軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化及仿真研究

楊 帆

(武漢科技大學(xué)城市學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)部，武漢 430083)

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軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化及仿真研究

楊 帆

(武漢科技大學(xué)城市學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)部，武漢 430083)

由于軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)存在橫向及縱向誤差較大，精度較低等問題，因此其不能很好滿足四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡的要求。對此，文章分析了四桿機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)，采用修正誤差函數(shù)法，構(gòu)造優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。通過具體實(shí)例對四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的相關(guān)尺寸進(jìn)行優(yōu)化，借助Matlab軟件計算得出四桿機(jī)構(gòu)最佳幾何尺寸值。將優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行仿真，并且與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對比。仿真結(jié)果顯示，四桿機(jī)構(gòu)橫向及縱向誤差較小，效果較好。采用修正誤差函數(shù)法對軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化，優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動軌跡精確度較高，能夠滿足多種四桿機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動的要求。

四桿機(jī)構(gòu)；修正誤差函數(shù)；優(yōu)化；仿真

0 引言

隨著國內(nèi)自動化產(chǎn)業(yè)的快速發(fā)展，機(jī)構(gòu)的應(yīng)用也越來越廣泛。國內(nèi)常見的機(jī)構(gòu)主要包括：凸輪機(jī)構(gòu)、齒輪機(jī)構(gòu)、帶輪機(jī)構(gòu)、連桿機(jī)構(gòu)等。在眾多機(jī)構(gòu)中，連桿機(jī)構(gòu)的應(yīng)用領(lǐng)域相對廣泛，主要應(yīng)用在工程機(jī)械、農(nóng)業(yè)機(jī)械、折疊傘、太陽能板、機(jī)械手、人造衛(wèi)星及人體假肢等。而連桿機(jī)構(gòu)主要包括四桿機(jī)構(gòu)、五桿機(jī)構(gòu)、六桿機(jī)構(gòu)及八桿機(jī)構(gòu)等。四桿機(jī)構(gòu)是其它多桿機(jī)構(gòu)的重要組成部分，研究人員要想設(shè)計出多桿機(jī)構(gòu)，必須熟悉四桿機(jī)構(gòu)的基本原理和設(shè)計方法。因此，四桿機(jī)構(gòu)研究具有重要的意義。

當(dāng)前，對軌跡生成機(jī)構(gòu)的研究方法有多種。例如：文獻(xiàn)[1-3]針對步行機(jī)器人路徑規(guī)劃與控制問題展開了研究，采用非線性曲線構(gòu)建人體關(guān)節(jié)各個轉(zhuǎn)角運(yùn)動變化的模型，進(jìn)而對模型進(jìn)行了仿真和分析。文獻(xiàn)[4-6]針對軌跡生成連桿機(jī)構(gòu)方法及可視化問題展開課研究，生成了很多曲線擬合點(diǎn)，采用三次非均勻 B 樣條曲線進(jìn)行擬合。文獻(xiàn)[7-9]針對常用的混合驅(qū)動機(jī)構(gòu)軌跡綜合問題展開了研究，研究了混合驅(qū)動機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程的軌跡綜合方法及相關(guān)理論。以往研究軌跡生成機(jī)構(gòu)的綜合誤差較大，很難適應(yīng)快速發(fā)展的市場需要。對此，本文采用了修正的距離誤差函數(shù)，結(jié)合具體實(shí)例優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)，對優(yōu)化產(chǎn)生的相關(guān)變量參數(shù)值輸入到Matlab軟件中進(jìn)行誤差仿真。同時，與以往研究成果進(jìn)行對比。對比結(jié)果表明，橫向及縱向誤差降低，采取修正的距離誤差函數(shù)方法較好，為以后四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化的研究提供了參考。

1 四桿軌跡生成機(jī)構(gòu)

軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)OaABOb如圖1所示。C是連接點(diǎn)，θ1是由機(jī)架和X軸產(chǎn)生的角度，θ2是輸入角，r1、r2、r3及r4分別是機(jī)架、輸入桿、連接桿和輸出桿的長度，r5和r6是連接點(diǎn)C的局部坐標(biāo)。θ3是連桿AB和機(jī)架OaOb之間構(gòu)造的角度。X0和Y0是Oa的坐標(biāo)。

圖1 軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計變量

由對連桿點(diǎn)的位置分析可得如下關(guān)系式：

(1)

