GPS偽距差分非迭代與迭代算法比較

劉洋洋,王勝利,石波

(1.山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院,青島266590;2.海島(礁)測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,青島266590;3.山東科技大學(xué) 海洋工程研究院, 青島 266590)

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GPS偽距差分非迭代與迭代算法比較

劉洋洋1,2,王勝利2,3,石波1,2

(1.山東科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院,青島266590;2.海島(礁)測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,青島266590;3.山東科技大學(xué) 海洋工程研究院, 青島 266590)

針對(duì)衛(wèi)星定位系統(tǒng)中非迭代算法在無(wú)初始坐標(biāo)或初始坐標(biāo)較差時(shí)可以解決最小二乘迭代算法定位效率較低的問(wèn)題,本文在詳細(xì)論述這兩種定位算法原理的基礎(chǔ)上,通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)這兩種算法并應(yīng)用于偽距雙差定位中。對(duì)這兩種算法進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)試,根據(jù)測(cè)試結(jié)果分析比較這兩種算法的定位精度和運(yùn)行效率,得出在無(wú)初始坐標(biāo)或初始坐標(biāo)較差時(shí)的情況下,將非迭代算法計(jì)算出的接收機(jī)近似坐標(biāo)作為最小二乘迭代算法的初始值可以提高迭代算法的定位精度和運(yùn)行效率。

迭代算法;非迭代算法;初始值;效率

0　引　言

為了解決全球定位系統(tǒng)(GPS)碼偽距單點(diǎn)定位算法定位精度低的問(wèn)題[1],使用相對(duì)定位的方法對(duì)于提高GPS碼偽距單點(diǎn)定位的定位精度具有實(shí)際的意義[2]。在相對(duì)定位中,載波相位差分算法定位精度高,可以達(dá)到毫米級(jí),但是存在整周跳變問(wèn)題[3],需要進(jìn)行周跳探測(cè),進(jìn)一步求得整周模糊度[3],由于其定位精度高,廣泛應(yīng)用于高精度導(dǎo)航定位中。但是,當(dāng)定位精度要求在一米左右時(shí),偽距差分定位在處理方法上就體現(xiàn)出一定的優(yōu)越性,因此尋找一種高效的偽距差分算法對(duì)于提高定位效率以及精度至關(guān)重要。

GPS偽距雙差定位算法包括最小二乘迭代算法和非迭代算法,前者所使用的觀測(cè)方程式是非線性的,一般的處理方法是按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)取至一次項(xiàng)進(jìn)行線性化,然后再利用線性最小二乘原理求解[4]。如果所取觀測(cè)站坐標(biāo)的初始值具有較大的偏差,去掉二次微小量的模型誤差對(duì)解算結(jié)果將產(chǎn)生不能忽略的影響[4]。由此可知,最小二乘迭代算

法的精度依賴(lài)于初始值的估計(jì),由于迭代計(jì)算量大,會(huì)降低運(yùn)行效率。通過(guò)做差求得測(cè)站坐標(biāo)的非迭代算法既不需要測(cè)站的初始坐標(biāo)信息,也不需要求導(dǎo)計(jì)算和迭代計(jì)算,在一定程度上提高了定位效率。本文對(duì)偽距雙差最小二乘迭代算法和非迭代算法原理進(jìn)行研究,編程實(shí)現(xiàn)這兩種算法,驗(yàn)證這兩種算法的可行性。進(jìn)一步通過(guò)迭代算法與非迭代算法的對(duì)比分析,在保證定位精度的前提下,顯示出非迭代算法在提高程序運(yùn)行效率上的重要性,具有實(shí)際的應(yīng)用意義。

