傅里葉分析和小波分析的教學(xué)實踐探索

廖翠萃

(江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇　無錫　214122)

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傅里葉分析和小波分析的教學(xué)實踐探索

廖翠萃

(江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇無錫214122)

為了更好地完善傅里葉分析和小波分析選修課的教學(xué)工作，討論了這門課在實際教學(xué)過程中存在的問題，結(jié)合理論與實踐教學(xué)經(jīng)驗，在理論講述、講述技巧、課堂形式上進(jìn)行了一些嘗試和調(diào)整，收到了良好的教學(xué)效果。

傅里葉分析； 小波分析； 教學(xué)方法

傅里葉分析和小波分析是迄今為止應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)工具，為工程應(yīng)用和數(shù)學(xué)中的很多問題提供了解決辦法。大多數(shù)院系信息相關(guān)的理工科專業(yè)都會把傅里葉分析和小波分析列為高年級本科生或者研究生的選修課。這門課程具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)背景，在信息領(lǐng)域的應(yīng)用層面相當(dāng)廣泛，但在這門選修課教學(xué)過程中存在的一些問題還有待討論和解決，對這門課程的教學(xué)方法研究目前還有待成熟和完善。

1　課程背景和選修課要求

1822年，法國著名數(shù)學(xué)家Fourier提出一種新的理論“熱的解析理論”對當(dāng)時數(shù)學(xué)物理學(xué)科的分析領(lǐng)域產(chǎn)生了重大影響，后來被譽(yù)為傅里葉分析方法[1]。傅里葉變換定義了“頻率”的概念，用它可分析信號能量在各個頻率成分中的分布情況。傅里葉分析對頻譜分析帶來了重大進(jìn)展，但傅里葉分析并不是萬能的，它無法做到局部分析，無法在頻域信息中提供時間刻度。隨后產(chǎn)生的小波分析彌補(bǔ)了傅里葉分析的這點(diǎn)不足。1974年由J. Morlet首次提出了小波變換的概念[2]，1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer構(gòu)造出了一個真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的有效多分辨分析方法，此時小波分析逐漸蓬勃發(fā)展起來。小波分析是對傅里葉分析的發(fā)展，而傅里葉分析是對小波分析的支撐，它們同是信號分析中的主要方法。小波理論的進(jìn)一步發(fā)展仍然離不開傅里葉分析的理論和方法。

傅里葉分析和小波分析作為數(shù)學(xué)的一類分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展。數(shù)學(xué)中很多重要思想的形成，都與傅里葉分析的發(fā)展過程密切相關(guān)。而傅里葉分析和小波分析是迄今為止應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)工具，它對工程應(yīng)用的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，其理論研究和應(yīng)用是緊密結(jié)合在一起的，廣泛應(yīng)用于信號分析、圖像處理、量子力學(xué)、理論物理、軍事電子對抗與武器智能化、計算機(jī)分類與識別、音樂與語言的人工合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地質(zhì)勘探數(shù)據(jù)處理、大型機(jī)械的故障診斷及數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科[2]。

這門課程以數(shù)學(xué)課程為基礎(chǔ)，以解決信息技術(shù)領(lǐng)域為目標(biāo)[3]，是“門檻高”“難度大”的選修課。通過學(xué)習(xí)，要求學(xué)生了解傅里葉分析與小波分析的發(fā)展歷史，掌握多分辨分析的思想、尺度函數(shù)與小波函數(shù)的構(gòu)造、波分析的分解與重構(gòu)算法，了解多元小波分析和小波包的分解，會使用Matlab小波工具箱，能使用波分析理論解決實際應(yīng)用問題。

