靜壓止推氣浮軸承動特性的微擾動法研究

盧志偉,馬方杰,劉波,張君安

(西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安710032)

靜壓止推氣浮軸承動特性的微擾動法研究

盧志偉,馬方杰,劉波,張君安

(西安工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,陜西西安710032)

為了實(shí)現(xiàn)對靜壓氣浮軸承的動特性進(jìn)行研究,提出并設(shè)計(jì)了一種具有可變截面積均壓槽的靜壓氣浮軸承,結(jié)合氣浮軸承的力學(xué)振動模型采用微擾動法建立了氣浮軸承動態(tài)控制方程,運(yùn)用有限差分法對氣浮軸承動態(tài)控制方程進(jìn)行了數(shù)值求解,得到了氣浮軸承的動態(tài)剛度和阻尼。計(jì)算結(jié)果表明:當(dāng)振動較小時(shí)靜壓止推氣浮軸承的動態(tài)剛度值與靜態(tài)剛度值相當(dāng),在氣膜間隙為5.5 μm左右時(shí),氣浮軸承的動、靜剛度均達(dá)到最佳值;在同一供氣壓力下,隨著氣浮軸承氣膜間隙的增大,其動阻尼呈非線性減小,氣膜間隙對氣浮軸承動阻尼系數(shù)的影響較大。

機(jī)械學(xué);氣浮軸承;微擾動;動剛度;動阻尼;有限差分

DOI:10.3969/j.issn.1000-1093.2016.01.022

0 引言

隨著精密、超精密技術(shù)的發(fā)展,對氣體靜壓軸承的剛度、精度及穩(wěn)定性都提出了更高和更迫切的要求[1-2]。由于氣體的可壓縮性,對提高氣體靜壓潤滑軸承的氣膜剛度帶來很大的困難,因此提高氣體靜壓軸承的剛度是氣體靜壓軸承研究領(lǐng)域的難點(diǎn)和熱點(diǎn)之一,屬于前沿問題[3-4]。傳統(tǒng)的氣體靜壓止推軸承都采用小孔、環(huán)面、狹縫等節(jié)流阻抗固定的節(jié)流器,其承載能力和剛度的提高非常有限。對氣浮軸承剛度進(jìn)行反饋控制是實(shí)現(xiàn)高剛度甚至無窮靜剛度的一條有效途徑,近十幾年來國內(nèi)外開展了不少這方面的研究,但是在氣浮軸承應(yīng)用方面的進(jìn)展并不明顯[5]。為使氣浮軸承剛度的提高有新突破,根據(jù)氣膜間隙變化或相應(yīng)的壓力分布變化改變均壓槽的截面積,在承載面采用彈性薄板來實(shí)現(xiàn)可變截面均壓槽的氣浮軸承是一種很有應(yīng)用前景的新型高剛度氣浮軸承[6]。精密與超精密加工技術(shù)伴隨著科學(xué)的飛速發(fā)展應(yīng)運(yùn)而生,對作為精密與超精密加工設(shè)備重要部件的空氣靜壓軸承的動靜態(tài)性能提出了更為苛刻的要求[7-8]。氣體本身固有性質(zhì)的限制,給改善空氣靜壓軸承的性能帶來了諸多不便。因此,如何分析研究空氣靜壓軸承的性能,并在此基礎(chǔ)上優(yōu)化空氣靜壓軸承的結(jié)構(gòu),已然成為氣體潤滑技術(shù)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)[9-10]。本文采用微擾動法對靜壓止推氣浮軸承的動態(tài)性能進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和仿真,并對氣浮軸承動態(tài)剛度和阻尼的相關(guān)影響進(jìn)行了分析和研究。

1 靜壓止推氣浮軸承的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

本文提出和設(shè)計(jì)了一種具有可變均壓槽結(jié)構(gòu)的高剛度氣浮軸承,在氣浮軸承的承載面上設(shè)計(jì)了一種環(huán)形彈性薄板結(jié)構(gòu),通過氣膜壓力反饋使環(huán)形彈性薄板產(chǎn)生彈性變形從而形成均壓槽,引起均壓槽深度的變化,從而達(dá)到提高氣浮軸承剛度的目的。這種結(jié)構(gòu)在氣浮軸承的四角設(shè)置4個(gè)固有節(jié)流孔(噴嘴節(jié)流),用環(huán)形均壓槽將節(jié)流器出口與彈性均壓槽連通。本文所研究的彈性薄板氣浮軸承的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示,圖1中均壓槽的位置和與彈性薄板直接接觸的氣腔位置是一致的,彈性薄板與氣浮軸承本體是在其接觸部位除氣腔外的所有部分都用一種粘接強(qiáng)度比較好的粘接劑粘接在一起的。