1　GPS偽距雙差定位最小二乘迭代算法和非迭代算法原理

由GPS偽距雙差定位原理[5]可知,差分GPS通過(guò)兩測(cè)站之間的空間相關(guān)性來(lái)提高定位精度,即通過(guò)差分技術(shù)來(lái)消弱公共誤差部分,其中包括了衛(wèi)星鐘差、衛(wèi)星軌道誤差、對(duì)流層誤差和電離層誤差[6]。但是這種相關(guān)性是隨距離而減弱的,因此定位精度也隨離基準(zhǔn)站的距離而降低。下面對(duì)偽距雙差最小二乘迭代算法和非迭代算法進(jìn)行研究。

1.1迭代算法原理[7]

假設(shè)有已知坐標(biāo)的基站1,坐標(biāo)未知的移動(dòng)站2,跟蹤衛(wèi)星i、j,站際星際做差可得偽距觀測(cè)方程:

(1)

式中: ρ為偽距測(cè)量值; R為衛(wèi)星到接收機(jī)之間的幾何距離; δρtrop為對(duì)流層延遲; δρion是電離層延遲; δothers代表其他方面的誤差。接收機(jī)1是基準(zhǔn)站,接收機(jī)2是移動(dòng)站,衛(wèi)星i作為參考星(通常是在一個(gè)歷元中高度角最大的衛(wèi)星)。

由(1)式可得誤差方程:

(2)

式中: v為觀測(cè)值ρ的改正數(shù); l、m、n分別為接收機(jī)2在X,Y,Z方向上的系數(shù); δY2,δZ2分別為接收機(jī)2在X,Y,Z方向上的改正數(shù); L為常數(shù)項(xiàng)。寫(xiě)為矩陣形式:

V=AδX-L.

(3)

由上述公式可知,系數(shù)矩陣A、常數(shù)矩陣L以及權(quán)陣P都是已知矩陣,將基站坐標(biāo)作為初始值,利用最小二乘原理進(jìn)行間接平差,計(jì)算得到改正數(shù),然后不斷迭代直至精度滿(mǎn)足要求即得到移動(dòng)站坐標(biāo)。

1.2非迭代算法原理

GPS偽距雙差定位非迭代算法以雙差偽距觀測(cè)方程為基礎(chǔ),對(duì)觀測(cè)方程進(jìn)行改進(jìn)得到的一種計(jì)算接收機(jī)坐標(biāo)的方法。它不依賴(lài)接收機(jī)初始坐標(biāo)的給定,能直接解算出接收機(jī)的坐標(biāo)。

(4)

因?yàn)榻邮諜C(jī)1的坐標(biāo)已知,衛(wèi)星i,j的坐標(biāo)已知,所以等式右邊有兩項(xiàng)距離已知,把這兩項(xiàng)移到等式的左邊并且舍去其他誤差項(xiàng)即,得.

(5)

可將上式簡(jiǎn)寫(xiě)為

Pj=dj-di.

(6)

式中：dj等于接收機(jī)2到衛(wèi)星j的距離(未知)；di等于接收機(jī)2到參考衛(wèi)星i的距離(未知)。

把等式移項(xiàng),兩邊平方得:

dj2=Pj2+2Pjdi+di2.

(7)

使用Abel、Chaffee(1991)[8]和Goad (1996)先前在單接收機(jī)上使用的方法,把所有的坐標(biāo)都?xì)w化到以參考星i為坐標(biāo)原點(diǎn),可得:

r1=[x1-xiy1-yiz1-zi]T，

r2=[x2-xiy2-yiz2-zi]T，

rj=[xj-xiyj-yizj-zi]T，

ri=[xi-xiyi-yizi-zi]T=[0 0 0]T.

(8)

于是可得下面的關(guān)系:

(9)

(10)

式(9)和式(10)代入式(7)得:

(11)

每一個(gè)雙差偽距測(cè)量值都對(duì)應(yīng)這樣一個(gè)公式。對(duì)于兩個(gè)接收機(jī)共同觀測(cè)到的衛(wèi)星,當(dāng)衛(wèi)星數(shù)n≥4 時(shí),可以得到m=n-1個(gè)雙差偽距觀測(cè)方程。

定義兩個(gè)m×1的矩陣:

(12)

同時(shí)定義一個(gè)m×3的矩陣:

(13)

則式(11)又可以寫(xiě)為

Ar2=δ+τdi.