2　課程教學(xué)中存在的一些問題

這門選修課在非信號處理專業(yè)的學(xué)科中的教學(xué)方法尚不成熟，在學(xué)習(xí)和教學(xué)過程中普遍存在以下三個問題：

2.1學(xué)生前續(xù)課程理論不扎實，貯備知識欠缺

傅里葉分析和小波分析的前續(xù)課程包括高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、泛函分析、矩陣分析、計算機(jī)程序語言、Matlab等。波分析的數(shù)學(xué)原理需要較復(fù)雜和廣泛的數(shù)學(xué)背景，其對數(shù)學(xué)知識貯備的要求很高，即使對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也存在一定的難度。因此,對于大部分理工科專業(yè)的學(xué)生而言，這門課的入門臺階較高，大部分學(xué)生不完全具備符合要求的數(shù)學(xué)知識貯備，在多分辨分析原理的學(xué)習(xí)上存在較多障礙，無法按照要求掌握抽象的多分辨分析理論。理論上的欠缺直接影響繼續(xù)學(xué)習(xí)和運(yùn)用波分析工具。

2.2課程缺乏難易適中、形象易懂的教材

因為這門課的難度系數(shù)較大且應(yīng)用層面廣泛，國內(nèi)外關(guān)于傅里葉分析和小波分析的教材數(shù)目并不豐富，且每個教材的側(cè)重點(diǎn)不同，在知識框架的難度掌握上難以有合適的選擇。有的教材側(cè)重于其嚴(yán)密的數(shù)學(xué)原理證明，敘述抽象，難度很大，不便于作為選修課教材來學(xué)習(xí)；有的教材側(cè)重于波分析的具體應(yīng)用，對數(shù)學(xué)原理的介紹較為簡略和概括，無法較好地闡述傅里葉分析和小波分析之間的聯(lián)系與區(qū)別以及多分辨分析的理論本質(zhì)，沒有足夠的理論支持就無法較好地掌握具體的應(yīng)用。對于數(shù)學(xué)知識儲備不足的學(xué)生來說，難以理解波分析的數(shù)學(xué)原理，直接影響波分析的理解和后續(xù)應(yīng)用。從教師的角度來說，難以選擇合適教材，通常指定一門教材后，在實際教學(xué)中經(jīng)常需要補(bǔ)充相關(guān)的理論知識和實驗，或者省略難度大晦澀難懂的證明；從學(xué)生的角度來說，難以選擇到易于理解的參考書指導(dǎo)課后的學(xué)習(xí)。能夠既將所需的數(shù)學(xué)原理敘述的形象而清晰，并且在此基礎(chǔ)上展開波分析應(yīng)用的教材，比較緊缺。這給實際教學(xué)帶來了一定的困難。

2.3波分析應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，教學(xué)難以深入

傅里葉分析和小波分析是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)工具，其引用所跨領(lǐng)域五花八門，每個應(yīng)用都是一門較深的學(xué)問。這門選修課也是一門新興的課程，屬于學(xué)科交叉范圍的課程。對于一般教師來說，在選修課教學(xué)過程中難以把握好廣度和深度，對社會熱點(diǎn)中的波分析技術(shù)的掌握不足，無法兼顧波分析在多個領(lǐng)域中的具體應(yīng)用，在引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維上還需要更多的準(zhǔn)備和努力。

3　在理論與實踐教學(xué)中的探索

在實際教學(xué)過程中，筆者感到傅里葉分析和小波分析是一門非常符合高等教育理念的選修課，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯能力、問題分析能力、計算機(jī)編程能力、理論聯(lián)系實際的能力，其不僅擴(kuò)展了學(xué)生知識領(lǐng)域和專業(yè)視野，還可以深入影響學(xué)生將來的就業(yè)和科研工作。為了更好地做好這門選修課的教學(xué)工作，筆者在以下幾個方面做出了調(diào)整和嘗試：

