基于概念本質(zhì)催生類比思維的本原課堂探究
——以公開(kāi)課《從圓到橢圓》為例

江蘇省南通市天星湖中學(xué)　(226010)

葛建華

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基于概念本質(zhì)催生類比思維的本原課堂探究
——以公開(kāi)課《從圓到橢圓》為例

江蘇省南通市天星湖中學(xué)(226010)

葛建華

在對(duì)圓和橢圓的系統(tǒng)學(xué)習(xí)后，我們發(fā)現(xiàn)這兩種圖形存在著許多驚人的相似性，究其原因，其實(shí)都緣于它們的“圓”味.基于對(duì)兩者的研究，筆者設(shè)計(jì)了這樣一堂從探尋聯(lián)系兩者概念本質(zhì)出發(fā)，類比研究相關(guān)知識(shí)與問(wèn)題的公開(kāi)課，體會(huì)幾何圖形的性質(zhì)都源于其本質(zhì),借以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的鑒賞能力和培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

1.新課引入，緣于“圓”味

上課伊始,筆者借助幾何畫(huà)板,制作了圓與橢圓的變換動(dòng)畫(huà),讓學(xué)生感受兩者間的某些聯(lián)系,并進(jìn)行思考.

師:在我們學(xué)習(xí)了圓和橢圓,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)它們之間有些相似的地方,那到底有哪些相似之處?

生1:感覺(jué)它們都是“圓”的,其他好像只可意會(huì)不可言傳.

師：很好！它們都有“圓”味.其實(shí)這緣于它們的本質(zhì)屬性，我們可以先從兩個(gè)圖形概念本質(zhì)來(lái)研究，看看它們的概念本質(zhì)上有何相似之處？

生2：從兩個(gè)圖形的定義看都有兩個(gè)不同的表現(xiàn)形式.定義1：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡；而橢圓是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定長(zhǎng)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡.定義2:圓是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之比為定值λ(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)的軌跡(阿波羅尼斯圓)；而橢圓是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e(0

2.師生探究，多角度類比

2.1本質(zhì)聯(lián)想其他類比

師：還可以從哪些方面來(lái)研究它們的聯(lián)系和統(tǒng)一性呢？

生3：從它們的產(chǎn)生、兩圖形的變換、方程等角度研究.

引導(dǎo)學(xué)生思考，很快發(fā)現(xiàn)了圓與橢圓的一些內(nèi)在的相似性：

2.2結(jié)論類比：由圓類比出橢圓中性質(zhì)

師：既然它們有如此眾多的聯(lián)系，那我們就可以借助類比推理來(lái)嘗試，看能否將圓中的一些結(jié)論推廣到橢圓中？從圓中我們比較熟悉的性質(zhì)開(kāi)始來(lái)研究橢圓，那么圓中有哪些方面的性質(zhì)？

生4：圓的弦和切線有很多性質(zhì).

師：在圓中與弦有關(guān)的結(jié)論有哪些?(中點(diǎn)弦、相交弦)

生5：(圓中結(jié)論1)AB是圓O的弦，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，且AB和OM都不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，則有kAB·kOM=-1.(如圖1)

圖1 圖2 圖3

師：如果將弦AB移動(dòng)，我們會(huì)想到移到何處呢？那又有什么樣的結(jié)論？應(yīng)怎樣得到？

此結(jié)論，學(xué)生類比運(yùn)用結(jié)論1的做法很快得到了證明.

圖4 圖5 圖6

師：將弦AB所在直線l可以再平移到何特殊位置？

生7：可以平移到使得A、B、M三點(diǎn)重合，那么我們就得到了橢圓的切線，這時(shí)橢圓切線有何性質(zhì)？當(dāng)然仍然先回到圓中來(lái)研究.(圓中結(jié)論3)如圖5，直線l與圓O相切于點(diǎn)P，且OP與l都不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，則kOP·kl=-1.

師：既然切線有這樣的性質(zhì)，那么我們還會(huì)有何發(fā)現(xiàn)或想法？

學(xué)生的思維似乎活躍起來(lái)，都有自己的猜想

生8：橢圓的切線方程與圓的切線方程有相似的地方.(圓中結(jié)論4)如圖7，點(diǎn)P(x0,y0)為圓x2+y2=r2上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.

