基于Shearlet變換稀疏約束地震數(shù)據(jù)重建

馮　飛,王　征,劉成明,王德利

(1.中海油田服務(wù)股份有限公司,天津300451;2.吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長春130026)

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基于Shearlet變換稀疏約束地震數(shù)據(jù)重建

馮飛1,王征1,劉成明2,王德利2

(1.中海油田服務(wù)股份有限公司,天津300451;2.吉林大學(xué)地球探測科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,吉林長春130026)

地震數(shù)據(jù)重建是地震數(shù)據(jù)處理流程中關(guān)鍵步驟之一,重建效果的好壞直接影響到后續(xù)的多次波消除以及偏移成像效果。為了獲得更好的重建效果,提出了以壓縮感知為理論基礎(chǔ),采用jitter欠采樣的Shearlet變換稀疏約束地震數(shù)據(jù)重建方法。將Shearlet變換與凸集投影(POCS)算法結(jié)合起來在動校正預(yù)處理后對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,增強了地震數(shù)據(jù)在Shearlet域的稀疏性。理論分析和實際地震數(shù)據(jù)驗證結(jié)果表明,該方法可以在部分地震數(shù)據(jù)缺失的情況下取得很好的重建效果,有效地解決了假頻問題。

Shearlet變換;數(shù)據(jù)重建;稀疏變換;壓縮感知;jitter欠采樣

地震數(shù)據(jù)采集過程中,受野外采集地質(zhì)環(huán)境、儀器故障、人為干擾、噪聲以及經(jīng)濟條件等因素的影響,采集系統(tǒng)很難記錄完整的地震波場信息,采集到的數(shù)據(jù)往往會出現(xiàn)缺失道和野值道。這些不規(guī)則的或者稀疏的地震數(shù)據(jù)不僅會產(chǎn)生假頻,也為偏移成像和多次波衰減帶來了影響,從而不能提供精確、規(guī)則的地震信號,給數(shù)據(jù)的處理與解釋工作造成了一定的困擾。因此,地震數(shù)據(jù)重建成為地震數(shù)據(jù)處理中的關(guān)鍵步驟之一。

在實際地震勘探中,很多數(shù)據(jù)重建方法已經(jīng)取得了良好的效果,大致可以將其分為3類:①基于信號處理的方法[1],將地震數(shù)據(jù)從時間域轉(zhuǎn)換到變換域,根據(jù)變換域內(nèi)信號的特征進(jìn)行重建,如:傅里葉域、小波域、Curvelet域等,這類方法的處理效果在很大程度上依賴于數(shù)學(xué)變換的好壞;②基于波動方程的方法[2],根據(jù)地震波場在地下介質(zhì)中傳播的物理特征完成重建,這類方法需要地下的速度信息,并且計算量很大,因此并沒有廣泛應(yīng)用;③基于預(yù)測濾波的數(shù)據(jù)重建方法,這類方法主要利用分頻預(yù)測的思想,用低頻信息預(yù)測高頻信息,主要有f-x域預(yù)測濾波[3]、f-k域預(yù)測濾波[4]以及t-x域預(yù)測濾波。

基于信號處理的方法常見的是傅里葉變換和小波變換,這兩種方法對于線性同相軸能取得很好的重建效果,但對于彎曲同相軸的效果很難令人滿意。近年來發(fā)展起來的Shearlet變換與小波變換不同,Shearlet變換有各向異性基,近似滿足拋物線比例,且在頻率域嚴(yán)格局部化,因而Shearlet變換能夠更好地表示地震波場特征。與Curvelet變換類似,Shearlet變換是一種多尺度稀疏變換,并且具有更好的方向性、稀疏性以及更加簡單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。目前,Shearlet變換已經(jīng)在圖像處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用,但尚未廣泛應(yīng)用到地震數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域。在地震數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域中,Curvelet變換在地震數(shù)據(jù)去噪[5-6]與稀疏重建中得到了廣泛的應(yīng)用。