彈性薄板氣浮軸承的工作原理:氣體由進(jìn)氣孔輸入氣浮軸承中,通過矩形帶過渡圓角的槽型氣腔,最后由節(jié)流孔輸出到導(dǎo)軌工作表面形成壓力氣膜。當(dāng)載荷增大或者減小時(shí),彈性薄板沿槽型氣腔方向內(nèi)凹或者外凸,改變了節(jié)流孔的環(huán)面節(jié)流面積,并形成了可變深度的可變截面積均壓槽,從而提高氣浮軸承的剛度。制造過程中氣浮軸承內(nèi)的氣腔中充滿壓力為p的氣體,使承載面上彈性薄板外凸。加工完成后的自然狀態(tài)下,氣浮軸承的承載面上的彈性變形部分就出現(xiàn)了凹下去的初始均壓槽。槽寬與氣浮軸承內(nèi)的氣腔寬度一致,槽深與p的大小及均壓槽的位置有關(guān)。設(shè)計(jì)上希望氣浮軸承的載荷F和氣膜厚度h的特性F(h)的曲線越接近垂線越好,即希望dF(h)/dh→∞.

圖1 止推氣浮軸承的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of aerostatic thrust bearings

2 控制方程及其數(shù)值分析

2.1 氣浮軸承的物理及力學(xué)模型

氣浮軸承的物理模型如圖2(a)所示,供氣壓力為ps,由進(jìn)氣孔流入,經(jīng)節(jié)流孔節(jié)流后壓力降為p0,最后經(jīng)氣膜間隙流入大氣,壓力變?yōu)閜a,氣膜間隙內(nèi)的壓力為p(χ,y),外部載荷為F.為了便于研究,可以把圖2(a)的模型簡化為圖2(b).氣浮軸承的氣膜具有一定的剛度K,加之氣體具有一定粘性,氣浮軸承在承載方向上具有阻尼C,其中K與C都是氣膜間隙h的函數(shù)。因此,氣浮軸承的物理模型也可看作是質(zhì)量塊m、彈簧K、阻尼器C構(gòu)成的振動系統(tǒng),如圖2(c)所示。

圖2 氣浮軸承的模型Fig.2 Models of gas bearings

對于圖2(b),根據(jù)牛頓第二定律有

設(shè)定氣浮軸承處在靜平衡時(shí)的位置記為h0,給氣浮軸承一個(gè)初始的小位移擾動Δh(Δh?h0),那么任意時(shí)刻的氣浮軸承的位置、壓力、載荷分別可以表示為h=h0+Δh,p=p0+Δp,F=F0+ΔF,其中: Δp、ΔF分別為小擾動Δh所引起的氣膜內(nèi)壓力和承載力的變化;h0、p0、F0為靜態(tài)值;Δh、Δp、ΔF為增量。這種將一個(gè)參數(shù)量寫為一個(gè)穩(wěn)定量和一個(gè)擾動量之和,且擾動量遠(yuǎn)小于穩(wěn)定量的方法成為微擾動法。

將h、p及F的表達(dá)式分別帶入到代入(1)式中,并將承載力F在F0處作1階泰勒公式展開通過聯(lián)立求解得

圖1(c)所示的系統(tǒng),由牛頓第二定律可知:

設(shè)cr=-C/2m,ωn=K/m,ωn是氣浮軸承振動的自然頻率,則(3)式變?yōu)?/p>

(4)式的特征方程的根為

式中:ω是有阻尼時(shí)的振動頻率,ω=±ωn·

2.2 微擾動法求解控制方程

靜壓止推氣浮軸承的氣體潤滑狀態(tài)分析主要以求解Reynolds方程為基礎(chǔ),氣浮軸承的性能計(jì)算是在對Reynolds方程進(jìn)行求解的基礎(chǔ)上展開的。假定氣浮軸承為剛體且氣體與氣浮軸承上表面并無相對滑動,經(jīng)整理得到雷諾方程的表達(dá)式為

根據(jù)(6)式雷諾方程運(yùn)用微擾法推導(dǎo)分解雷諾方程。將h=h0+Δh,p=p0+Δp分別代入式(6)得

將(7)式等號兩側(cè)分別展開并忽略高階無窮小量,并將推導(dǎo)得到的公式中與時(shí)間無關(guān)的穩(wěn)定部分和與時(shí)間有關(guān)的擾動部分分開得到雷諾方程的穩(wěn)態(tài)方程(8)式和瞬態(tài)方程式(9):

