一種星下點(diǎn)精確重訪約束下的軌道設(shè)計(jì)方法

衛(wèi)國(guó)寧，駱劍，康志宇，唐生勇，陳曉光

1.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109 2.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109

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一種星下點(diǎn)精確重訪約束下的軌道設(shè)計(jì)方法

衛(wèi)國(guó)寧1,*，駱劍2，康志宇1，唐生勇1，陳曉光1

1.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109 2.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109

針對(duì)給定星下點(diǎn)的精確重訪軌道設(shè)計(jì)，提出了一種已知兩星下點(diǎn)精確重訪約束下的圓回歸軌道設(shè)計(jì)方法。分析了衛(wèi)星的地心矢量同星下點(diǎn)地心矢量的關(guān)系，將精確星下點(diǎn)重訪約束軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為慣性坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)矢量同動(dòng)坐標(biāo)系內(nèi)一個(gè)定矢量在慣性系下的重合問(wèn)題。建立了不同軌道參數(shù)各自對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)零點(diǎn)的搜尋確定相應(yīng)軌道參數(shù)，完成軌道設(shè)計(jì)。計(jì)算及仿真結(jié)果表明，所提出的構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)并搜索零點(diǎn)的方法能夠設(shè)計(jì)出滿足約束條件的軌道，達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。

星下點(diǎn)；精確重訪；軌道設(shè)計(jì)；回歸軌道；仿真

當(dāng)前空間對(duì)地遙感任務(wù)正在由廣域戰(zhàn)略普查型向特定區(qū)域方向戰(zhàn)術(shù)詳查型發(fā)展。通常詳查載荷受自身較窄觀測(cè)視場(chǎng)約束，要求衛(wèi)星對(duì)地面多個(gè)感興趣的地點(diǎn)，具有精確重訪能力。因此，精確星下點(diǎn)重訪約束的軌道設(shè)計(jì)成為新的需求。近圓回歸軌道以軌道高度均勻、星下點(diǎn)定時(shí)回歸等特點(diǎn)在精確星下點(diǎn)重訪任務(wù)中被廣泛采用。

當(dāng)前，衛(wèi)星軌道參數(shù)確定時(shí)，星下點(diǎn)的計(jì)算理論已經(jīng)較為完備[1-2]，但已知星下點(diǎn)約束時(shí)對(duì)軌道的設(shè)計(jì)尚沒(méi)有成熟的系統(tǒng)方法。Abdelkahlik[2]考慮了衛(wèi)星對(duì)地面的覆蓋帶，采用遺傳算法提出了一種能夠使衛(wèi)星對(duì)多個(gè)給定星下點(diǎn)的分辨率綜合達(dá)到最高的軌道設(shè)計(jì)方法，該方法的成功執(zhí)行依賴于給定星下點(diǎn)的位置，設(shè)計(jì)結(jié)果為非圓軌道且不滿足回歸特性，不能滿足精確重訪給定星下點(diǎn)的需求。Abdelkahlik等[3]另提出了一種二體問(wèn)題下基于星下點(diǎn)的軌道初始設(shè)計(jì)方法，以偏心率和半長(zhǎng)軸為設(shè)計(jì)變量對(duì)軌道進(jìn)行設(shè)計(jì)，并給出了數(shù)值解法。該方法能夠完成星下點(diǎn)精確重訪約束，但同樣未考慮軌道的回歸特性且設(shè)計(jì)結(jié)果為非圓軌道。段方等[4]以半長(zhǎng)軸和軌道傾角為設(shè)計(jì)變量，提出了一類已知衛(wèi)星的星下點(diǎn)反算近圓回歸軌道的方法，但該方法僅適用于衛(wèi)星在單個(gè)軌道上升段內(nèi)星下點(diǎn)過(guò)兩地的情形。

對(duì)地面任意給定兩點(diǎn)精確重訪的軌道設(shè)計(jì)是本文解決的問(wèn)題。將精確星下點(diǎn)重訪約束下的軌道設(shè)計(jì)為近圓回歸軌道，以歷元起始時(shí)刻的半長(zhǎng)軸、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)為設(shè)計(jì)變量，給出了已知星下點(diǎn)及重訪周期約束時(shí)，單個(gè)和多個(gè)軌道周期內(nèi)經(jīng)過(guò)兩地的近圓回歸軌道設(shè)計(jì)方法。之后結(jié)合具有較高應(yīng)用價(jià)值的太陽(yáng)同步軌道，給出了星下點(diǎn)精確重訪的準(zhǔn)太陽(yáng)同步回歸近圓軌道的設(shè)計(jì)方法。同文獻(xiàn)[3-5]不同的是，本文的方法能夠求解出給定約束條件下星下點(diǎn)過(guò)A、B近圓回歸軌道解的邊界。設(shè)計(jì)的方法給出了算例，并對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了可視化校驗(yàn)。

