淺談解答解析幾何綜合題中簡化運(yùn)算的若干技巧

李萍

摘 要：在歷年的高考中，解析幾何綜合題是命題熱點(diǎn)之一。該類試題一般以解析幾何知識為載體，涵蓋函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角等各方面知識，涉及知識點(diǎn)頗多，具有題型多樣性、方法靈活性、計(jì)算復(fù)雜性、思維嚴(yán)密性等特點(diǎn)，對學(xué)生解題能力考查的層次要求較高。同學(xué)們在解答時往往半途而廢，甚至無從下手。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生要善于總結(jié)平時探索、討論所得的解題思想、方法和策略，提升解題技巧。在解題時認(rèn)真審題，從宏觀上把握，微觀上突破，采取合理、正確的解題技巧。本文就解析幾何綜合題中簡化運(yùn)算的若干技巧作了介紹，以期對一線師生們有所幫助。

關(guān)鍵詞：解析幾何綜合題；簡化運(yùn)算；技巧；數(shù)形結(jié)合；設(shè)而不求

學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)往往都有同感：高中數(shù)學(xué)難，解析幾何綜合題更是其中的難題。解析幾何綜合題表現(xiàn)為條件多、題干長，往往有兩問或三問，第二問一般是開放性、探索性問題，有利于考查學(xué)生綜合分析解決問題的能力。該題目常以壓軸題呈現(xiàn)，每年必考，經(jīng)久不衰，是高考的主干內(nèi)容之一。很多學(xué)生懼怕此類題目，有的直接放棄第二問。解答此類題目時需要運(yùn)用多種知識和多種數(shù)學(xué)手段，將各種基本公式、定義、法則熟記于心，另外要想做到解題準(zhǔn)確且迅速，還需要掌握一些技巧和方法。如：全面認(rèn)真審題，逐一進(jìn)行轉(zhuǎn)化；設(shè)而不求，整體代換，整體求出；數(shù)形結(jié)合、直觀顯示、盡量減少運(yùn)算量；研究圖形特殊性、先知后證；判別式與韋達(dá)定理；向量法；求根公式等。解析幾何綜合題自有路徑可循，方法、技巧可依，需要我們在日常學(xué)習(xí)中不斷總結(jié)和突破。

一、全面認(rèn)真審題，逐一進(jìn)行轉(zhuǎn)化

針對解析幾何綜合題信息量大、字母符號繁多、圖形復(fù)雜等特點(diǎn)，學(xué)生對開放性、探索性的問題，沒有明確的解題目標(biāo)，很難找到解題方向，往往比較茫然。所以，認(rèn)真審清題意、找到解題的切入口是解題的關(guān)鍵前提。全面認(rèn)真審題要做到“三審”：審條件、審圖形、審結(jié)論，并注意挖掘隱含條件。仔細(xì)理清題干給出的是哪一種或哪幾種曲線以及它們之間是怎樣的位置關(guān)系，其方程是已知的還是含字母待求的等，要對照圖形弄清各種曲線之間的關(guān)系，如果題目沒有明確給出圖形，要邊讀題邊畫出圖形，以便于理清題目，最后，通過審結(jié)論明確解題目標(biāo)。但是，因?yàn)闂l件和結(jié)論相距甚遠(yuǎn)，同學(xué)們在解題的時候很可能找不到解題的方向，鑒于此問題，可對條件逐一進(jìn)行轉(zhuǎn)化，朝著結(jié)論指示的解題目標(biāo)轉(zhuǎn)化，與此同時轉(zhuǎn)化結(jié)論，一旦對接上，就找到了解決問題的切入口。

二、設(shè)而不求，整體代換，整體求出

在解答解析幾何綜合題的過程中，巧妙地設(shè)某些變量，如點(diǎn)的坐標(biāo)、圓錐曲線方程、直線方程等，盡量減少變量的個數(shù)，是順利解題的開始，而解答過程中的運(yùn)算是能否解題成功的關(guān)鍵。要以解題的總目標(biāo)為中心，運(yùn)用設(shè)而不求的運(yùn)算技巧，實(shí)施整體代換、整體化簡、整體求出的整體策略，化繁為簡，解題自然水到渠成、事半功倍，體現(xiàn)了整體思維和全局觀念的優(yōu)越性。在此過程中，要特別注意挖掘題目的隱含條件。

三、數(shù)形結(jié)合，直觀顯示，盡量減少運(yùn)算量

解析幾何綜合題體現(xiàn)了解析幾何在數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以坐標(biāo)法為基礎(chǔ)，建立以代數(shù)方法研究幾何問題的知識體系，核心思想是數(shù)形結(jié)合。同學(xué)們在解題的過程中，善于利用圖形特點(diǎn)和性質(zhì)，往往可以簡化運(yùn)算，使解答更加容易、便捷。

四、研究圖形特殊性，先知后證

緊緊抓住問題的特殊性進(jìn)行猜想是一種哲學(xué)方法。在解析幾何的定點(diǎn)、定值等問題中，面對復(fù)雜的式子，同學(xué)們往往不知所向，解答過程中變得茫然、被動，但是通過研究圖形的特殊性、臨界狀態(tài)，由此先得出結(jié)論，再對所得結(jié)論進(jìn)行一般情形下的證明。此方法可為我們的解題指明方向，問題不再煩瑣，而是迎刃而解。