2.3 建立氣浮軸承動態(tài)控制方程

在(9)式中,本文認(rèn)為Δh、Δp的變化頻率是近似相等的。由于當(dāng)Δh減小時(shí),Δp會隨之增大,為計(jì)算方便可以假設(shè)二者相位之差為π,則可以將Δh、Δp寫為Δh=εh0ect,Δp=(pR+jpI)ect,分別代入到(9)式中得到(10)式:

式中:ε為極小量擾動幅值率;pR為壓力值實(shí)部;pI為壓力值虛部。令(10)式兩端實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等,得到(11)式和(12)式即為本文所研究的彈性氣浮軸承的動態(tài)控制方程:

2.4 動態(tài)控制方程的數(shù)值差分

根據(jù)氣浮軸承工作精度需求,本文的數(shù)值計(jì)算采用有限差分中2階精度的差分格式,來離散化求解氣浮軸承的動態(tài)控制方程。將(11)式與(12)式中的微分項(xiàng)用有限差分對公式進(jìn)行離散化求解,得到(13)式和(14)式:

式中:AR、BR、CR、DR、AI、BI、CI、DI、E、F為與p0(i,j)、h0(i,j)、pI(i,j)、pR(i,j)等有關(guān)的系數(shù)。(14)式與(15)式中分別記pR(i,j)=R(i,j)、pI(i,j)=I(i,j),則采用超松弛迭代法求解(13)式與(14)式,其迭代公式分別為(15)式與(16)式:

式中:k為迭代次數(shù);α為迭代的加速收斂系數(shù),一般情況下可以取1＜α＜2.

2.5 氣浮軸承的動態(tài)剛度與阻尼的計(jì)算

將承載力F在F0處作1階泰勒公式展開并化簡得到與(17)式進(jìn)行比較以及結(jié)合可以得到氣浮軸承支承的剛度與阻尼如(18)式:

3 數(shù)值計(jì)算與分析

3.1 動態(tài)控制方程的求解差分流程

本文所研究的可變均壓槽止推氣浮軸承,其結(jié)構(gòu)如圖1所示。止推氣浮軸承本體的長度為80 mm,寬度為50 mm,厚度為15 mm;彈性薄板的厚度為0.3 mm,彈性薄板材料為2Cr13,彈性模量E= 1.12 GPa;加工彈性薄板氣浮軸承時(shí)供氣壓力為0.55 MPa,工作時(shí)的供氣壓力為0.65 MPa;取供氣溫度T0=300 K,絕熱指數(shù)k=1.4,空氣粘度μ= 1.833×10-5Pa·s,迭代收斂誤差值σ=1×10-6.采用有限差分法對靜壓止推為研究對象進(jìn)行研究,氣膜壓力分布按直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)劃分網(wǎng)格,兩種網(wǎng)格重疊區(qū)域采用雙線性插值傳遞計(jì)算信息,將氣浮軸承在靜態(tài)時(shí)的不同氣膜間隙下的氣膜壓力分布值作為初始值代入氣浮軸承動態(tài)控制方程(15)式與(16)式中進(jìn)行求解,整個(gè)動態(tài)控制方程的求解差分流程圖如圖3所示。

3.2 計(jì)算結(jié)果及分析

根據(jù)所研究的氣浮軸承的的結(jié)構(gòu)和參數(shù),按照動態(tài)控制方程的的求解差分流程圖,運(yùn)用VB語言采用有限差分方法對彈性薄板氣浮軸承的動特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,得出了不同氣膜間隙下氣浮軸承的動態(tài)剛度和阻尼系數(shù)。圖4、圖5為靜壓止推氣浮軸承在不同氣膜間隙下的動態(tài)剛度和動態(tài)阻尼數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

圖4為靜壓止推氣浮軸承的動態(tài)剛度與靜態(tài)剛度進(jìn)行的對比曲線圖。從圖4可以看出:在氣膜間隙h＜5.5 μm時(shí),氣浮軸承的動、靜剛度隨著氣膜間隙的增大逐漸增大;當(dāng)氣膜間隙h＞5.5 μm時(shí),氣浮軸承的動、靜剛度隨著氣膜間隙的增大逐漸變小;在氣膜間隙h約為5.5 μm時(shí),氣浮軸承的動、靜剛度均達(dá)到最佳剛度值。其次,從圖4中也可以看出:氣浮軸承的動態(tài)剛度值與靜態(tài)剛度值十分接近,當(dāng)振動很小時(shí),動態(tài)剛度和靜態(tài)剛度是基本相當(dāng)?shù)?使得靜壓氣浮軸承在精密、超精密設(shè)備中運(yùn)用來提高其剛度可以得到很好的發(fā)展。

