猜　　想·論　　證
——一類圓錐曲線問題的處理與分析

江西省九江第一中學(xué)　(332000)

楊艷萍

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猜想·論證
——一類圓錐曲線問題的處理與分析

江西省九江第一中學(xué)(332000)

楊艷萍

圓錐曲線中求范圍、定點(diǎn)、定值的問題，由于其難度大、計(jì)算復(fù)雜等特征，一直是高中生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).很多時(shí)候?qū)W生有想法，能夠設(shè)計(jì)出有效解題方案，但在繁雜的計(jì)算過程中卻因筆誤、計(jì)算失誤等原因?qū)е聛G分嚴(yán)重.如果通過對(duì)題目條件的解讀，能夠利用特例或運(yùn)動(dòng)極限觀快速猜測(cè)出答案，則為構(gòu)建解題思路和解題技巧提供了方向，還可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)并糾正計(jì)算過程中的種種失誤、有效減少出錯(cuò)，從而提高解題的準(zhǔn)確率.

1.用特例或運(yùn)動(dòng)極限觀解答圓錐曲線中求范圍、定點(diǎn)、定值問題的基本思路

(1)利用特例解答圓錐曲線中求范圍、定點(diǎn)、定值問題

基本思路：特例?猜測(cè)結(jié)果?檢驗(yàn)結(jié)果?得出結(jié)論;

(2)利用運(yùn)動(dòng)極限觀解答圓錐曲線定點(diǎn)、定值問題

基本思路：極限位置?猜測(cè)定點(diǎn)(值)?檢驗(yàn)定點(diǎn)(值)?得出結(jié)論.

2.用特例或運(yùn)動(dòng)極限觀解答圓錐曲線中求范圍、定點(diǎn)、定值問題的優(yōu)點(diǎn)

(1)由特例或極限位置能夠快速猜測(cè)到結(jié)果，提高學(xué)生解答本題的自信心；

(2)檢驗(yàn)結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)與猜測(cè)結(jié)果不吻合，可以立刻重新計(jì)算或重新思考，有效杜絕因筆誤、計(jì)算失誤而導(dǎo)致的丟分，從而提高準(zhǔn)確率.

一、利用特例解答圓錐曲線定點(diǎn)、定值問題

例1(2016高考全國卷)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

圖1

圖2

(取特例)②，如圖2，直線l與x軸重合;易得|MN|=2a=4，|PQ|=

圖3

(1)求橢圓E的方程；

(2)(分析)常規(guī)方法解答此題，學(xué)生無從下手，很茫然，不知道怎樣將P，Q兩點(diǎn)關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)式；如果取直線l的特例，猜測(cè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，將抽象的點(diǎn)Q轉(zhuǎn)化為具體的點(diǎn)Q再進(jìn)行證明，學(xué)生就有一種撥開云霧見青天的感覺.

(取特例)①當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn).

(猜測(cè)定點(diǎn))所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q(0,2).

圖4

(檢驗(yàn)定點(diǎn))下面證明：

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由特例可知，結(jié)論成立.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2.設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M(m,0)，求m的取值范圍；

圖5

圖6

二、利用運(yùn)動(dòng)極限觀解答圓錐曲線定點(diǎn)、定值問題

圖7

例5已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(0,-1),(0,1)，且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m≠0)．

(1)求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程，并判斷軌跡E為何種圓錐曲線；

-mx2+y2=1(m≠0).

當(dāng)m<-1時(shí),軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，且除去(0,1),(0,-1)兩點(diǎn)；

當(dāng)m=-1時(shí),軌跡E表示以(0,0)為圓心半徑是1的圓，且除去(0,1),(0,-1)兩點(diǎn)；

當(dāng)-1

當(dāng)m>0時(shí),軌跡E表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，且除去(0,1),(0,-1)兩點(diǎn).

圖8

(猜測(cè)定點(diǎn))直線MQ與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)(2,0).

圖9

(得出結(jié)論)直線MQ過定點(diǎn)(2,0).