均勻度解釋混沌及生態(tài)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)依據(jù)

鄧群，羅傳文

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，江蘇 徐州　221008；2.東北林業(yè)大學(xué) 林學(xué)院，黑龍江 哈爾濱　150040)

?

均勻度解釋混沌及生態(tài)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)依據(jù)

鄧群1，羅傳文2

(1.中國礦業(yè)大學(xué) 學(xué)報(bào)編輯部，江蘇 徐州221008；2.東北林業(yè)大學(xué) 林學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150040)

定義了任意分布函數(shù)的均勻度，在此基礎(chǔ)上提出了“均勻度的獨(dú)立性”公理和“均勻分布最均勻”的命題，闡明了均勻度與熵的相似性，從而揭示了均勻度解釋混沌的內(nèi)在機(jī)理.根據(jù)獨(dú)立性公理，k步期望均勻度是存在的，可以用k步平均均勻度估計(jì).由于任意分布函數(shù)F可以看作是F-1對均勻分布的變換，數(shù)值計(jì)算表明，分布函數(shù)的非線性程度是導(dǎo)致k步平均均勻度降低的原因.熵是描述分布的不確定性程度的量，也描述樣本的分散程度，樣本分散程度意味著樣本均勻程度，反之亦然，分布的確定性程度意味著樣本的集中程度，樣本的集中程度意味著樣本的不均勻程度，反之亦然，這是熵與均勻度的共同點(diǎn).生態(tài)學(xué)中，大多數(shù)格局是集聚格局是由存在于自然界中的非線性變換所致.

混沌；熵；均勻度；k步混沌強(qiáng)度

MSC 2010：97K80

首先明確2個(gè)概念,分布是指概率母體的分布函數(shù),格局是指來自概率母體的歐氏空間上的樣本，在很多文獻(xiàn)中2個(gè)概念被混用，雖然被混用但仍能區(qū)分所指.

均勻性的度量在生態(tài)學(xué)中約有百年歷史，將均勻分布的樣本稱為隨機(jī)格局，比隨機(jī)格局更不均勻的格局稱為集聚格局，比隨機(jī)格局更均勻的格局稱為均勻格局，所以，這里一定要區(qū)分均勻格局與均勻分布是完全不同的.格局依次區(qū)分為集聚格局、隨機(jī)格局和均勻格局，均勻分布對應(yīng)隨機(jī)格局.

但生態(tài)學(xué)的格局只在二維(平面)上進(jìn)行研究，生態(tài)學(xué)的大量研究表明，大多數(shù)情況下植物的分布都是集聚的,這一現(xiàn)象可以用本文的“均勻分布最均勻”的命題解釋.眾所周知，均勻分布的樣本是混沌軌道的極端情況，混沌的軌道都是集聚的,這一現(xiàn)象也可以用“均勻分布最均勻”的命題解釋,均勻分布的熵相對所有其他的分布最大，這說明除了均勻分布所有的分布都是集聚的,這一現(xiàn)象也可以用“均勻分布最均勻”的命題解釋.所以，植物格局、混沌軌道格局、分布的樣本(格局)都可以區(qū)分為集聚格局和隨機(jī)格局，當(dāng)樣本間有相關(guān)性時(shí)才能產(chǎn)生均勻格局.

在生態(tài)學(xué)中的格局都是集聚的，即總是比均勻分布更不均勻，但是，植物的格局偶爾也出現(xiàn)均勻格局，即比均勻分布更均勻的情況，植物間有相克的化學(xué)作用則產(chǎn)生均勻格局.人類的行為產(chǎn)生的格局往往比隨機(jī)格局更均勻，如人工營造的森林、平原地區(qū)的自然村屯的格局都是均勻格局，可見均勻格局是樣本中的相關(guān)性所引起的，人為地控制樣本中的最近鄰體距離或植物間的相克則產(chǎn)生均勻格局.