(14)

兩邊同乘以A的轉(zhuǎn)置得:

ATAr2=AT(δ+τdi) .

(15)

進(jìn)一步得到:

r2=(ATA)-1AT(δ+τdi)=B(δ+τdi).

(16)

這時(shí),定義一個(gè)3×m的矩陣B:

B=(ATA)-1AT.

(17)

將式(16)代入式(9)中發(fā)現(xiàn):δTBTBτ=τTBTBδ,并且未知量di滿(mǎn)足下面的方程[9]:

(τTBTBτ-1)·di2+2(τTBTBδ)·

di+δTBTBδ=0.

(18)

方程(18)是關(guān)于di的一元二次方程,存在兩個(gè)實(shí)數(shù)解,將這兩個(gè)根代入方程(16)會(huì)解算出兩個(gè)空間位置,但是只有一個(gè)是正確的,選擇其中那個(gè)距離地面近的解作為接收機(jī)2的坐標(biāo)。因此,只要矩陣ATA是非奇異矩陣,那么就存在唯一的一組解來(lái)確定用戶(hù)接收機(jī)的位置。

2　算例分析

本算例選用2013年6月17日美國(guó)某已知基準(zhǔn)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),觀測(cè)采用雙頻GPS接收機(jī),時(shí)間從0時(shí)0分0秒到23時(shí)59分45秒,接收機(jī)每15s采集一次數(shù)據(jù)。根據(jù)編寫(xiě)的偽距雙差相對(duì)定位迭代和非迭代的程序,計(jì)算接收機(jī)坐標(biāo)。

當(dāng)提供較好的近似坐標(biāo)時(shí),利用兩種算法進(jìn)行定位,將程序計(jì)算得到的坐標(biāo)與基準(zhǔn)站真實(shí)坐標(biāo)值對(duì)比求差得到E、N、U方向上的殘差[10],進(jìn)而求得

其平均值MEAN和均方根誤差RMS.繪出的結(jié)果如圖1、圖2,表1和表2所示。

圖1　迭代算法在E、N、U方向的定位結(jié)果

圖2　非迭代算法在E、N、U方向的定位結(jié)果

歷元個(gè)數(shù)MEAN/mRMS/m殘差最大值/m最小值/m3000E方向0.01580.29121.2811-1.2164N方向0.03800.45072.2281-2.3384U方向0.34800.87003.5314-3.5314

表2　非迭代算法的成果指標(biāo)

由上述圖表分析可知,當(dāng)測(cè)站給出的近似坐標(biāo)比較好時(shí),GPS偽距雙差非迭代算法與迭代算法的定位結(jié)果基本一致。非迭代算法與迭代算法在E方向上的定位結(jié)果在2m以?xún)?nèi),在N方向上的定位結(jié)果在3m以?xún)?nèi),在U方向上的定位結(jié)果在4m左右。迭代算法與非迭代算法得到的平均值在E、N、U三個(gè)方向上的值都在1m以?xún)?nèi),均方根誤差RMS在這三個(gè)方向上的值都在1m左右。

利用非迭代算法計(jì)算出的接收機(jī)坐標(biāo)作為迭代算法的初始值迭代計(jì)算得到定位結(jié)果,并將其與提供較差的近似坐標(biāo)時(shí),迭代算法獲得的定位結(jié)果進(jìn)行比較。將非迭代計(jì)算結(jié)果作為初始值進(jìn)行迭代計(jì)算,記錄迭代次數(shù)，如圖3所示中的方案1；將初始坐標(biāo)設(shè)為(0,0,0)進(jìn)行迭代計(jì)算,記錄迭代次數(shù)，如圖3中的方案2.