師：那么，能否類比圓得到橢圓上一點(diǎn)處的切線方程呢？說(shuō)說(shuō)怎么得到的？怎樣給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明？能推廣到一般情形嗎？

圖7 圖8

但對(duì)于證明似乎學(xué)生就無(wú)法順利得到了，于是老師進(jìn)行了追問(wèn)：圓中可以通過(guò)哪些方法研究得到切線方程，橢圓是否可以借鑒呢？

生10：直接求斜率，不過(guò)要分類討論，利用d=r得到；也可以聯(lián)立方程組，利用Δ=0來(lái)求.

師：很好，注意到了分類討論，但在橢圓中無(wú)法利用這種垂直關(guān)系，所以只能從代數(shù)角度研究，即分類討論，聯(lián)立方程組，消元利用Δ=0來(lái)求.

此處我們發(fā)現(xiàn)兩者在研究方法上具有相似性，都可以借助代數(shù)角度來(lái)解決，即利用Δ=0來(lái)解決，但圓中能借助垂直條件來(lái)解決的，在橢圓中則不行，很多時(shí)候只能利用方程來(lái)解決.

點(diǎn)評(píng)：類比是科學(xué)研究中常用的一種思維方法，運(yùn)用此法我們得到了橢圓與圓有如此之多的相似性質(zhì).當(dāng)然橢圓也有其獨(dú)特性，并非所有的圓的結(jié)論都可以類比到橢圓，如相交弦定理，當(dāng)橢圓中相交弦的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，相交弦定理在橢圓中才成立.因此在類比時(shí)也要注意科學(xué)合理，結(jié)論的正確與否一定要嚴(yán)謹(jǐn)檢驗(yàn)或邏輯證明.

2.3方法類比：由解決圓問(wèn)題的方法類比研究橢圓問(wèn)題

根據(jù)圓與橢圓的共性，筆者例舉兩道關(guān)聯(lián)問(wèn)題(定義法求軌跡).

圖9

問(wèn)題1如圖9，P為圓B:(x+2)2+y2=36上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,0)，線段AP的垂直平分線交直線BP于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

圖10

解析：設(shè)F2M交F1P延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連結(jié)OM，則F2N是∠F1PF2外角平分線的垂線，所以PF2=PN，而PF1+PF2=2a，因此PF1+PN=F1N=2a，又OM是三角形F1F2N的中位線，所以O(shè)M=a，故可知點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓，其方程為x2+y2=a2.

點(diǎn)評(píng)：注意比較與問(wèn)題1的聯(lián)系，其實(shí)問(wèn)題2是問(wèn)題1的逆向問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)到圓與橢圓可能還有其他很多方面的聯(lián)系，也增強(qiáng)學(xué)生繼續(xù)探索下去的興趣.兩個(gè)問(wèn)題告訴我們遇到軌跡問(wèn)題首先考慮用定義看軌跡是否為所學(xué)圖形，否則再考慮用軌跡法，設(shè)點(diǎn)解決.

3　拓展研究，多角度解題

圖11

對(duì)橢圓問(wèn)題的解決我們有時(shí)會(huì)顯得力不從心，如果換個(gè)角度，先研究解決圓的類似問(wèn)題，從中探究出解題的出路，再遷移到橢圓上，嘗試用解決圓問(wèn)題的方法來(lái)解決橢圓的問(wèn)題那又會(huì)如何呢？因此筆者編了兩道拓展研究題讓學(xué)生親身體驗(yàn)“圓”的世界，享受緣于“圓”味的快樂(lè).

拓展研究如圖11，圓O：x2+y2=1與x軸交于A1、A2兩點(diǎn)，P是圓O上異于A1、A2的任意一點(diǎn)，直線PA1交直線l:x=3于點(diǎn)M，直線PA2交直線l于點(diǎn)N，求證：以MN為直徑的圓C總過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

引導(dǎo)學(xué)生分析此題為定點(diǎn)問(wèn)題，問(wèn)題的本質(zhì)就是要求出以MN為直徑的圓C的方程，設(shè)動(dòng)直線求交點(diǎn)M、N，還是設(shè)動(dòng)點(diǎn)再表示出直線是兩種不同的思路，然后讓學(xué)生分別用兩種不同的思路解題.

