可變網格高階有限差分法逆時偏移研究

馬光克,李洋森,孫萬元,劉　峰,廖顯鋒

(中海石油(中國)有限公司湛江分公司,廣東湛江524000)

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可變網格高階有限差分法逆時偏移研究

馬光克,李洋森,孫萬元,劉峰,廖顯鋒

(中海石油(中國)有限公司湛江分公司,廣東湛江524000)

在高階有限差分法逆時偏移成像過程中,成像精度和計算效率是一對矛盾體,特別是對于小尺度細微地質構造的刻畫。為了能在精細刻畫局部地質體結構的同時,保證逆時偏移的計算效率,采用多尺度可變網格有限差分算法求解一階應力-速度聲波方程,將可變網格有限差分算法引入到逆時偏移中,對傳統(tǒng)常規(guī)逆時偏移算法進行了改進,并將可變網格步長倍數(shù)的變化范圍推廣至任意奇數(shù)倍,分析了可變網格對有限差分算法數(shù)值頻散的影響。不同模型偏移成像試驗結果表明,可變網格逆時偏移算法能在保證地下地質體成像精度的同時提高偏移效率,有利于局部構造特征的精細刻畫。

逆時偏移;可變網格;交錯網格;深度偏移成像

自1983年WHITEMORE[1]提出逆時偏移成像技術以來,逆時偏移受到越來越多學者的關注與重視。目前,關于逆時偏移的研究主要包括四個方面：①雙程波動方程逆時延拓算法和成像條件的改進;②逆時偏移的有效存儲;③偏移噪聲的壓制;④逆時偏移的高效性。在雙程波動方程逆時延拓算法和成像條件改進方面,KARAZINCIR等[2],ETGEN等[3]通過優(yōu)化外推網格或改進波場外推方法有效提高了計算效率。在逆時偏移數(shù)據(jù)存儲方面,SYMES[4],CLAPP[5]分別提出Checkpointing方法和隨機邊界條件,以計算換存儲的策略解決了逆時偏移存儲量大的問題。在偏移噪聲壓制方面,BAYSAL等[6]、LIU等[7]和YOON等[8]分別用無反射成像、波場分離成像以及Poynting矢量成像等方法較好地壓制了偏移成像噪聲。在提高逆時偏移計算效率方面,學者們多以高性能計算機平臺為依托實現(xiàn)逆時偏移的加速[9],以增加逆時偏移的經濟有效性和實用性。

雙程波動方程疊前逆時偏移主要通過高階有限差分法求解波動方程實現(xiàn)偏移成像,具有成像精確、無傾角限制等優(yōu)點,更適用于橫向速度變化劇烈的復雜介質的偏移成像。吸收邊界和數(shù)值頻散是高階有限差分算法不可避免的兩個問題[10],利用完美匹配層吸收邊界條件可以較好解決有限區(qū)域邊界吸收問題,利用小尺度網格離散等手段可以抑制數(shù)值頻散。對于復雜地下構造,特別是存在低速層時,一般需要采用小尺度網格對整個模型進行離散,以便在保證穩(wěn)定性的同時有效地抑制有限差分的數(shù)值頻散。但小尺度網格采樣增加了巨大的計算量,對于逆時偏移原本就低的計算效率來說,無疑是雪上加霜。因此,設計出更合理的高階有限差分算法勢在必行。

高階有限差分逆時偏移因計算量大受限于計算機技術的發(fā)展,改善逆時延拓算法成為眾多學者研究的焦點之一。為了提高高階有限差分數(shù)值模擬的計算效率,MOCZO[11]首先提出可變網格有限差分思想;JASTRAM等[12]進一步將其應用到彈性波正演模擬中,并在不同網格尺度過渡區(qū)域采用插值算法實現(xiàn)不同網格波場值的計算;WANG等[13]在提高大小尺度網格比的基礎上實現(xiàn)了對粘彈介質的模擬,解決了地表低速區(qū)域有限差分算法數(shù)值模擬不穩(wěn)定的問題。國內關于可變網格有限差分算法的研究起步較晚,李振春等[14]給出了可變網格有限差分算法的任意偶數(shù)階精度差分近似公式及差分系數(shù)求取方法,避免了在過渡帶區(qū)域大量的插值計算;孫成禹等[15]發(fā)展了一種新的更容易實現(xiàn)的二維波動方程縱向可變網格有限差分算法,避免了插值計算;黃超等[16]將變化的空間網格與變化的時間步長相結合,提出一種空間網格大小與時間步長均可任意變化的高階有限差分數(shù)值模擬方法。