圖3　迭代次數(shù)比較

由圖3分析可得,當(dāng)提供的接收機(jī)初始坐標(biāo)比較差時(shí),需要迭代4次才能滿(mǎn)足偽距雙差定位的精度要求;如果將非迭代計(jì)算的接收機(jī)坐標(biāo)作為初始值進(jìn)行迭代計(jì)算,只需要計(jì)算1次就能滿(mǎn)足精度要求,在一定程度上提高了定位效率。

3　結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上述對(duì)最小二乘迭代算法和非迭代算法的分析比較,可得出如下結(jié)論:

最小二乘迭代算法與非迭代算法在N、E、U方向上的定位精度基本一致;標(biāo)準(zhǔn)偏差以及均方根誤差的值在1m左右.由此可以推得,如果把基站坐標(biāo)作為初始值,當(dāng)基站坐標(biāo)比較好的時(shí)候,非迭代算法定位精度與最小二乘迭代算法的定位精度基本相同,此時(shí)非迭代算法可代替迭代算法進(jìn)行導(dǎo)航定位;當(dāng)未提供近似坐標(biāo)或者近似坐標(biāo)比較差時(shí),利用最小二乘迭代算法計(jì)算接收機(jī)坐標(biāo)時(shí)就需要假設(shè)一個(gè)初始值或者把這個(gè)比較差的近似坐標(biāo)帶入方程,然后迭代多次直至滿(mǎn)足精度要求,這樣就會(huì)降低運(yùn)行效率。而此時(shí)用非迭代算法計(jì)算的接收機(jī)坐標(biāo)更接近于接收機(jī)的真實(shí)坐標(biāo),若將此坐標(biāo)作為迭代算法的初值,既滿(mǎn)足了精度要求,又提高了程序的運(yùn)行效率。因此,偽距雙差定位非迭代算法在定位中具有實(shí)際的應(yīng)用意義。

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Comparison of Non Iterative and Iterative Algorithms with Pseudo Range Double Difference

LIU Yangyang1,2,WANG Shengli2,3, SHI Bo1,2

(1.CollegeofGeomatics,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China;2.KeyLaboratoryofSurveyingandMappingTechnologyonIslandandReef,StateBureauofSurveyingandMapping,Qingdao266590,China;3.InstituteofOceanEngineering,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China)

Aiming at the problem of the least square iterative algorithm with low positioning efficiency when it has no initial coordinates or it has poor initial coordinates in the global positioning system,the Pseudo range double differential non iterative algorithm was proposed. In this paper, the principle of these two kinds of location algorithms was discussed using Pseudo range double differential positioning and tested using observed date. According to the results, the positioning accuracy and efficiency of these two algorithms were analyzed and compared. It concluded that using the approximate coordinates of the receiver calculated by the non iterative algorithm as the initial value of the least square iterative algorithm can improve the positioning accuracy and running efficiency of the iterative algorithm when there are no initial coordinates or the initial coordinates are poor.

Iterative algorithm; non iterative algorithm; initial value; efficiency

10.13442/j.gnss.1008-9268.2016.04.007

2016-04-08

海島(礁)測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目(編號(hào):2014B02;2015A01)； 山東省高等學(xué)?？萍加?jì)劃項(xiàng)目(編號(hào):J13LH04); 測(cè)繪公益性行業(yè)科研專(zhuān)項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(編號(hào):201512034); 海洋公益性行業(yè)科研專(zhuān)項(xiàng)經(jīng)費(fèi)資助項(xiàng)目(編號(hào):201305034)

P228

A

1008-9268(2016)04-0030-05

劉洋洋(1994-),女,山東濰坊人,主要研究方向?yàn)镚NSS數(shù)據(jù)處理。

王勝利(1981-),男,山東泰安人,博士，主要研究方向?yàn)镚NSS理論與算法、測(cè)量數(shù)據(jù)處理理論與方法。

石波(1979-),男,山東淄博人,博士生,主要從事車(chē)載三維測(cè)量系統(tǒng)和三維建模研究。

聯(lián)系人： 劉洋洋 E-mail: 15726247085@163.com