文獻(xiàn)[1-3]通過均勻度(瞬時(shí)混沌強(qiáng)度和k步混沌強(qiáng)度)成功地度量了混沌，其計(jì)算結(jié)果都是成功的(參數(shù)隨意選取，不需要特別選定)，混沌軌道的均勻度與參數(shù)之間表現(xiàn)了精確的同步變化關(guān)系，說明均勻度度量混沌是非常有效的.

所以，自然演化的植物分布和混沌的軌道都是集聚的，不是偶然的，有其必然的聯(lián)系，因?yàn)榛煦绲能壍篮椭参锏姆植级际莵碜苑蔷€性函數(shù)的變換.

混沌的理論和實(shí)踐意義是廣泛的[4-7]，文獻(xiàn)[8]證明了區(qū)間迭代不可分意味著混沌的定理；文獻(xiàn)[9-11]提出了多種離散的生物種群動力模型，均是Logistic模型的變化.

文獻(xiàn)[12]在心動周期的研究中定義了混沌度，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)性研究.熵是研究混沌程度的重要手段，但熵是定義在概率分布的基礎(chǔ)上的，而概率分布又是基于空間分割的，所以長期以來人們忽視了隨機(jī)點(diǎn)集的空間性質(zhì)的研究.本文闡明了熵與均勻度的共通性和一致性，并將相應(yīng)的方法和指標(biāo)應(yīng)用于闡明混沌、概率母體及生態(tài)格局的共通性.

1　理論與方法

n維球的體積可表示為

(1)

式中，r為球的半徑，Γ(·)為Γ-函數(shù).

根據(jù)定義1顯然有獨(dú)占球B(x)的半徑為M(x)/2，獨(dú)占體的體積為M(x)n，根據(jù)式(1)，有

(2)

(3)

(4)

為格局S的均勻度，L(S)的數(shù)學(xué)期望E[L(S)]為期望均勻度.對于混沌動力系統(tǒng)，設(shè)B?A?Rn，f:B→B有界，θ為f的參數(shù)向量，選擇適當(dāng)?shù)亩嗝骟wA，使得B?A，且Av=V*(A)>0.

(5)

對任意x0∈B和給定的k0(一般k0>10 000)，記軌道(點(diǎn)集)的1個(gè)片段(1個(gè)子集)為S(k0,k1)=(xk0,xk0+1,…,xk0+k1-1)，其獨(dú)占球總體積為

稱為動力系統(tǒng)(5)對初值x0的瞬時(shí)混沌強(qiáng)度(簡記為ICM)，ICM的數(shù)學(xué)期望E(ICM)稱為期望混沌強(qiáng)度.稱

為k1步混沌強(qiáng)度(簡記為k1SCM)，顯然k1步混沌強(qiáng)度是ICM的采樣平均值，它是期望混沌強(qiáng)度E(ICM)的1個(gè)估計(jì)，即

(6)

從式(6)可以看出，期望均勻度和期望混沌強(qiáng)度的比值是常數(shù).

定義3設(shè)A為n維歐氏空間Rn中的一個(gè)多面體，F(xiàn)是定義在A上的分布函數(shù)，S(x1,x2,…)為F的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，S(i,k)=(xik,xi(k+1),…,xk0+k1-1)為S的一個(gè)子集，則S(i,k)的均勻度記為Lik，稱

(7)

公理1(獨(dú)立性)引用定義3的全部符號，則Lik=L[S(i,k)]，對于i是獨(dú)立同分布的.

定義3為分布函數(shù)F定義了均勻度，且多面體A上的均勻分布的均勻度為1/Vn(1)[3]，均勻分布的熵為A的體積V(A),所以可以得到A上的分布中均勻分布的均勻度是最大的，且當(dāng)F為常數(shù)時(shí)，F(xiàn)的熵為0，同時(shí)F的均勻度也為0.

引理1(線性變換不變性)設(shè)Pt:S?A?Rn為1個(gè)有限點(diǎn)集，F(xiàn)為A上的線性函數(shù)，F(xiàn)=ax+b，a≠0，則L(S)=L[F(S)].