以上都是針對可變網格正演模擬方面的研究,在逆時偏移方面可變網格的研究相對較少。由于逆時延拓與正演模擬是正反兩個過程,因此本文在可變網格正演模擬的基礎上,基于聲波方程一階應力-速度方程交錯網格有限差分逆時偏移算法,將可變網格有限差分算法引入到逆時偏移中,對傳統(tǒng)常規(guī)逆時偏移算法進行改進,以實現(xiàn)局部構造的精細刻畫。

1　技術方法

1.1常規(guī)網格逆時延拓算法

在地震勘探中,二維各向同性介質中的一階應力-速度聲波方程可表示為:

(1)

按照傳統(tǒng)常規(guī)交錯網格有限差分算法[17]對公式(1)進行差分離散,可以推導出一階應力-速度聲波方程逆時延拓的高階差分格式：

(2)

(3)

(4)

1.2可變網格逆時延拓算法

可變網格逆時延拓首先需要對速度(密度)場進行不同尺度網格的離散采樣。圖1給出了兩種不同方式的速度場離散方案，方案一將全局速度場剖分為大小兩種尺度的不同網格,在逆時延拓時需要對大小尺度網格邊界點作插值處理;方案二則是在網格邊界引入過渡區(qū),避免了因插值計算引入的誤差,可變網格逆時延拓算法也較容易實現(xiàn)。本文主要采用方案二中的離散方式進行分析計算。

根據(jù)常規(guī)交錯網格逆時延拓的高階差分格式,應力(或速度)分量僅與差分算子長度范圍內的速度(或應力)分量有關。因此,在差分算子長度內若為相同尺度網格離散則均采用常規(guī)交錯網格逆時延拓算法;反之則需采用新的差分算子進行高階有限差分離散。圖2給出了可變交錯網格在過渡區(qū)的差分處理方式(為了保證大/小尺度網格過渡帶的所有半節(jié)點導數(shù)不用插值就可以求出高階差分數(shù)值,大/小尺度的網格步長比值需為奇整數(shù)倍,這里設大/小尺度網格步長比為l=3),L為大小尺度網格分界點。以?vx/?x速度分量(10階差分精度)計算為例,高階差分計算存在三種情況：①大尺度網格區(qū)域內部(0～L-5點);②小尺度網格區(qū)域內部(L+5～邊界點);③大/小尺度網格過渡區(qū)域內部(L-5～L+5)。

圖1　速度(密度)場的離散方式a 方案一; b 方案二

圖2　可變交錯網格差分算子在過渡區(qū)的處理方式

(5)

在小尺度網格區(qū)域內,一階導數(shù)的高階差分計算公式為:

(6)

而在大/小尺度網格過渡區(qū)域,需要重新計算網格差分系數(shù),其一階導數(shù)高階差分計算公式可以表示為:

(7)

(8)

1.3可變網格逆時偏移成像條件

可變網格逆時偏移成像條件與常規(guī)網格逆時偏移成像條件算法類似,而逆時偏移低頻噪聲嚴重影響構造成像精度。前人針對逆時偏移低頻噪聲的去除方法主要分兩類：一是濾波類[18],如高通濾波,Laplace濾波和最小平方濾波等;二是傳播方向成像改進[19],如Poynting矢量互相關成像、波場分離互相關成像等。由于波場分離互相關條件能夠在保證構造成像精度的同時較好地壓制低頻噪聲,本文主要采用基于Poynting矢量波場分離的成像方法[20]分離出上、下、左、右行波,再對上、下、左、右行波分別進行成像。其歸一化波場分離互相關條件可表示為：

(9)

式中:Su(x,z,t)和Ru(x,z,t)分別為炮、檢點上行波;Sd(x,z,t)和Rd(x,z,t)分別為炮、檢點下行波;Sl(x,z,t)和Rl(x,z,t)分別為炮、檢點左行波;Sr(x,z,t)和Rr(x,z,t)分別為炮、檢點右行波。