地震數(shù)據(jù)重建問題可以轉(zhuǎn)化為一個稀疏優(yōu)化問題,壓縮感知理論[7-8]的提出,使得在大量數(shù)據(jù)缺失的情況下仍然可以很好恢復(fù)出地震數(shù)據(jù)(即使在低于香農(nóng)采樣定理的情況下)。其重構(gòu)的關(guān)鍵在于數(shù)據(jù)的稀疏性,但是地震信號往往并不是稀疏的,如果將這些信號轉(zhuǎn)換到某些變換域,使得信號在這些變換域內(nèi)的大多數(shù)系數(shù)為零或者很小,并且絕大多數(shù)重要的信號在變換域內(nèi)的系數(shù)較大,較大的系數(shù)保留了信號絕大部分信息,使得信號在變換域是稀疏的。因此,稀疏變換成為壓縮感知理論應(yīng)用的關(guān)鍵,通過某些稀疏優(yōu)化解法可以對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。HERRMANN等[9]利用Curvelet變換通過L1范數(shù)最優(yōu)化解法對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,相對常規(guī)重建方法效果有很大的提升。Curvelet變換成為壓縮感知關(guān)鍵的組成部分,之后這種稀疏變換迅速發(fā)展。周亞同等[10]采用離散余弦變換(DCT)與曲波字典組合進(jìn)行稀疏重建。路交通等[11]在Curvelet變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn),取得了較好的效果。

本文對地震數(shù)據(jù)重建問題的求解過程可以理解為壓縮感知理論范疇,壓縮感知的3個組成部分分別是稀疏變換、采樣方式以及求解方法。首先,采用Shearlet變換作為數(shù)據(jù)重建的稀疏變換代替了Curvelet變換,Shearlet變換比Curvelet變換有更好的稀疏性,同時對地震數(shù)據(jù)采取jitter欠采樣方式(jitter欠采樣方式很大程度上模擬了野外地震數(shù)據(jù)采集中遇到的實際問題,避免采用隨機采樣引起間隔過大,同時又保證一定的隨機性,規(guī)則采樣的假頻在一定程度上比jitter采樣更加嚴(yán)重,對地震數(shù)據(jù)的重構(gòu)影響更大),與常規(guī)的規(guī)則采樣和隨機采樣方法相比，有效地提高了重構(gòu)精度;其次,將地震數(shù)據(jù)重建描述為圖像修復(fù)的過程,通過Shearlet變換的L1范數(shù)最優(yōu)化求解,采用凸集投影算法(POCS)對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,有效地提高了重建效率;最后,對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行動校正預(yù)處理后進(jìn)行重建,動校正預(yù)處理的Shearlet變換的重建效果較好,與傳統(tǒng)的小波重建和Curvelet變換重建相比具有明顯的優(yōu)勢。

1　Shearlet變換

2005年以來,許多學(xué)者[12-17]將復(fù)合小波理論和幾何多尺度分析聯(lián)系到一起,通過特殊形式的具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)構(gòu)造了一種接近最優(yōu)的多維函數(shù)稀疏表示方法——Shearlet變換,有著比曲波和輪廓波更敏感的方向性和更好的稀疏表示性質(zhì)。

在二維情況下合成仿射系統(tǒng)的形式為:

φAS(ψ)={ψa,s,t(x)=|detA|a/2·

ψ[AaSs(x-t)]:a,s∈Z,t∈Z2}

(1)

式中:A和S為2×2可逆矩陣,|detS|=1。那么剪切波系統(tǒng)的基本單元復(fù)合小波為φAS(ψ),由復(fù)合小波構(gòu)成了如下Parseval框架(緊框架條件):

(2)

式中:f∈L2(R2)。在上述Shearlet系統(tǒng)中,各向異性對角矩陣Aa為Shearlet尺度矩陣,Ss為Shearlet剪切矩陣,其中,a,s分別為尺度參數(shù)和剪切參數(shù),對?a>0,s∈R,有:

(3)

在上述系統(tǒng)下,令ψ∈L2(R2)滿足:

(4)

在上述仿射系統(tǒng)下,由Shearlet母函數(shù)ψ,各向異性膨脹矩陣Aa和剪切矩陣Ss構(gòu)建了剪切波系統(tǒng):