3.1強(qiáng)調(diào)波分析理論框架的思想，著重基本數(shù)學(xué)原理的講授

波分析理論所需數(shù)學(xué)知識貯備較高，難度較大，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的準(zhǔn)備程度不同，對波分析理論的掌握程度就各不相同。但是對于大多數(shù)學(xué)生來說，基本了解波分析理論的一般框架、認(rèn)可波分析的基本數(shù)學(xué)原理，并不是一件難事。這部分內(nèi)容又是傅里葉分析和小波分析理論部分的核心內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上學(xué)生可以舉一反三，根據(jù)興趣做到自主學(xué)習(xí)和應(yīng)用波分析理論去解決實際問題。所以在實際教學(xué)中要反復(fù)加強(qiáng)對波分析思想的講述，重視對基礎(chǔ)數(shù)學(xué)原理的闡述和證明，使學(xué)生能夠較好地掌握波分析的核心理論。對于其他數(shù)學(xué)原理的講述，應(yīng)著重對其數(shù)學(xué)幾何意義的闡述，豐富其在理論框架中的作用。對理論部分的講解做到有重有輕，有利于提高授課質(zhì)量，講授核心思想，讓學(xué)生掌握波分析的核心規(guī)律。

3.2遵循由易入難、由特殊到一般的學(xué)習(xí)規(guī)律，通過對比教學(xué)展現(xiàn)不同波分析工具的特點(diǎn)

多分辨分析理論較為抽象復(fù)雜，而Haar小波分析是小波分析中最簡單的波分析工具，其理論框架隸屬于多分辨分析的理論。Haar小波分析簡單、形象，同時功能強(qiáng)大。在教學(xué)過程中對Haar小波分析的透徹講解，非常有利于后面難度較大的多分辨分析理論的理解和掌握。在講解多分辨分析理論中，及時回憶相應(yīng)理論在Haar小波分析中的作用和意義，有利于學(xué)習(xí)和理解多分辨分析理論。

同時，在教學(xué)過程中注重對比教學(xué), 不同波分析工具的特點(diǎn)和適用對象不同，除了在理論上對比講述它們之間的區(qū)別外[4]，在實驗效果上加強(qiáng)處理效果的對比，加深學(xué)生對不同波分析工具的理解。

例如，在講完傅里葉分析后，引入小波分析。首先為了說明傅里葉分析的不足，可以對圖1中的兩個信號進(jìn)行快速傅里葉變換比較它們的處理效果，即頻譜圖。圖1中的兩個不同的信號a和b，分別進(jìn)行快速傅里葉變換后的頻譜圖非常相似，可知兩個原信號都是主要由25 Hz,50 Hz,100 Hz,200 Hz這四個頻率成分構(gòu)成。雖然這兩個信號頻率構(gòu)成成分相同，但由原信號圖可知，每部分頻率發(fā)生的時間段是不一樣的，這個特征在傅里葉變換后的頻譜圖中，無法體現(xiàn)。這表明了傅里葉變換的缺陷就在于在無法提供信號的時刻信息。傅里葉分析是完全的頻譜分析，無法提供時間刻度，而后來的小波分析能做到的是時頻分析，在分析頻域的同時，也可以提供某個頻率發(fā)生的時間。圖1中信號b經(jīng)過小波分析后的時頻圖如圖2所示，x軸是時間，y軸是尺度，注意尺度值越低代表的是高頻率，尺度值越高代表的低頻率。從圖1中可以看出25 Hz,50 Hz,100 Hz,200Hz每部分頻率發(fā)生的時間位置。這是小波分析的優(yōu)于傅里葉分析的所在之處。小波變換是一種新的變換分析方法，它繼承和發(fā)展了短時傅立葉變換局部化的思想，同時又克服了窗口大小不隨頻率變化等缺點(diǎn)，能夠提供一個隨頻率改變的“時間-頻率”窗口，是進(jìn)行信號時頻分析和處理的理想工具。

圖1　對兩個信號(左上、左下)分別經(jīng)過快速傅里葉變換的頻譜圖結(jié)果(右上、右下)對比

通過對比實驗，學(xué)生們不僅能夠較直觀地掌握知識要點(diǎn)，有利于理論知識的記憶和梳理，也有助于增強(qiáng)學(xué)生對動手實驗部分的興趣。對后面波分析工具的具體應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