1.4可變網格逆時偏移數(shù)值頻散分析

高階有限差分算法用離散方程代替連續(xù)波動方程,單個波長內采樣不足會不可避免地產生數(shù)值頻散現(xiàn)象[21]。圖3給出了2階、4階、6階空間差分精度時不同縱橫網格步長比數(shù)值頻散的變化曲線,其中v為離散介質地震波相速度,v0為無頻散時實際相速度。為了定量分析空間差分頻散,這里引入最佳入射角(即空間差分數(shù)值頻散最小時的入射角,如圖3d中虛線所示)的概念,當入射角小于最佳入射角時,不同尺度網格的數(shù)值頻散影響均較弱,而當入射角超過最佳入射角時,隨著縱橫網格步長比的增大,數(shù)值頻散越來越嚴重。因此大縱橫網格步長比可變網格算法不得不考慮數(shù)值頻散的影響,可通過適當提高差分精度來抑制。

圖3　不同尺度網格步長比數(shù)值頻散變化曲線a 2階; b 4階; c 6階; d dx=2dz

圖4顯示了不同速度和差分算子長度對差分數(shù)值頻散的影響。在實際地震勘探中經常會遇到低速透鏡體和高速侵入體的情況,低速透鏡體要求差分算子長度長而高速侵入體要求差分算子長度短,若采用固定差分算子長度勢必增加逆時延拓的計算量。多尺度可變網格逆時偏移算法在低速透鏡體進行小尺度網格步長離散,對于相同差分精度在低速透鏡體內的數(shù)值頻散會有進一步的抑制,同時能提高逆時延拓的計算效率。

圖4　不同速度和差分算子長度的計算誤差

2　模型試驗

可變網格逆時偏移算法在大/小尺度網格邊界設置過渡區(qū)域,避免了插值因素影響,提高了數(shù)值模擬的計算效率。本文設計3種不同的介質模型來測試可變網格逆時偏移算法的有效性。

2.1雙層水平介質模型

模型一為雙層水平介質模型(圖5),分別采用可變網格和傳統(tǒng)網格逆時偏移算法進行偏移成像效果對比?？勺兙W格逆時偏移在黃色虛線區(qū)域內的網格大小為2m×2m,其它區(qū)域(除過渡帶外)的網格大小為6m×6m,時間采樣步長為0.25ms;傳統(tǒng)網格逆時偏移方法粗網格大小為6m×6m,時間采樣步長為0.50ms,細網格大小為2m×2m,時間采樣步長為0.25ms。炮點坐標均為(900m,6m),采用雙邊接收的方式。

圖5　雙層水平介質模型

由于不同尺度網格采用相同比例尺顯示會造成波場快照(或偏移成像剖面)的拉伸或收縮,我們按照大尺度網格步長對小尺度網格進行重新采樣,消除了不同尺度網格顯示畸變的影響,得到校正后波場快照。圖6為不同時刻可變網格正演模擬與逆時延拓波場快照,圖7為可變網格與傳統(tǒng)網格逆時偏移方法的單炮逆時偏移剖面,無論是從波場快照還是從逆時偏移剖面看,在大/小尺度網格邊界都沒有產生人為的異常反射。

2.2含孔洞介質模型

模型二為含孔洞介質模型(圖8),分別采用可變網格和傳統(tǒng)網格逆時偏移算法進行偏移成像對比?？臻g網格步長和時間網格步長均與模型一相同,只是模型二采用多炮偏移疊加方式。圖9為兩種網格類型多炮逆時偏移成像結果。在逆時偏移精度方面,可變網格和傳統(tǒng)細網格逆時偏移對3種不同半徑的孔洞均能精細成像,而傳統(tǒng)粗網格逆時偏移由于采樣方面的原因對半徑R=2m的孔洞不能有效精確成像。在偏移成像時效方面,傳統(tǒng)細網格逆時偏移計算時間是傳統(tǒng)粗網格逆時偏移計算時間的17.67倍,而可變網格相對于傳統(tǒng)細網格逆時偏移的計算效率提高了82.5%(表1)。因此,采用可變網格逆時偏移算法能在保證成像效率的同時,對局部構造特征進行精細刻畫。

圖6　可變網格有限差分正演模擬與逆時延拓波場快照a 正演模擬波場快照; b 校正后正演模擬波場快照; c 逆時延拓波場快照; d 校正后逆時延拓波場快照

圖7　可變網格與傳統(tǒng)網格逆時偏移剖面a 可變網格逆時偏移; b 校正后可變網格逆時偏移; c 傳統(tǒng)粗網格逆時偏移; d 傳統(tǒng)細網格逆時偏移