五、判別式與韋達(dá)定理

軌跡問題的解題困難在于多動點(diǎn)的困擾，同學(xué)們往往束手無策。其實(shí)，面對此類題目，同學(xué)們應(yīng)該想到通過參數(shù)法來求解。在解題過程中，首先選定參數(shù)，之后想辦法將點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參實(shí)現(xiàn)成功解題。

由方程組進(jìn)行消元，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的有關(guān)一個變量的一元二次方程，易于想到其判別式與韋達(dá)定理模塊思維。在解題的過程中，難點(diǎn)在于引出參，活點(diǎn)在于應(yīng)用參，重點(diǎn)在于消去參，而引參、用參、消參是解答解析幾何綜合題的一條有效途徑。

六、向量法

向量法是用向量的方法解題或做題目，利用向量的數(shù)量積構(gòu)造出等式或函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)求最值的方法求最值。通過此方法，可以將復(fù)雜的問題簡單化，便于同學(xué)們理解和計(jì)算，這樣顯然要比單純利用解析幾何知識建立等量關(guān)系更簡單一些。

七、求根公式

范圍問題不等關(guān)系的建立有很多途徑，包括均值不等式法、判別式法、變量的有界性法、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)的性質(zhì)法等，根據(jù)具體問題，選擇合適的方法進(jìn)行解答，定能簡化運(yùn)算，問題自然迎刃而解。

總之，在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往過于強(qiáng)調(diào)死記硬背概念、定理和公式，而忽視了對知識進(jìn)行提取或總結(jié)；重視講解課本內(nèi)容，而忽略了提高學(xué)生的解題技巧，缺乏了對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文介紹了解答解析幾何綜合題的一些策略和技巧，在解答解析幾何綜合題的過程中幾乎都要用到以上策略。因?yàn)樵擃愵}目的長度大、運(yùn)算量大、難度大，同學(xué)們即使找到切入口形成解題思路，還會出現(xiàn)解題失敗的情況，如因某一步運(yùn)算出錯導(dǎo)致解題半途而廢，前功盡棄，或順著錯誤的結(jié)果繼續(xù)解題導(dǎo)致會而不對，還會出現(xiàn)因?qū)栴}沒有分析全面，考慮不周導(dǎo)致對而不全，白白丟分，十分可惜。具體表現(xiàn)為在消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程后忽略了對判別式的討論，在設(shè)直線方程時忽略了斜率不存在的情況等，所以教師在平時的教學(xué)中，特別是針對此類題目，要注重培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心縝密的做題習(xí)慣，引導(dǎo)學(xué)生掌握簡便、有效的運(yùn)算技巧，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)強(qiáng)的意志力，而不是遇到問題就放棄，或半途而廢。在解題時，要有堅(jiān)持到底就一定能成功的信心，因?yàn)楫?dāng)確定目標(biāo)時，堅(jiān)持比方法更重要。

高考猶如上戰(zhàn)場，而解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，局部短暫的勝利并不是成功，切忌被局部糾纏而看不清問題的實(shí)質(zhì)所在。見微知著，縱觀全局，從局部入手，樹立整體觀念，在掌握通法通性的同時不應(yīng)只形成一個個集體套路，解題時生搬硬套，缺乏分析，跟著感覺走，做到哪兒就算哪兒，而應(yīng)該從宏觀上去把握，從微觀上去突破，講究排兵布陣，運(yùn)籌帷幄，在審題和解題的整體思路設(shè)計(jì)上下功夫，樹立必勝的信心，不斷克服解題過程中的困難。

以上解答解析幾何綜合題的思路和技巧告訴我們：多做多練，見多識廣，可以增強(qiáng)我們的領(lǐng)悟能力；善于總結(jié)，可減少解題時的盲目性。解題過程中的應(yīng)答自如，源自于平時學(xué)習(xí)中的日積月累，只有多練習(xí)、多探索、多總結(jié)，掌握各種技巧，做題時才能隨機(jī)應(yīng)變，使問題迎刃而解。

參考文獻(xiàn)：

1.朱大紅.高中解析幾何的學(xué)習(xí)障礙分析及對策研究[D].蘇州大學(xué)，2015.

2.沈志剛.讓解析幾何綜合題適度“幾何”化——解析幾何綜合題應(yīng)注重對幾何關(guān)系的特征剖析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2011，01：40-43.

3.金偉兵.提升解析幾何綜合題計(jì)算能力的有效途徑——“模塊訓(xùn)練法”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2014，21：19-20-22.

4.韓志剛.解答解析幾何綜合題的兩類常用方法[J].中學(xué)生數(shù)理化（高二版），2012，11：10-14.

5.刁成章.運(yùn)用運(yùn)動變化思想優(yōu)化解析幾何中的運(yùn)算[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015，02：38-43.

（作者單位：湖南省郴州市一中）