圖2　對圖1中的信號b進(jìn)行小波分析的時頻圖

3.3翻轉(zhuǎn)課堂，由學(xué)生們講述對波分析原理的認(rèn)識和應(yīng)用

傅里葉分析和小波分析的應(yīng)用非常廣泛，在日常生活中也很常見，比如音頻除噪、圖像壓縮，在瀏覽網(wǎng)頁時就經(jīng)常會遇到波分析工具的應(yīng)用。相對于理論部分，波分析的應(yīng)用有趣而生動，且與日常生活息息相關(guān)，也是學(xué)生們非常感興趣的部分。在講述了有代表性的音頻除噪和圖像壓縮原理及其應(yīng)用后，學(xué)生完全可以利用已經(jīng)掌握的基礎(chǔ)理論學(xué)習(xí)波分析在科技領(lǐng)域的應(yīng)用。所以在講授完多分辨分析理論之后，布置學(xué)生分組報告作業(yè)。分組報告的內(nèi)容與波分析有關(guān)，可以是理論總結(jié)、課本練習(xí)中的Matlab過程實現(xiàn)、波分析各類應(yīng)用介紹與實踐等。學(xué)生們通過查找資料和與組內(nèi)成員的討論，分析原理，分析實驗結(jié)果，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，組織一個PPT報告。

比如在實施過程中學(xué)生小組曾報告的題目有：“淺談醫(yī)學(xué)圖像的壓縮應(yīng)用”“小波分析與圖像處理”“多分辨分析對音頻文件的除噪和壓縮”“歌曲音頻除噪的Matlab實現(xiàn)”“圖片的融合和強(qiáng)化程序?qū)崿F(xiàn)”“圖像的加密實驗”“小波分析在氣象分析中的應(yīng)用”“巖層探測中的小波探礦法”“股票k線圖的小波分析應(yīng)用”等。

這種形式的報告激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和興趣，抓住了學(xué)生的注意力，并且每個報告內(nèi)容是不同的波分析應(yīng)用或者不同深度、不同層面的應(yīng)用實踐，擴(kuò)大了學(xué)生對波分析工具的應(yīng)用視野。這種翻轉(zhuǎn)課堂的形式在實際教學(xué)過程中收到了顯著的效果，學(xué)生也在此過程中受益匪淺。

4　結(jié)論

傅里葉分析和小波分析是高等教育理工科專業(yè)的重要而有難度的選修課。這門課程對教師和學(xué)生的要求較高，在實踐教學(xué)和學(xué)習(xí)過程存在一定的問題。本文介紹了筆者在理論講述、講述技巧、課堂形式這三方面做出了一定的調(diào)整和嘗試。針對傅里葉分析和小波分析在教學(xué)過程中存在的問題，我們將繼續(xù)積極進(jìn)行探索和研究。希望在教師同行的共同努力下，為這門課的教學(xué)和發(fā)展做出有益的貢獻(xiàn)。

[1]劉明才.小波分析及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社, 2005:2-5.

[2]Albert Boggess, Francis J Narcowich. 小波與傅里葉分析基礎(chǔ)[M].芮國勝，康健,譯.北京：電子工業(yè)出版社，2013:185-190.

[3]徐立祥, 牛欣, 顧澤宇,等.應(yīng)用型本科院校信息與計算科學(xué)專業(yè)小波分析課程理論與實踐教學(xué)的探索[J].科技視界, 2016(4):43-44.

[4]羅永, 成禮智.傅立葉變換與小波變換的比較教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2008, 28(4):105-108.

責(zé)任編輯俞林

Exploration on the teaching practice of Fourier analysis and Wavelets analysis

LIAOCuicui

(College of Science, Jiangnan University, Wuxi214122, China)

To improve the teaching method in Fourier analysis and wavelets analysis, problems in the teaching practice are discussed. With experiences in theory and practice of teaching, several experiments and adjustments are taken, which has obtained a good effect.

Fourier analysis; wavelets analysis; teaching method

2016-04-29

項目來源：國家自然科學(xué)基金資助項目(11401259)

廖翠萃(1983—)，女，河南唐河人，講師，博士，研究方向:計算數(shù)學(xué)。

10.13750/j.cnki.issn.1671-7880.2016.04.007

G 712

A

1671-7880(2016)04-0023-04