(5)

a∈R+s∈Rt∈R2

基于數(shù)學(xué)變換的信號處理,其結(jié)果好壞主要取決于數(shù)學(xué)變換對有效信號的逼近程度和信號在變換域的稀疏性。

首先,圖1a,圖1b和圖1c分別展示了Meyer小波、Curvelet變換以及Shearlet變換的頻率域剖分[18]:Meyer小波基——正則化的小波基可以很好地表示各向同性數(shù)據(jù);Curvelet基——具有方向性的緊支撐框架,精細(xì)尺度可以很好地表示各向異性數(shù)據(jù);Shearlet基——具有方向性的緊支撐框架,精細(xì)尺度可以很好地表示各向異性數(shù)據(jù);且在連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)變也更加靈活自然,是目前多尺度領(lǐng)域唯一可以將連續(xù)系統(tǒng)和數(shù)字系統(tǒng)統(tǒng)一處理的變換方法。

圖1　多尺度變換頻率域剖分a Meyer小波; b Curvelet變換; c Shearlet變換

其次,相對于傅里葉變換、小波變換、Curvelet變換在它們各自的域中得到的稀疏系數(shù),Shearlet變換系數(shù)具有更加稀疏的特性[19],但在地震數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域還沒有得到廣泛的應(yīng)用。

2　稀疏變換域L1范數(shù)約束的缺失道地震數(shù)據(jù)重建

2.1結(jié)合Shearlet變換的POCS地震數(shù)據(jù)重建

假設(shè)完整的地震數(shù)據(jù)為A,y為缺失的地震數(shù)據(jù),M為地震數(shù)據(jù)的一個缺失算子,與數(shù)據(jù)缺失位置對應(yīng)的元素為0,其它元素為1。那么地震數(shù)據(jù)重建的問題可以歸結(jié)為L1范數(shù)最優(yōu)化問題,即:

(6)

式中:A=S-1x,其中,S-1為Shearlet逆變換,x為一組Shearlet系數(shù)。即將問題轉(zhuǎn)換到Shearlet域重構(gòu)出地震數(shù)據(jù)A,反演出一組L1范數(shù)最小的Shearlet系數(shù)x,可以利用如下約束最優(yōu)化問題來表示稀疏約束情況下重建問題:

(7)

為了解決上述約束最優(yōu)化問題,GERSZTENKORN等[20]提出迭代重加權(quán)最小平方法(IRLS),BERG等[21]提出SPGL1算法以及各種閾值迭代方法求解。但是上述求解方法過于繁瑣,計算量很大,利用凸集投影理論(POCS)[22-23]求解此類問題使求解過程變得簡單。結(jié)合POCS算法的Shearlet域稀疏約束地震數(shù)據(jù)重建基本步驟如下。

1) 初始化。

設(shè)置誤差參數(shù)ε,迭代次數(shù)N以及閾值參數(shù)δ;

初始化Xm=XM,Xi=0(X為完整地震數(shù)據(jù),Xm為缺失數(shù)據(jù));

令λ=1,δ為Shearlet系數(shù)的最大歸一化系數(shù)。

2) 閾值迭代。

計算缺失數(shù)據(jù)R=M(Xm-Xi);

進(jìn)行Shearlet變換x=S(R+Xi);

作閾值,Shearlet逆變換求重建后地震數(shù)據(jù)Xi=ST[T(x)]。

3) 更新閾值迭代。

(8)

為了加快收斂速度,本文選用指數(shù)衰減的閾值代替線性閾值,其中λi=ε1/(i-1)。求解上述優(yōu)化問題就是反演一組Shearlet系數(shù)x,且該組數(shù)據(jù)滿足經(jīng)缺失算子作用后與原始數(shù)據(jù)在二范數(shù)約束下最接近。因此,最終的輸出就是這組Shearlet系數(shù)逆變換的結(jié)果,代表了重建后的數(shù)據(jù)。