1　單軌道周期內(nèi)星下點(diǎn)過(guò)兩地近　 圓回歸軌道設(shè)計(jì)

1.1坐標(biāo)系定義及轉(zhuǎn)換

(1)

式中：f=0.003 353，為地球扁率。地球非球形引力攝動(dòng)J2項(xiàng)是引起軌道參數(shù)長(zhǎng)期變化的主要因素，本文僅考慮J2項(xiàng)對(duì)各軌道參數(shù)的攝動(dòng)情形。J2項(xiàng)攝動(dòng)下，軌道參數(shù)半長(zhǎng)軸a、偏心率e、軌道傾角i的長(zhǎng)周期平均軌道參數(shù)不變。其他軌道參數(shù)攝動(dòng)變化為[4]：

(2)

式中：Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)；μ為地球引力常數(shù)；Re為地球平均半徑；ω為近地點(diǎn)幅角；u為緯度幅角。本文所設(shè)計(jì)軌道的偏心率、起始時(shí)刻近地點(diǎn)幅角和緯度幅角均為0。

(3)

(4)

式中：ΔλIB為xI軸同xB軸的夾角，從北極上空看，逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎ＴO(shè)起始時(shí)刻兩者夾角為λIB0，則

(5)

式中：ωE為地球自轉(zhuǎn)角速度。三個(gè)坐標(biāo)系及星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地的示意見(jiàn)圖1。

圖1　坐標(biāo)系定義及星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地示意Fig.1　Coordinate systems definition and ground track visiting A/B sites

1.2軌道傾角設(shè)計(jì)

給定星下點(diǎn)，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的緯度幅角[1]

(5)

針對(duì)B′地落入I區(qū)的情形，有

(6)

(7)

1.3升交點(diǎn)赤經(jīng)設(shè)計(jì)

(8)

起始時(shí)刻B地赤經(jīng)同慣性系xI軸夾角為λIB0，A地與B地經(jīng)度差為λA-λB，則起始時(shí)刻的升交點(diǎn)赤經(jīng)

(9)

(10)

式中：N為非負(fù)整數(shù)。則有當(dāng)衛(wèi)星起始時(shí)刻升交點(diǎn)赤經(jīng)為ΩN時(shí)，衛(wèi)星運(yùn)行N圈后，第N+1圈的星下點(diǎn)軌跡經(jīng)過(guò)A地。

1.4回歸軌道設(shè)計(jì)

若衛(wèi)星經(jīng)過(guò)D個(gè)恒星日，運(yùn)行C圈后地面軌跡開(kāi)始重復(fù)，這樣的軌道便是回歸軌道[3]。地球相對(duì)軌道面旋轉(zhuǎn)一周時(shí)間間隔為[6]

衛(wèi)星兩次過(guò)升交點(diǎn)的時(shí)間間隔，即軌道周期[7]

對(duì)于回歸軌道TE和TΩ滿足

CTΩ=DTE

得[4]

(11)

若給定D、C、i，構(gòu)造半長(zhǎng)軸a的函數(shù)

(12)

滿足g(a)=0的半長(zhǎng)軸a即為所求。若a大致范圍已知，給出天數(shù)D約束，則能得出大致的圈數(shù)C的取值范圍，通過(guò)式(12)能夠得到D天內(nèi)所有滿足回歸條件的半長(zhǎng)軸a。

通過(guò)目標(biāo)函數(shù)g(a)、f(i)零點(diǎn)的求解,可得滿足單軌道周期內(nèi)星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地的回歸軌道半長(zhǎng)軸a和軌道傾角i，同時(shí)由式(10)可得軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)。此時(shí)，起始時(shí)刻衛(wèi)星的軌道六要素全部確定，完成軌道設(shè)計(jì)。

2　多軌道周期星下點(diǎn)過(guò)兩地近圓　 回歸軌道設(shè)計(jì)

航天器在軌執(zhí)行任務(wù)時(shí)，通常只需星下點(diǎn)經(jīng)過(guò)期望的地區(qū)即可，并不強(qiáng)調(diào)在單個(gè)軌道周期內(nèi)完成期望地區(qū)的覆蓋，因此有必要進(jìn)行多個(gè)軌道周期內(nèi)星下點(diǎn)過(guò)期望地區(qū)的軌道設(shè)計(jì)。

多軌道周期星下點(diǎn)過(guò)兩地軌道存在性說(shuō)明。記衛(wèi)星星下點(diǎn)過(guò)A地的軌道為第1圈，之后衛(wèi)星每過(guò)一次升交點(diǎn)軌道圈數(shù)加1。設(shè)第L圈的時(shí)候星下點(diǎn)經(jīng)過(guò)B地，如圖2所示。