證明根據(jù)定義(1)、(2)和式(4)有

顯然，線性變換不會改變鄰體關(guān)系，即變換前后緊鄰不會改變，換句話說，在S中，最近的2個(gè)點(diǎn)經(jīng)過線性變換后仍然是最近的2個(gè)點(diǎn)，即對任意x?S?A，有MP[F(x)]=F[MP(x)]，但緊鄰距離會發(fā)生改變，即M[F(x)]=aM(x)；同樣，A的體積在變換前后也會改變，V*[F(A)]=anV*(A)，所以

結(jié)論成立.

命題1(均勻分布最均勻)設(shè)A為n維歐氏空間Rn中的一個(gè)多面體，F(xiàn)是定義在A上的分布函數(shù)，則均勻分布的均勻度1/Vn(1)對所有A上的分布是最大的，即LF≤1/Vn(1).

對于均勻分布，F(xiàn)是線性函數(shù)，F(xiàn)-1也是線性函數(shù).故命題1可簡述為：對均勻分布進(jìn)行非線性變換，其非線性變換后都會降低其均勻度，而且非線性程度越高，其均勻度降得越多.當(dāng)然，這只是一個(gè)命題，還不是一個(gè)定理.

“均勻分布最均勻”的理論證明是一個(gè)超級難題，原因是缺乏關(guān)于一般分布函數(shù)的獨(dú)占球的統(tǒng)計(jì)學(xué)性質(zhì)的數(shù)學(xué)結(jié)論，而且現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具都用不上，所以無論是肯定或否定都是非常困難的.雖然理論上證明非常困難，但計(jì)算驗(yàn)證卻非常簡單，若能通過大量計(jì)算驗(yàn)證而未發(fā)現(xiàn)其反例，則可提高人們運(yùn)用它的信心，這也許是解決問題的權(quán)宜之計(jì).

圖1　均勻分布與變換后的分布的均勻度比較Fig.1　Comparison of uniformity before and after conversion

2　實(shí)例

圖1為均勻分布與變換后的均勻度比較，x軸上的點(diǎn)為[0,1]上的均勻分布，y軸上的點(diǎn)為變換后的分布，可見，變換將樣本聚集在了y軸的1附近，在0附近少有分布，即比x軸上的均勻分布更不均勻.現(xiàn)取k=300，m=30，對每個(gè)a的取值分別計(jì)算3次，計(jì)算G(300,30)，結(jié)果見表1.

表對均勻分布的變換比較

續(xù)表1

通過表1可以看出，當(dāng)a遠(yuǎn)偏離1時(shí)，G(300，30)隨之變小；當(dāng)a在1附近變化時(shí)，G(300，30)不會明顯偏離0.5(一維均勻分布的均勻度)，但標(biāo)準(zhǔn)差明顯增大.表1的計(jì)算結(jié)果證實(shí)了“均勻分布最均勻”的傾向.同時(shí)，也可以解釋生態(tài)學(xué)中大多數(shù)格局是集聚的，其原因是由非線性變換所致.

均勻度與熵的比較見表2.

表2　熵與均勻度的比較

**未經(jīng)理論證明.

從表2可以看出，均勻度與熵有很大的相似性，熵可以用于解析混沌，所以也為均勻度解析混沌找到了數(shù)學(xué)依據(jù).均勻度的優(yōu)勢是解析混沌，而混沌具有統(tǒng)計(jì)學(xué)的特性.

3　結(jié)論

2)對給定分布函數(shù)的數(shù)值計(jì)算表明，其均勻度隨著其非線性程度的增加，平均均勻度降低，且標(biāo)準(zhǔn)差增大.

3)均勻度與熵有很大的相似性，這是均勻度能解析混沌的理論依據(jù).通常n維空間的混沌軌道是分布在低于n維的分形上，精確計(jì)算分維比較困難，但易于計(jì)算其k步混沌強(qiáng)度(等價(jià)于k步平均均勻度).

[1]羅傳文.對均勻的數(shù)學(xué)描述及與混沌的關(guān)系[J].物理學(xué)報(bào),2009,58(6):187-191.