2.2觀測系統(tǒng)的采樣方式

采樣方式是壓縮感知的重要組成部分,直接影響到數(shù)據(jù)的稀疏性。地震勘探通常在地面觀測,采樣方式有限,常見的有規(guī)則采樣和隨機采樣。由于地質(zhì)條件等因素的限制,往往不允許采取規(guī)則采樣,且規(guī)則采樣產(chǎn)生的假頻信息很多,不利于后續(xù)的數(shù)據(jù)處理工作;而隨機采樣能減少假頻,但是很難保證采樣間隔,容易出現(xiàn)采樣點過于聚集或者過于分散的狀況。當(dāng)數(shù)據(jù)不存在隨機性或者缺失過大時,Shearlet稀疏重建效果與Curvelet稀疏重建效果類似,數(shù)據(jù)重構(gòu)結(jié)果都不夠理想。對于規(guī)則采樣和隨機采樣數(shù)據(jù)重建,很多學(xué)者進(jìn)行了研究[24],這里不再贅述。HENNENFENT等[25]引進(jìn)了一種jitter采樣方式,這種方法兼具了規(guī)則采樣方式和隨機采樣方式的優(yōu)勢,既能控制采樣間隔又能保持采樣點的隨機性。首先將目標(biāo)區(qū)域等間隔采樣,然后以這些采樣點為中心隨機擾動,為了說明jitter采樣方式,假設(shè)采樣因子γ為奇數(shù)(γ=1,3,5,…),總采樣點是γ的倍數(shù),采樣的樣點數(shù)為n=N/γ取整數(shù),這里,可以給出的jitter采樣點為:

(9)

離散隨機變量εi是獨立的整數(shù),且在采樣間隔[-(ξ-1)/2,(ξ-1)/2]內(nèi)均勻分布,jitter參數(shù)ξ(0≤ξ≤γ)表示粗糙網(wǎng)格下的jitter大小,當(dāng)ξ=γ時為最優(yōu)jitter采樣[26]。

2.3動校正預(yù)處理下的地震數(shù)據(jù)重建

野外采集地震數(shù)據(jù)時,當(dāng)?shù)孛嫠健⒎瓷浣缑鏋槠矫媲医缑鎯?nèi)介質(zhì)均勻時,反射時距曲線為一條雙曲線,不能直接反映地下界面的起伏情況,只有在激發(fā)點處接收的t0時間,才能直接反應(yīng)界面的真深度。因此,我們可以對其進(jìn)行動校正,即把炮檢距不同的道上來自同一界面、同一點的反射波到達(dá)時間,校正為共中心點處的回聲時間,從而實現(xiàn)同相疊加。

由于Shearlet變換是一種多尺度變換,它的結(jié)構(gòu)元素除了包括尺度參數(shù)和平移參數(shù),還包括剪切參數(shù),所以Shearlet函數(shù)具有很好的方向選擇性和各向異性,可以很好地表示各向異性地震波場?；赟hearlet變換稀疏約束重建的關(guān)鍵在于地震數(shù)據(jù)在Shearlet域的稀疏性,稀疏性越好意味著我們可以利用越少的系數(shù)對地震數(shù)據(jù)達(dá)到精確重建。因此,為了使地震數(shù)據(jù)在Shearlet域更加稀疏,利用Shearlet變換重建的地震數(shù)據(jù)做動校正預(yù)處理,動校正之后的數(shù)據(jù)同相軸更加平緩,在一定程度上降低了假頻影響,更重要的是,相比于曲率過大的同相軸,在Shearlet域中可以用更少的系數(shù)表示地震同相軸信息,其稀疏性將會更好,相應(yīng)地,Shearlet域中的重構(gòu)誤差將會減小,重建之后再反動校正回來,從而達(dá)到更好的重建效果。WANG等[27]將這種預(yù)動校正處理的方法與Curvelet變換結(jié)合對地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,也取得了較好的效果。

3　模型及實際數(shù)據(jù)測試

3.1模型數(shù)據(jù)測試

為了驗證Sheratlet變換在地震數(shù)據(jù)重建中的效果,先對一個合成地震數(shù)據(jù)采用jitter欠采樣后進(jìn)行重建。該地震記錄共361道,道間距25m,采樣間隔4ms。首先分別利用Curvelet變換迭代法、Shearlet變換迭代法對缺失地震數(shù)據(jù)重建,其次對缺失的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行動校正預(yù)處理,然后再利用Curvelet變換迭代法和Shearlet變換迭代對缺失的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。