圖2　多個(gè)軌道周期內(nèi)星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地示意Fig.2　Ground track visits A/B sites within multiple cycles

這里只需完成軌道傾角的設(shè)計(jì)。星下點(diǎn)從經(jīng)過(guò)A地對(duì)應(yīng)軌道段的升交點(diǎn)開(kāi)始到第L圈經(jīng)過(guò)B′地，衛(wèi)星一共轉(zhuǎn)過(guò)地心角

(13)

uB′的計(jì)算見(jiàn)第1.2節(jié)，對(duì)應(yīng)時(shí)間

(14)

半長(zhǎng)軸a、升交點(diǎn)赤經(jīng)ΩN的設(shè)計(jì)同第1節(jié)，起始時(shí)刻衛(wèi)星的軌道6要素全部確定，完成軌道設(shè)計(jì)。

3　星下點(diǎn)過(guò)兩地的準(zhǔn)太陽(yáng)同步近　 圓回歸軌道設(shè)計(jì)

(15)

給定軌道傾角i，則由式(15)可得太陽(yáng)同步圓軌道的半長(zhǎng)軸a。則兩相鄰星下點(diǎn)軌跡之間對(duì)應(yīng)地心夾角

(16)

可得到星下點(diǎn)分別過(guò)A、B兩地的兩個(gè)軌道段，設(shè)兩者升交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的星下點(diǎn)分別為Ar、Br。由第1.3節(jié)可得ΔΩA，同理可得ΔΩB，則連接Ar、Br的弧所對(duì)應(yīng)的地心角

(17)

回歸軌道星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地示意見(jiàn)圖3。

圖3　太陽(yáng)同步回歸軌道星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地示意Fig.3　Repeating sun synchronous orbit ground track visits A/B sites

構(gòu)造函數(shù)

(18)

理論上講，只要回歸時(shí)間足夠長(zhǎng)，星下點(diǎn)能夠覆蓋地球所有地區(qū)，所以星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地的太陽(yáng)同步回歸軌道一定存在，但受到任務(wù)的約束，回歸天數(shù)通常不能過(guò)長(zhǎng)，所以可能存在無(wú)解的情況，可以適當(dāng)放寬h(i)的取值范圍。

4　方法應(yīng)用

已知星下點(diǎn)和回歸周期約束下軌道設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于通過(guò)求解各目標(biāo)函數(shù)零點(diǎn)得到軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)和半長(zhǎng)軸。因?yàn)?個(gè)參數(shù)相互耦合且非線性因素較多，若采用解析的方法直接求解，會(huì)造成較大困難，適宜采用數(shù)值解法。

4.1軌道傾角和半長(zhǎng)軸設(shè)計(jì)方法應(yīng)用

(1)單軌道周期內(nèi)過(guò)兩地情形

i已知時(shí)，給定回歸天數(shù)和圈數(shù)，函數(shù)g(a)為只與半長(zhǎng)軸a有關(guān)的函數(shù)。搜索函數(shù)零點(diǎn)，可得給定回歸天數(shù)約束下所有滿足回歸條件的a值。

(2)L個(gè)軌道周期內(nèi)過(guò)兩地情形

首先給定L的值，分別針對(duì)B地落入I～I(xiàn)V區(qū)4種情形利用式(13)、式(14)解得從第L圈經(jīng)過(guò)B′地的時(shí)間t2。得到t2后軌道傾角和半長(zhǎng)軸的設(shè)計(jì)同單個(gè)軌道周期內(nèi)過(guò)A、B兩地情形相同，不再詳述。

(3)準(zhǔn)太陽(yáng)同步回歸圓軌道設(shè)計(jì)情形

4.2升交點(diǎn)赤經(jīng)設(shè)計(jì)方法應(yīng)用

給定N，將第4.1節(jié)所得Ω1帶入式(10)，可得第N+1圈星下點(diǎn)過(guò)A地軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)ΩN。

5　算例及仿真校驗(yàn)

5.1單軌道周期星下點(diǎn)過(guò)兩地近圓回歸軌道設(shè)計(jì)

按照第4節(jié)中對(duì)應(yīng)執(zhí)行算法，得到3條滿足約束的軌道，表1給出了這3條軌道對(duì)應(yīng)的半長(zhǎng)軸a，軌道傾角i，起始時(shí)刻升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω及各軌道對(duì)應(yīng)的回歸天數(shù)D和回歸圈數(shù)C。選擇編號(hào)為1的軌道進(jìn)行可視化校驗(yàn)，見(jiàn)圖4。

表1　單個(gè)軌道周期內(nèi)星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地的軌道參數(shù)

圖4　軌道1對(duì)應(yīng)90天內(nèi)星下點(diǎn)軌跡可視化校驗(yàn)(N=0)Fig.4　90 days ground track of orbit 1(N=0)