式中：XL和YL是C在機(jī)架Oa-XLYL中的坐標(biāo)。

四桿機(jī)構(gòu)的軌跡產(chǎn)生通常有兩種，分別為有指定時間的軌跡生成和無指定時間的軌跡生成。

有指定時間的軌跡生成的矢量如下：

無指定時間的軌跡生成的矢量如下：

2 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)造

2.1 基于歐幾里得距離誤差的誤差函數(shù)

誤差函數(shù)是用于確定指定軌跡點(diǎn)和產(chǎn)生軌跡點(diǎn)之間的位置誤差數(shù)量的目標(biāo)函數(shù)的一部分。在軌跡生成機(jī)構(gòu)的綜合中，使用最多的誤差函數(shù)是“歐幾里得距離誤差累積平方[10]”。這個誤差函數(shù)，我們表示為CSDE，如公式(2)所示。

(2)

式中：(xi，yi)是第i個指定的軌跡點(diǎn)，(xgi，ygi)是第i個產(chǎn)生軌跡點(diǎn)，n是指定軌跡點(diǎn)的數(shù)量。

2.2 修正的誤差函數(shù)

當(dāng)在一定時間內(nèi)出現(xiàn)的誤差保持在合理范圍內(nèi)時，這樣的需求將意味著產(chǎn)生的連接點(diǎn)應(yīng)該盡量接近指定的軌跡點(diǎn)。對所關(guān)心的在一點(diǎn)上指定軌跡的趨勢而言，我們可以定義一個“縱向”方向(沿著切線方向接近在該點(diǎn)的軌跡)和一個“橫向”方向(與縱向方向正交)。對“橫向誤差”(也就是歐幾里得距離誤差中沿著橫向方向的部分)要求更高，對“縱向誤差”(也就是歐幾里得距離誤差中沿著縱向方向的部分)方向上的誤差要求更寬。這通過設(shè)置一個對橫向誤差的加權(quán)比F>1.0來實(shí)現(xiàn)。這樣做有望推動產(chǎn)生的連桿點(diǎn)接近指定的軌跡，盡管在接近的過程中可能會存在一個增加的誤差。指定的點(diǎn)和指定的軌跡如圖2所示。以n為數(shù)量的通過(xi，yi)，i= 1, 2,…,n，定義的指定軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)也在圖2中展示。

圖2 指定的軌跡和軌跡點(diǎn)

圖3 中間指定軌跡點(diǎn)上的縱向方向

圖3展示了三個相鄰的指定軌跡點(diǎn)，編號為i-1、i和i+1，由連接相鄰的指定點(diǎn)(xi，yi)和(xi+1，yi+1)的線段與X軸定義的角度φi由下式給出。

(3)

式中：Si=yi+1-yi，Ci=xi+1-xi，Atan2是2倍幅角的反正切函數(shù)，它能返回在正確象限內(nèi)的角度值，該值取決于幅角符號的正負(fù)。點(diǎn)(xi，yi)和(xi+1，yi+1)之間的距離表示為di，如下所示。

(4)

將φtgi用表達(dá)式代替，并注意到φli=φtgi，我們可以得到如下的關(guān)于角度φli的表達(dá)式。

(5)

因?yàn)辄c(diǎn)1之前沒有點(diǎn)，公式(5)不能直接使用。要估算其值需要知道φ0、l1和Δφ1的值。圖4展示了指定的軌跡點(diǎn)1、2和3，以及通過它們的圓。連接點(diǎn)1-2和點(diǎn)2-3的弦長分別是d1和d2，它們在圓心分別得到角度α1和α2。從圖4上可以觀察到α1≈(d1/rc2)和α2≈(d2/rc2)，rc2是通過點(diǎn)1、2和3的圓的半徑。它滿足條件α2=(d2/d1)α1=l2α1。為了能將公式(5)應(yīng)用于點(diǎn)1，我們選擇了一個假想的編號為0的點(diǎn)。該點(diǎn)將被做為點(diǎn)1之前的點(diǎn)，該點(diǎn)位于一個圓上。該圓以0-1弦的長度等于1-2弦的長度的方式通過點(diǎn)1、2和3。我們假定點(diǎn)0位于通過點(diǎn)1、2和3的圓上(這等于假設(shè)在點(diǎn)0和點(diǎn)1之間的軌跡的延長段的曲率和位于點(diǎn)1和點(diǎn)3之間的軌跡的曲率相同)，且d0=d1。對d0=d1的假設(shè)主要是為了簡化分析。注意到Δφ2=(α1+α2)/2=(α1+l2α1)/2=(1+l2)α1/2和Δφ1=α1，我們得到Δφ1=2Δφ2/(1+l2)=2(φ2-φ1)/(1+l2)。從Δφi的定義，我們得到φ0=φ1-Δφ1。這里φ1和φ2，是由弦1-2和弦2-3分別與X軸得到的角度。將這些關(guān)于和的表達(dá)式代入公式(5)中，注意到l1=(d1/d0)=1，可以得到如下的關(guān)于φl1的表達(dá)式。

