視思想的滲透，才能讓學(xué)生在高考選拔中脫穎而出.

3.研習(xí)(高中、大學(xué))教材、高考競賽試題和經(jīng)典名題，提升教師自身素養(yǎng).

由試題的背景也可看出，近年來越來越多的命題者在命題時注重了改造經(jīng)典定理，將數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)史、高等數(shù)學(xué)知識融入試題中，如最近幾年高考題中出現(xiàn)的哥達(dá)畢拉斯學(xué)派的形數(shù)研究、回文數(shù)、角谷猜想、斐波那契數(shù)列、狄利克雷函數(shù)、阿波羅尼斯圓、數(shù)書九章中的問題，很多省市高考題用到的高等數(shù)學(xué)中的伯努利不等式，拉格朗日中值定理，函數(shù)拐點(diǎn)，駐點(diǎn)，不動點(diǎn)，凹凸性等背景，“給學(xué)生一碗水，自己必須有一桶水”，這些都需要教師在平時的教學(xué)中，能夠?qū)@些背景有一點(diǎn)了解及給學(xué)生灌輸這方面的知識，熏陶學(xué)生心靈，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情.也豐富了我們?nèi)粘＝虒W(xué)的內(nèi)涵.