圖8　含孔洞介質模型

2.3復雜介質模型

為了分析可變網格逆時偏移算法對復雜介質的適用性,選用Marmousi模型(圖10)對可變網格逆時偏移算法進行了測試。模型總大小為9200m×3000m,可變網格逆時偏移在矩形虛線區(qū)域網格大小為4m×4m,其它區(qū)域(除過渡帶外)網格大小為12m×12m,時間采樣步長為0.25ms;傳統(tǒng)粗網格逆時偏移網格大小為12m×12m,時間采樣步長為1ms。震源起始位置(12m,12m),炮間距48m,總炮數(shù)為191炮;檢波器位于地表,道間距為12m。采用檢波器固定、炮點向右移動的方式進行數(shù)值模擬,接收時間長度為3.0s,震源為主頻35Hz的Ricker子波。

圖9　可變網格與傳統(tǒng)常規(guī)網格逆時偏移剖面a 傳統(tǒng)粗網格逆時偏移; b 傳統(tǒng)細網格逆時偏移; c 可變網格逆時偏移

網格類型網格大小計算時間/h相對傳統(tǒng)粗網格的計算時間倍數(shù)傳統(tǒng)粗網格6m×6m8.41.00可變網格粗網格6m×6m,細網格2m×2m26.03.09傳統(tǒng)細網格2m×2m148.517.67

圖10　Marmousi模型

圖11為濾波前和濾波后可變網格逆時偏移剖面,濾波后偏移剖面徹底消除了逆時偏移互相關成像低頻噪聲的影響,中淺部斷裂及深部不整合接觸關系均得到了較好成像。從偏移成像效果分析,采用本文算法并沒有在大/小尺度網格邊界產生人為的異常反射,進一步顯示了本文算法對于復雜介質的有效性。圖12為常規(guī)粗網格與可變網格逆時偏移局部剖面對比,常規(guī)粗網格逆時偏移由于大尺度網格步長導致單個波長內采樣不足產生了明顯的數(shù)值頻散,而可變網格逆時偏移不僅使成像精度得到了提高,偏移效率也得到了提高。

圖11　濾波前(a)、后(b)可變網格逆時偏移剖面對比

圖12　常規(guī)粗網格與可變網格逆時偏移局部剖面對比a 粗網格逆時偏移; b 可變網格逆時偏移

3　結束語

本文采用多尺度可變網格有限差分算法求解一階應力-速度聲波方程,對傳統(tǒng)常規(guī)逆時偏移算法進行了改進,通過理論推導和模型試驗,驗證了可變網格高階有限差分法逆時偏移能在保證地下地質體成像精度的同時大幅度提高計算效率,特別是小尺度構造的成像尤為明顯。

但是,由于時間步長未采用可變算法,在數(shù)值模擬試驗中還存在不穩(wěn)定現(xiàn)象,建議將變空間步長與變時間步長相結合,進一步提高可變網格逆時偏移算法的穩(wěn)定性。

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(編輯：戴春秋)

Acoustic pre-stack reverse time migration using variable grid finite-difference method

MA Guangke,LI Yangsen,SUN Wanyuan,LIU Feng,LIAO Xianfeng

(ZhanjiangBranchCompany,ChinaNationalOffshoreOilCorporation,Zhanjiang524000,China)

During reverse time migration imaging (RTM) using the high-order finite-difference method,imaging accuracy and computational efficiency is a pair of contradiction,especially for the fine migration of small-scale geological structure.In order to fine characterize the structure of local geological structure while ensuring the RTM computational efficiency,a multi-scale variable grid finite-difference method is used to solve the first-order stress-velocity acoustic wave equation.The variable grid finite-difference algorithm is introduced to RTM to improve the traditional RTM algorithm.The variation range of the variable grid step is extended to any odd times.Furthermore,the numerical dispersion is analyzed in the process of variable grid finite-difference algorithm.The variable grid RTM test results for different models show that the variable grid RTM algorithm can improve the imaging accuracy of subsurface geological structure and improve the migration efficiency,which is beneficial for the fine description of the local structural features.

reverse time migration (RTM),variable grid,staggered grid,depth migration

2015-10-22;改回日期：2016-02-16。

馬光克(1975—),男,碩士,高級工程師,主要從事油氣田開發(fā)地震研究工作。

中海石油(中國)有限公司湛江分公司綜合科研項目“東方氣田群高溫高壓天然氣藏開發(fā)關鍵技術研究”(YXKY-2016-ZHJ-02)資助。

P631

A

1000-1441(2016)05-0728-09

10.3969/j.issn.1000-1441.2016.05.012

This research is financially supported by the Comprehensive Scientific Research Project of Zhanjiang Branch Company of China National Offshore Oil Corporation (Grant No.YXKY-2016-ZHJ-02).