(6)

圖5展示了指定的軌跡點(diǎn)n-2、n-1和n，此圓具有和rc,n-1相等的半徑。其它細(xì)節(jié)和圖4相似，可以得到以下關(guān)于φln的表達(dá)式。

(7)

圖4 第一個指定軌跡點(diǎn)的縱向方向

圖5 最后指定軌跡點(diǎn)的縱向方向

定義了在點(diǎn)(xi，yi)的縱向和它的依照由公式5～公式7給出的角φli的方向。在指定點(diǎn)(xi，yi)的橫向方向也即定義了，也就是在同一點(diǎn)沿著對縱向方向逆時針方向90°，如圖6所示。在點(diǎn)(xi，yi)的橫向方向和x軸得到了角度φti，該角度由下式給出。

φti=φli+π/2

(8)

公式5～公式8被用來求在每一個指定的軌跡點(diǎn)上由縱向方向和橫向方向得到的角度值。在優(yōu)化過程中，每一種候選機(jī)構(gòu)都被評估，評估方法是，在每一點(diǎn)i上，沿著縱向和橫向方向，計算歐幾里得距離誤差矢量(從指定軌跡點(diǎn)到對應(yīng)的生成的軌跡點(diǎn)的矢量)中各部分的絕對值。沿著縱向和橫向方向的，對應(yīng)于第i個指定點(diǎn)的，歐幾里得距離誤差矢量組成的絕對值，被分別標(biāo)記為el,i和et,i。關(guān)于el,i和et,i的表達(dá)式在隨后的解釋中求得。

圖6 最后指定軌跡點(diǎn)的縱向方向

來自于指定的軌跡點(diǎn)Pi(xi，yi)和生成的軌跡點(diǎn)Pgi(xgi，ygi)的向量用PiPgi表示。它表示對應(yīng)于指定的點(diǎn)Pi，歐幾里得距離誤差矢量，給出其表達(dá)式為PiPgi=(xgi-xi，ygi-yi)。沿著縱向和橫向方向的單元矢量分別是u1=(cosφli，sinφli)和ut=(cosφti，sinφti)。誤差矢量PiPgi沿著縱向方向的投影將等于點(diǎn)積(PiPgi·u1)=(xgi-xi)cosφli+(ygi-yi)sinφli。現(xiàn)在縱向誤差el,i，被定義為誤差矢量PiPgi沿著縱向方向的投影的絕對值，因此它由下式給出。

(9)

類似地，誤差矢量PiPgi沿著橫向方向的投影，將等于點(diǎn)積(PiPgi·ut)=(xgi-xi)cosφti+(ygi-yi)sinφti。橫向誤差et,i被定義為誤差矢量PiPgi沿著橫向方向的投影的絕對值，且由下式給出。

(10)

現(xiàn)在，在點(diǎn)i修正的距離誤差，被標(biāo)記為emi，它的定義為：

emi=Feti+eli

(11)

式中：F是在縱向和橫向誤差之間的“等價因數(shù)”。

在第i個指定的點(diǎn)處，CMDE函數(shù)相等的修正距離誤差曲線(直線)，如圖7所示。因此，所有生成的位于虛線平行四邊形上的點(diǎn)，都被認(rèn)為有一個相等的修正誤差值em。應(yīng)該注意到對F=1.0來說，該相等的修正距離誤差曲線(直線)將組成一個正方形，該正方形的對角線沿著縱向和橫向方向，每一條對角線的長度是修正的距離誤差的兩倍。另一方面，對CSDE來說，相等的距離誤差曲線將是圓，以指定的點(diǎn)(xi，yi)為圓心的圓。這將帶來一個結(jié)果，那就是F=1.0的CMDE函數(shù)和CSDE不相同。