5.2多軌道周期星下點(diǎn)過(guò)兩地近圓回歸軌道設(shè)計(jì)

令軌道在經(jīng)過(guò)A地2圈之后，第3圈過(guò)B地。得到3條回歸軌道見(jiàn)表2，可視化校驗(yàn)見(jiàn)圖5。

表2　3個(gè)軌道周期內(nèi)星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地的軌道參數(shù)

圖5　軌道4對(duì)應(yīng)前三圈星下點(diǎn)軌跡可視化校驗(yàn)(N=0)Fig.5　Ground track of the 1st three circles for orbit 4(N=0)

5.3星下點(diǎn)過(guò)兩地準(zhǔn)太陽(yáng)同步近圓回歸軌道設(shè)計(jì)

執(zhí)行對(duì)應(yīng)算法發(fā)現(xiàn)無(wú)解，可適當(dāng)放寬ξ4約束，令ξ4=0.01，得星下點(diǎn)近似過(guò)A、B兩地的兩條太陽(yáng)同步回歸軌道，相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表3，可視化校驗(yàn)見(jiàn)圖6。

表3　過(guò)A、B兩地的太陽(yáng)同步回歸軌道軌道參數(shù)

6　結(jié)束語(yǔ)

本文研究了一種已知星下點(diǎn)A、B，考慮J2項(xiàng)攝動(dòng)時(shí)的精確星下點(diǎn)重訪約束下的軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題。針對(duì)衛(wèi)星軌道在單軌道周期、多軌道周期內(nèi)星下點(diǎn)過(guò)兩地的不同情形，通過(guò)對(duì)構(gòu)建的以軌道傾角為變量的目標(biāo)函數(shù)零點(diǎn)的搜索，完成了軌道傾角的設(shè)計(jì)；在回歸天數(shù)和回歸軌道圈給定情況下，通過(guò)對(duì)構(gòu)建的以半長(zhǎng)軸為變量的目標(biāo)函數(shù)零點(diǎn)的搜索，完成了回歸軌道半長(zhǎng)軸的設(shè)計(jì)；給出衛(wèi)星升交點(diǎn)赤經(jīng)的計(jì)算公式，確定了滿足星下點(diǎn)過(guò)A、B兩地的軌道的解的邊界。同樣通過(guò)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)搜索零點(diǎn)的方式進(jìn)行了星下點(diǎn)A、B的太陽(yáng)同步回歸軌道的設(shè)計(jì)。最后，給出具體算例，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了可視化校驗(yàn)。結(jié)果顯示，該方法能夠較好地解決已知兩星下點(diǎn)情況下對(duì)軌道的反設(shè)計(jì)問(wèn)題。后續(xù)工作將考慮相機(jī)視場(chǎng)，對(duì)ξ取值與星下點(diǎn)覆蓋帶寬度的影響進(jìn)行分析，并對(duì)衛(wèi)星進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)情形下多個(gè)星下點(diǎn)約束的精確重訪軌道設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究。

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(編輯：高珍)

A method of orbit design based on precise revisit of a given ground track

WEI Guoning1,*, LUO Jian2, KANG Zhiyu1, TANG Shengyong1, CHEN Xiaoguang1

1.Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201109, China 2.Shanghai Academy of Spacelight Technology, Shanghai 201109, China

A new orbit design method is needed for precise revisit the given ground track points. A method of designing precise revisit of 2 given ground track round repeating orbit was proposed. The relationship between the satellite geocentric vector and the ground track geocentric vector was analyzed; the problem was converted to the coincidence problem in the inertial coordinate system of a motion vector in inertial coordinate system and a constant vector in the moving coordinate system. Different target functions were constructed,while orbit elements were obtained by searching the zeros of the corresponding function. Calculation and simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed approach.

ground track point;precise revisit;orbit design;repeating orbit;simulation

10.16708/j.cnki.1000-758X.2016.0049

2015-12-10；

2016-05-17；錄用日期：2016-06-30；

時(shí)間：2016-08-0214:19:55

http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.1859.V.20160802.1419.001.html

上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)資助課題(14XD1423400)

衛(wèi)國(guó)寧(1991-)，男，碩士研究生，wgn517@email,主要研究方向?yàn)楹教炱鬈壍涝O(shè)計(jì)、飛行器總體設(shè)計(jì)

V412.41

A

http:∥zgkj.cast.cn

引用格式：衛(wèi)國(guó)寧，駱劍，康志宇，等.一種星下點(diǎn)精確重訪約束下的軌道設(shè)計(jì)方法[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù),2016,36(4):

67-73.WEIGN,LUOJ,KANGZY,etal.Amethodoforbitdesignbasedonpreciserevisitofagivengroundtrack[J].ChineseSpaceScienceandTechnology,2016,36(4):67-73(inChinese).