圖2顯示了原始地震數(shù)據(jù)以及缺失比為50%,75%的地震數(shù)據(jù)(設(shè)定最大連續(xù)缺失道為5道)。

圖3顯示了采用不同方法對缺失比為50%的地震數(shù)據(jù)(jitter欠采樣)進(jìn)行重建的結(jié)果。下面比較不同方法的重建效果,并分析產(chǎn)生的假頻以及重建后對假頻的壓制效果。圖3a和圖3b是缺失比為50%地震數(shù)據(jù)(圖2b)經(jīng)過Curvelet重建后的地震記錄及差剖面,可見,重建取得了一定的效果,但是同相軸連續(xù)性不好,差剖面中同相軸剩余能量很強。圖3c和圖3d分別為經(jīng)動校正預(yù)處理過后再經(jīng)Curvelet變換重建后的地震記錄及差剖面,可以明顯看出,相比未經(jīng)動校正處理的地震數(shù)據(jù)重建后同相軸變得光滑連續(xù),并且差剖面殘余能量更少。圖3e和圖3f分別為經(jīng)Shearlet變換重建后地震記錄及差剖面,相對于圖3a和圖3b,同相軸幾乎完美重構(gòu),差剖面也少見殘余能量,而經(jīng)動校正預(yù)處理(圖3g,圖3h)后,重建效果仍然好于未經(jīng)動校正預(yù)處理過的重建效果。

圖2　模擬地震數(shù)據(jù)及jitter欠采樣地震數(shù)據(jù)a 原始地震數(shù)據(jù); b 缺失比為50%的地震數(shù)據(jù); c 缺失比為75%的地震數(shù)據(jù)

圖3　缺失比為50%的地震數(shù)據(jù)重建結(jié)果a,b 分別為Curvelet重建后的地震記錄及差剖面; c,d 分別為預(yù)動校正處理后再經(jīng)Curvelet重建的地震記錄及差剖面; e,f 分別為Shearlet重建后的地震記錄及差剖面; g,h 分別為預(yù)動校正處理后再經(jīng)Shearlet重建的地震記錄及差剖面

為了進(jìn)一步驗證基于Shearlet變換對大量數(shù)據(jù)缺失情況下重建的效果,對缺失比為75%的地震數(shù)據(jù)做同樣的處理,得到的結(jié)果如圖4所示。

從圖4可以很明顯看出,基于Shearlet變換的地震數(shù)據(jù)重建效果要好于Curvelet變換的重建效果,并且經(jīng)動校正預(yù)處理后的重建效果更好，尤其在同相軸曲率大的部分。這是由于稀疏變換時利用各向異性小波對同相軸逼近,對同一數(shù)據(jù)而言,Shearlet的基函數(shù)可以取得比Curvelet的基函數(shù)更好的逼近效果,而當(dāng)同相軸曲率很大時,逼近效果都有所欠缺,經(jīng)動校正預(yù)處理后的地震記錄同相軸相對較為平滑,能取得較好的逼近效果。

圖4　缺失75%地震數(shù)據(jù)重建結(jié)果a,b 分別為Curvelet重建后的地震記錄及差剖面; c,d 分別為預(yù)動校正處理后再經(jīng)Curvelet重建的地震記錄及差剖面; e,f 分別為Shearlet重建后的地震記錄及差剖面; g,h 分別為預(yù)動校正處理后再經(jīng)Shearlet重建的地震記錄及差剖面

為了展示Shearlet變換重建對假頻信息的壓制效果,選取了缺失比為50%的地震數(shù)據(jù),并對重建后的地震數(shù)據(jù)作f-k譜分析。圖5a,圖5b分別是原始地震數(shù)據(jù)和缺失比為50%的地震數(shù)據(jù)的f-k譜,可見,缺失地震數(shù)據(jù)的f-k譜出現(xiàn)了嚴(yán)重的假頻。采用不同方法對缺失比為50%的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建,結(jié)果如圖6所示。從圖6可以看出,經(jīng)過Curvelet方法重建后,假頻信息得到了較好的壓制,但是部分頻率的信息有所缺失;而Shearlet變換重建對假頻的壓制效果明顯更好;經(jīng)過動校正預(yù)處理的重建效果好于未經(jīng)動校正處理的重建效果。

圖5　原始地震數(shù)據(jù)(a)和缺失比為50%的缺道地震數(shù)據(jù)(b)的f-k譜

3.2實際數(shù)據(jù)測試

為了進(jìn)一步驗證Shearlet變換稀疏約束地震數(shù)據(jù)重建在實際地震數(shù)據(jù)處理中的效果,選取某實際地震記錄(圖7a)進(jìn)行重建,缺失的地震數(shù)據(jù)(圖7b)缺失比為50%,重建效果如圖8至圖11所示。