圖7 CMDE函數(shù)的均差線

基于此修正距離誤差的定義，該累積的修正距離誤差函數(shù)(CMDE)可以被定義為：

(12)

2.3 約束條件

在本文中，約束條件包含以下幾個部分：①要綜合的四桿機(jī)構(gòu)必須是曲柄搖桿機(jī)構(gòu)；②最長桿桿長和最短桿桿長之比必須少于或等于一個指定的數(shù)值；③從90°開始的傳動角偏差必須少于或等于一個指定的數(shù)值；④設(shè)計變量必須位于指定的范圍內(nèi)，桿長必須是正值。這些約束條件通過如下的方法執(zhí)行：

約束條件1：為了保證綜合機(jī)構(gòu)是一個曲柄搖桿，一個機(jī)構(gòu)需要滿足兩個子約束(a和b)。這通過對優(yōu)化過程中產(chǎn)生的每一個機(jī)構(gòu)執(zhí)行以下的步驟來保證。

①四桿的長度(機(jī)架長度r1，輸入桿長度r2，連桿長度r3，輸出桿長度r4)需要被排序以找出最短的桿長(s)，最長的桿長(l)和中間的桿長。然后，需要檢查以下的條件是否滿足。

s+l≤p+q

如果以上的條件不滿足，一個補(bǔ)償量M1a需要增加到目標(biāo)函數(shù)值中，因?yàn)檫@樣的機(jī)構(gòu)不是一個非格拉霍夫機(jī)構(gòu)。

②檢查最短的具有長度s的連桿是否為輸入桿。如果不是，一個補(bǔ)償M1b需要添加到目標(biāo)函數(shù)中，因?yàn)檫@樣的機(jī)構(gòu)可能不是曲柄搖桿機(jī)構(gòu)。

約束條件2:計算最長桿和最短桿的桿長比(l/s)并檢查它是否小于或等于指定的數(shù)。如果沒有，需要在目標(biāo)函數(shù)中增加一個補(bǔ)償M2。

約束條件3：對一個四桿機(jī)構(gòu)，傳動角γ是在連接點(diǎn)的，連桿的速度差矢量方向和輸出桿絕對速度的方向的夾角。從運(yùn)動傳遞的有效性和對輸出桿的力來看，需要讓傳動角的值最少從90°開始偏離?？梢灾苯拥乜吹剑瑢σ粋€四桿機(jī)構(gòu)，其傳動角的最大值和最小值可以由以下的公式給出。

(13)

這個約束條件包含在公式推導(dǎo)中，即首先通過使用以上給出的公式計算傳動角的最大值和最小值，然后檢查它們從90°開始的偏差是否少于或等于一個指定的數(shù)。如果沒有，增加一個補(bǔ)償量M3給目標(biāo)函數(shù)。

約束條件4：在總體的初始化過程中指定一系列設(shè)計變量。只要任何一個設(shè)計變量的值超出了指定的范圍一點(diǎn)點(diǎn)，就對該范圍的下限值和或上限值進(jìn)行重置，不管是哪一個接近現(xiàn)有的變量值。通過指定一個非負(fù)的數(shù)做為它們中每一個的下限值，可保證桿長總是會保持正數(shù)。沒有補(bǔ)償與該限制條件關(guān)聯(lián)，因?yàn)樗峭ㄟ^差分進(jìn)化算法[11]自身實(shí)現(xiàn)的。

2.4 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)即關(guān)于設(shè)計變量的，必須要最小化得到最佳機(jī)構(gòu)的函數(shù)。它也需要關(guān)心約束條件。目標(biāo)函數(shù)fobj給出如下：

(14)

式中：Ef(X)是在2.1節(jié)和2.2節(jié)(CSDE和CMDE)中討論的兩個誤差函數(shù)中的任何一個，M1a、M1b、M2和M3是違反各條約束后添加到目標(biāo)函數(shù)的補(bǔ)償。h1a(X)、h1b(X)、h2(X)和h3(X)是設(shè)計變量矢量的函數(shù)。當(dāng)X違反相應(yīng)的約束時，式中的X值為1；當(dāng)X滿足相應(yīng)的約束，式中的X值等于0?，F(xiàn)在優(yōu)化問題可以形成如下：最小化的fobj滿足xi∈[lli,uli]?xi∈X，式中X是設(shè)計變量的矢量，lli和uli是對不同的xi指定的下限和上限值。