LUO C W.The mathematical description of uniformity and its relationship with chaos[J].Acta Physica Sinica,2009,58(6):3788-3792.

[2]羅傳文.均勻度理論及其在混沌研究中的應(yīng)用[J].中國礦業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2005,34(4):476-481.

LUO C W.Uniformity theory and its applying studies on chaos[J].Journal of China University of Mining & Technology,2005,34(4):476-481.

[3]LUO C W,YI C D,WANG G .The mathematical description of uniformity and related theorems[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,42:2748-2753.

[4]FROMHOLD T M,PATAN A,BUJKIEWICZ S,et al.Chaotic electron diffusion through stochastic webs enhances current flow in superlattices[J].Nature,2004,428:726-730.

[5]THOMAS C H,MOGENS H J.Hurricanes and butterflies[J].Nature,2004,428:127-128.

[6]MURRAY N,HOLMAN M.The origin of chaos in the outer solar system[J].Science,1997,283(19):1877-1881.

[7]DANIEL J G.PHYSICS:Enhanced:chaos has come again[J].Science,1998,279(20):1156-1157.

[8]LI T,MISIUREWCZ M,PIANIGIANI G,et al.No division implies chaos[J].Trans Amer Math Soc,1982,273(1):191-199.

[9]ROBERT M,ANGELA M.理論生態(tài)學(xué)[M].孫儒泳，陳昌篤，周紀(jì)綸，等譯.北京：科學(xué)出版社,1980：33-51.

[10]MAY R M.Biological populations obeying difference equations:stable points,stable cycles and chaos[J].Journal of Theor Biol,1975,51:511-524.

[11]李水根.分形[M].北京:高等教育出版社,2004:179-181.

[12]徐曉紅,謝正祥,陳良遲,等.心動周期信號的混沌特征分析及應(yīng)用[J].中國生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)報(bào),1999,18(1):74-81.

XU X H,XIE Z X,CHEN L C,et al.Analysing chaotic characteristics of heart period signals and its applications[J].Chinese Journal of Biomedical Engineering,1999,18(1):74-81.

(責(zé)任編輯：王蘭英)

Mathematical foundation for interpreting chaos and ecological phenomenon with uniform index

DENG Qun1，LUO Chuanwen2

(1.Editorial Office of the Journal，China University of Mining & Technology,Xuzhou 221008,China；2.School of Forestry,Northeast Forestry University,Harbin 150040,China)

The uniform index of arbitrary distribution function was first defined, then the axioms of ‘uniform index independence’ and proposition of ‘uniform distribution is the most uniform’ were put forward. The similarity between uniform index and entropy was clearly illustrated, and the inner mechanism of interpreting chaos with uniform index was revealed thereby. According to the independence axiom,kstep expectation uniform index does exist, and can be estimated bykstep average uniform index. As the arbitrary distribution functionFcan be regarded as a transformation of uniform distribution byF-1, numerical calculation indicates the the nonlinear degree of distribution function is the direct cause forkstep average uniform index reduction. Entropy is a varable to describe the uncertainty of distribution, meanwhile, it also describes the disperse degree of samples, which means the degree of uniformity and vice versa. Certainty of distribution signifies the concentration degree of samples, which also implies the non-uniformity and vice versa. This is the common ground of entropy and uniform index. In ecology, the fact of most structures are clustering is caused by the nonlinear transformation existing in the nature.

chaos;entropy；uniform index；kstep chaometry

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.04.002

“十二五”國家科技計(jì)劃項(xiàng)目(2012BAD22B01)

鄧群(1961—)，女，四川威遠(yuǎn)人，中國礦業(yè)大學(xué)副編審，主要從事數(shù)學(xué)方面的研究.E-mail:dengq@cumt.edu.cn

羅傳文(1962—)，男，四川高縣人，東北林業(yè)大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事生態(tài)數(shù)學(xué)方面的研究.

E-mail:674151096@qq.com

O18

A

1000-1565(2016)04-0343-06