拓展探究類比橢圓中也有類似的結(jié)論嗎？試編出這樣一道關(guān)于橢圓的一般性問(wèn)題！

學(xué)生類比圓不難得到類似的結(jié)論：

圖12(1) 圖12(2) 圖12(3)

點(diǎn)評(píng)：從上述研究問(wèn)題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)解決了圓的問(wèn)題，橢圓的問(wèn)題似乎就沒(méi)有什么難度了，再難的橢圓的問(wèn)題若能運(yùn)用類似的方法將會(huì)柳暗花明.

4　反思提升

通過(guò)本課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生總結(jié)我們研究問(wèn)題的一般思維模式：

圖13

由于學(xué)生的探索熱情，還有很多想法，鑒于上課時(shí)間關(guān)系，所以下面的拓展研究將作為學(xué)生課后的微課題研究.

圖14

微研究如圖14，圓O:x2+y2=r2和直線l:x=m(其中r和m均為常數(shù)，且0

圖15

微研究類比橢圓中類似可以得到如下問(wèn)題.

6　教法感悟

6.1挖掘概念本質(zhì)利于進(jìn)行類比思維探索問(wèn)題

類比思維是將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題的一種創(chuàng)造性思維.要能形成數(shù)學(xué)中類比兩數(shù)學(xué)知識(shí)必須在某些方面尤其數(shù)學(xué)概念本質(zhì)上有相同或相似之處，我們才能推出它們?cè)谄渌矫娴南嗨浦?對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的挖掘，我們要能掌握其核心內(nèi)容，在一定范圍內(nèi)不變的性質(zhì)，同時(shí)也要理解數(shù)學(xué)概念的不同表現(xiàn)形式及各形式之間的聯(lián)系，從而深層把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì).兩個(gè)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的挖掘能夠看清兩個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使得類比出的結(jié)論更加合理，更切合實(shí)際，為研究問(wèn)題縮短了探索的距離.

6.2類比思維能增強(qiáng)課堂教學(xué)的延續(xù)性

基于數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，類比思維中的聯(lián)想就更有根基.類比思維的運(yùn)用能夠讓學(xué)生達(dá)到舉一反三，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.學(xué)生在課堂上對(duì)知識(shí)的理解與聯(lián)想將是無(wú)窮無(wú)盡，然后在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，課堂教學(xué)就變得更具活力，也改變了傳統(tǒng)的教學(xué)方式，提高了教學(xué)的效率.課堂的教學(xué)將不再只是講授知識(shí)而是教會(huì)學(xué)生如何去學(xué)習(xí)知識(shí)，學(xué)生感受到知識(shí)是自己研究獲得的，使得教學(xué)能夠延續(xù)到課后，這種思維能促進(jìn)學(xué)生的終身學(xué)習(xí),也增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的延續(xù)性.

6.3數(shù)學(xué)直覺(jué)必須科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)

類比思維中的聯(lián)想其實(shí)也是一種數(shù)學(xué)直覺(jué)，數(shù)學(xué)直覺(jué)能讓我們感知到數(shù)學(xué)的結(jié)論或解決問(wèn)題的方法，給問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和研究帶來(lái)一定的幫助，但畢竟只是一種感覺(jué)，所以在數(shù)學(xué)中還需要科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬺?yàn)證，如果結(jié)論不正確，需要調(diào)整分析，重新審視問(wèn)題直到得出正確的結(jié)論.雖然我們不是數(shù)學(xué)家，但我們應(yīng)該要用數(shù)學(xué)家的眼光看問(wèn)題，需要數(shù)學(xué)直覺(jué)，同時(shí)又要有數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，教學(xué)中不斷提高學(xué)生考慮問(wèn)題的科學(xué)性和嚴(yán)密性.

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