3 設(shè)計實(shí)例

由公式(11)可知，F(xiàn)的取值有多種，本文以F=3.0為例，通過Matlab軟件研究橫向和縱向誤差變化情況。通過Matlab軟件對相關(guān)約束尺寸進(jìn)行計算，最佳機(jī)構(gòu)變量相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 最佳機(jī)構(gòu)變量相關(guān)參數(shù)

在本文中，研究結(jié)果是采用n=13，在13個指定的軌跡點(diǎn)中的每一點(diǎn)處，對所關(guān)心的誤差(橫向的/縱向的)進(jìn)行了計算及求和，以得到總體的(橫向的/縱向的)誤差。對13個指定的軌跡點(diǎn)，橫向和縱向方向如圖8所示。同時，采用CMDE誤差函數(shù)等價因子F=3.0，最佳機(jī)構(gòu)及產(chǎn)生的軌跡如圖9所示。

將最佳機(jī)構(gòu)變量的相關(guān)參數(shù)值CSDE和CMDE輸入到Matlab軟件中進(jìn)行仿真，橫向誤差仿真結(jié)果如圖10所示，縱向誤差仿真結(jié)果如圖11所示。仿真結(jié)果數(shù)據(jù)如表2所示。

圖8 13個指定的軌跡點(diǎn) 圖9 最佳機(jī)構(gòu)及產(chǎn)生的軌跡

圖10 橫向誤差

圖11 縱向誤差

參數(shù)CSDE(F=3.0)CMDE(F=3.0)單位橫向誤差0.110.08cm縱向誤差0.170.12cm

從表2可知，在F=3.0時，CSDE仿真結(jié)果的橫向誤差最大為0.11cm，而CMDE仿真結(jié)果的橫向誤差最大為0.08cm，橫向誤差大約下降27.3%；CSDE仿真結(jié)果的縱向誤差最大為0.17cm，而CMDE仿真結(jié)果的縱向誤差最大為0.12cm，縱向誤差大約降低了29.4%。對目標(biāo)函數(shù)約束后，總體產(chǎn)生的誤差明顯降低。

4 結(jié)束語

本文采用了修正誤差函數(shù)法研究了軌跡生成四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化問題，主要是通過修正距離誤差函數(shù)結(jié)合具體給出的實(shí)例進(jìn)行說明。對實(shí)例的相關(guān)變量參數(shù)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，與傳統(tǒng)研究的歐幾里得距離誤差函數(shù)進(jìn)行比較。優(yōu)化后仿真結(jié)果顯示，采用修正距離誤差函數(shù)優(yōu)化效果良好，橫向和縱向誤差大幅度的降低，橫向

誤差相對以往研究成果降低27.3%，縱向誤差相對以往研究成果降低29.4%，優(yōu)化后誤差降低效果得到了很大的改善，為以后四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化的深入研究提供了參考價值。

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(編輯 李秀敏)

Optimization and Simulation Study of Path Generating Four-bar Mechanisms

YANG Fan

(Mechanical and Electrical Engineering Department ,City College,Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430083,China)

Because horizontal and vertical error is considerably large of path generating four-bar mechanisms,precision is relatively low,which can't well meet the requirements of four-bar mechanisms trajectory.To this,the geometrical parameters of four-bar mechanisms are analyzed in this paper.Take correction method of error function, the objective function of optimization is constructed.Relevant dimensions of four-bar mechanisms motion is optimized through specific examples,best of four-bar mechanisms geometry size values were calculated with the help of Matlab software. The results of the optimization is simulated,and compared with the traditional method.The simulation results show that the horizontal and vertical error of four-bar mechanisms is smaller, effect is good. Optimization of path generating four-bar mechanisms by the method of correction error function, after optimization of four-bar linkage trajectory track accuracy is higher, which can meet the requirements of a variety of output motion of four-bar mechanisms.

four-bar mechanisms; correction error function;optimization; simulation

1001-2265(2016)10-0035-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.10.010

2015-11-12；

2015-12-08

楊帆(1976—)，男，武漢人，武漢科技大學(xué)城市學(xué)院講師，碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計理論和運(yùn)動仿真，(E-mail)yangfan201511@sina.com。

TH112;TG506

A