圖3 控制方程求解流程圖Fig.3 Flow chart of solving the control equations

圖4 氣浮軸承動、靜剛度的對比曲線Fig.4 Contrast curves of the static and dynamic stiffnesses of gas bearings

圖5為靜壓止推氣浮軸承在不同氣膜間隙下的動阻尼系數(shù)變化情況。從圖5中的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析可以看出:氣浮軸承的兩曲線的動阻尼系數(shù)均隨著氣膜間隙h的增大而呈非線性減小,特別是氣膜間隙h在3～10 μm的范圍內(nèi)氣浮軸承阻尼系數(shù)減小的更加明顯,氣浮軸承的動阻尼受氣膜間隙的影響比較大;從兩條曲線可以看出其變化趨勢趨于一致,這也很好地驗(yàn)證了理論計(jì)算的一致性。但在圖5中氣浮軸承的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果也存在著一定的差異,引起這種現(xiàn)象的原因:盡管數(shù)學(xué)模型已考慮了很多主要影響因素,但還有一些因素影響較小而被忽略而引起了數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有差異;數(shù)值計(jì)算中軸承表面假設(shè)為絕對光滑以及各設(shè)計(jì)參數(shù)須嚴(yán)格保證,但軸承在實(shí)際加工中存在著一定的表面質(zhì)量誤差,這也使得理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在一定的差異。

圖5 氣浮軸承動阻尼系數(shù)的數(shù)值計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果曲線Fig.5 Curves of numerical calculation and experimental results of dynamic damping coefficients of gas bearings

4 結(jié)論

1)本文提出并設(shè)計(jì)了一種具有可變截面積均壓槽的氣浮軸承,采用微擾動法通過數(shù)值分析計(jì)算得知當(dāng)振動較小時(shí)其動態(tài)剛度值與靜態(tài)剛度值相當(dāng),在氣膜間隙h為5.5 μm左右時(shí)氣浮軸承的動、靜剛度均達(dá)到最佳值。

2)在同一供氣壓力p下,隨著氣浮軸承的氣膜厚度h的增大,其動阻尼C呈非線性的減小,且存在一個(gè)最佳間隙h,此時(shí)氣浮軸承的靜動剛度K可以達(dá)到一個(gè)最佳值。

3)在設(shè)計(jì)的新型氣浮軸承本體中氣腔的結(jié)構(gòu)和位置對彈性薄板的變形以及氣浮軸承的承載力F和其剛度K及阻尼C影響都非常大,因此如何進(jìn)一步更好地提高氣浮軸承的靜、動剛度以及動阻尼乃至其整體性能需要進(jìn)行優(yōu)化創(chuàng)新設(shè)計(jì),需要進(jìn)一步探索和研究。

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Research on Dynamic Characteristics of Aerostatic Thrust Bearings Based on Perturbation Method

LU Zhi-wei,MA Fang-jie,LIU Bo,ZHANG Jun-an
(School of Mechatronic Engineering,Xi'an Technological University,Xi’an 710032,Shaanxi,China)

An aerostatic thrust bearing with pressure-equalizing groove with variable sectional area is designed to research the dynamic characteristics of aerostatic thrust bearing.Based on the mechanical vibration model of gas bearings,the dynamic control equations of gas bearings is established by using perturbation method,and the dynamic control equations are sovled to obtain the dynamic stiffness and damping of gas bearings by the finite difference method.The results show that the dynamic and static stiffness values of aerostatic thrust bearings are equal when the vibration is small,and the dynamic and static stiffnesses of gas bearings reach the optimum value when the gas film thickness is about 5.5 μm;the dynamic damping decreases nonlinearly with the increase in gas film thickness at the same air supply pressure,and the gas film thickness greatly affects the dynamic damping coefficients of air bearings.

mechanics;gas bearing;perturbation;dynamic stiffness;dynamic damping;finite difference

TH133.36

A

1000-1093(2016)01-0149-06

2014-11-17

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50805112);陜西省教育廳重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目(15JS043)

盧志偉(1979—),男,講師,碩士。E-mail:luzw8866@163.com