圖8與圖9分別展示了Curvelet變換與Shearlet變換重構(gòu)數(shù)據(jù)的結(jié)果與圖7a的差剖面,可見,Shearlet變換重構(gòu)效果要好于Curvelet變換重構(gòu)效果。圖10與圖11分別展示了經(jīng)過動校正預(yù)處理的Curvelet變換與Shearlet變換的重建效果以及與圖7a差剖面,同樣可以看出,Shearlet變換重建數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)差值最小。

圖7　實際數(shù)據(jù)(a)和缺失比為50%的地震數(shù)據(jù)(b)

圖8　Curvelet重建結(jié)果(a)及與實際數(shù)據(jù)的差剖面(b)

圖9　Shearlet重建結(jié)果(a)及與實際數(shù)據(jù)的差剖面(b)

圖10　動校正后Curvelet重建結(jié)果(a)及與實際數(shù)據(jù)的差剖面(b)

圖11　動校正后Shearlet重建結(jié)果(a)及與實際數(shù)據(jù)的差剖面(b)

4　結(jié)束語

1) 本文采用POCS算法將Shearlet變換算子引進(jìn)到地震數(shù)據(jù)重建中,驗證了Shearlet變換能夠在jitter欠采樣中地震數(shù)據(jù)缺失的情況下,比Curvelet變換更能有效重構(gòu)出地震數(shù)據(jù);從理論數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的f-k譜中能夠看出有效壓制了由缺失道引起的假頻,經(jīng)過動校正預(yù)處理的重構(gòu)效果更佳,為地震數(shù)據(jù)波場重構(gòu)提供了新的技術(shù)思路。

2) Shearlet變換較Curvelet變換的數(shù)學(xué)表達(dá)更加簡潔,因此運算時間比Curvelet變換減少一半,但要大規(guī)模應(yīng)用到野外海量地震數(shù)據(jù)處理,還需要進(jìn)一步提高運算效率。

3) 目前野外地震數(shù)據(jù)大規(guī)模采用了三維采集,將三維Shearlet變換應(yīng)用于三維地震數(shù)據(jù)重建將是未來該方法研究的方向之一。

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(編輯：顧石慶)

Seismic data reconstruction based on sparse constraint in the Shearlet domain

FENG Fei1,WANG Zheng1,LIU Chengming2,WANG Deli2

(1.ChinaOilfieldServicesLimited,Tianjin300451,China;2.CollegeofGeo-ExplorationScienceandTechnology,JilinUniversity,Changchun130026,China)

Seismic data reconstruction is a key step in seismic data processing.Reconstruction result will directly affect the multiple elimination and subsequent migration imaging.To get better reconstruction result,on the basis of the theory of compressed sensing,a new seismic data reconstruction method based on the Shearlet transform sparse constraint using jittered undersampling is proposed.Shearlet transform is a kind of multi-scale transform to express multi-dimensional data well,which has the optimal sparseness,orientation and the characteristics of localization.We combine the Shearlet transform with the projection onto convex sets (POCS) algorithm for seismic data reconstruction.Then we conduct normal moveout correction (NMO) prior to reconstruction to streng then the sparseness of the seismic data in the Shearlet domain.The experiments on synthetic data as well as actual data show that even though some seismic data are missing,the reconstruction method based on the Shearlet transform performs excellent and effectively solves the aliasing problem.

Shearlet transform,data reconstruction,sparse transform,compressed sensing,jittered undersampling

2015-09-22;改回日期：2016-02-27。

馮飛(1986—),男,博士,現(xiàn)主要從事高精度地震數(shù)據(jù)處理方法研究。

國家科技重大專項(2011ZX05023-005-008)和國家自然科學(xué)基金(41374108)共同資助。

P631

A

1000-1441(2016)05-0682-10

10.3969/j.issn.1000-1441.2016.05.007

This research is financially supported by the National Science and Technology Major Project of China (Grant No.2011ZX05023-005-008) and the National Science Foundation of China (Grant No.41374108 ).