超奈奎斯特的頻譜效率與參數(shù)優(yōu)化分析

吳湛擊，車　慧，李少冉，王雨晴

（北京郵電大學信息與通信工程學院，北京 100876）

超奈奎斯特的頻譜效率與參數(shù)優(yōu)化分析

吳湛擊，車慧，李少冉，王雨晴

（北京郵電大學信息與通信工程學院，北京 100876）

對超奈奎斯特（faster than Nyquist，F(xiàn)TN）和奈奎斯特系統(tǒng)的頻譜效率進行了對比分析。在絕對帶寬的前提下，首先證明了基于根升余弦函數(shù)脈沖的單載波FTN可達速率大于奈奎斯特可達速率，并推導了有子載波間干擾的多載波FTN的頻譜效率公式。本文證明了單載波FTN的頻譜效率大于奈奎斯特系統(tǒng)的頻譜效率，并且證明了單載波FTN的頻譜效率隨著滾降因子的減小而增大?；陬l譜效率公式和數(shù)值仿真，本文給出了多載波FTN對于不同滾降因子的最優(yōu)子載波間隔。結(jié)果表明，即使存在子載波間干擾，基于最優(yōu)子載波間隔的多載波FTN頻譜效率也高于正交系統(tǒng)（奈奎斯特）的頻譜效率。

超奈奎斯特；容量；帶寬；頻譜效率

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0　引　言

奈奎斯特速率是實現(xiàn)通信系統(tǒng)無碼間干擾的信號最高傳輸速率。當信號以超過奈奎斯特速率進行傳輸時，就會引起碼間干擾，導致系統(tǒng)誤碼性能大幅下降。Mazo提出，采用二進制sinc（t/T）信號波形，碼元速率如果不超過奈奎斯特速率的25%，那么信號的最小歐氏距離不會變化［1］，系統(tǒng)的誤碼性能也不會受到影響［2］。Mazo提出的這種調(diào)制方式因信號發(fā)送速率超過了奈奎斯特極限這種調(diào)制技術(shù)被稱為“超奈奎斯特”（faster-than-Nyquist，F(xiàn)TN）調(diào)制。FTN的各信號之間不再具有正交性且可以達到更高的頻譜利用率。囿于當前無線頻譜資源匱乏的瓶頸問題，F(xiàn)TN技術(shù)成為5G及未來無線通信系統(tǒng)中新的核心技術(shù)［3］，廣泛適用于終端直通（device-to-device，D2D）和大規(guī)模機器通信（massive machine communication，MMC）。

目前，針對FTN解調(diào)技術(shù)以及相關(guān)理論的研究已成為移動通信領(lǐng)域研究關(guān)注的重點。其中FTN的頻譜效率是擺在所有理論問題前面最突出和最關(guān)鍵的問題之一。文獻［4］從信道容量公式出發(fā)對功率受限條件下FTN調(diào)制技術(shù)的信道約束頻譜進行了理論分析，結(jié)果表明采用FTN技術(shù)所能達到的信道頻譜比傳統(tǒng)的Nyquist容量更高。文獻［5］從互信息的角度分析FTN系統(tǒng)的頻譜，指出FTN系統(tǒng)通過壓縮時頻傳輸間隔來提高頻譜效率。文獻［6］對多用戶的FTN調(diào)制進行了研究。

單載波FTN僅存在符號間干擾（inter-symbol interference，ISI），不存在載波間干擾（inter-carrier interference，ICI），而多載波FTN存在ICI。對于單載波FTN，本文基于根升余弦函數(shù)脈沖和絕對帶寬對其頻譜效率進行了理論分析；將FTN的頻譜效率和香農(nóng)限進行了對比研究。對于多載波FTN，本文基于信干噪比（signal-to-interference-plusnoise ratio，SINR），推導了多載波FTN的頻譜效率公式。在FTN系統(tǒng)達到最優(yōu)頻譜效率時，給出了同一信干噪下頻譜效率隨著子載波間隔變化的規(guī)律。

1　FTN調(diào)制系統(tǒng)模型

單載波FTN調(diào)制模型如圖1所示。圖中，a［n］表示星座映射后的數(shù)字符號，且星座點符號周期為T，功率為P；h（t）表示成型脈沖，功率譜密度為|H（f）|2，其中H（f）表示h（t）的傅里葉變換。若Sa（t）表示調(diào)制后的信號，則有

式中，τ表示時間相關(guān)因子。

圖1　FTN調(diào)制模型

在式（1）中，τT表示成型脈沖h（t）的發(fā)送間隔。當τ= 1，h（t）的發(fā)送間隔為T，此時成型脈沖h（t）保持正交，即T正交；若τ＜1，h（t）的發(fā)送間隔為τT，此時成型脈沖h（t）不再保持正交；此時，在相同時間內(nèi)，成型脈沖h（t）可以運載更多的星座符號。τ減小不改變信號的基帶帶寬。

用an，k代替式（1）中的a［n］，用k表示載波序號，則多載波FTN［7］表達式為

式中，K 表示子載波數(shù)目；Δf表示正交子載波間隔；φ為頻域相關(guān)因子，且τφ≤1。

τφ≤1表示對時頻資源進行壓縮。式（2）對應(yīng)的時頻傳輸網(wǎng)格如圖2所示。從時、頻傳輸網(wǎng)格來看，F(xiàn)TN系統(tǒng)通過壓縮發(fā)送間隔（時域）或子載波間隔（頻域），從而提高傳輸速率和頻譜利用率。

圖2　FTN調(diào)制的時頻二維傳輸網(wǎng)格圖

本文下面從理論分析角度對單載波和多載波的FTN系統(tǒng)的頻譜效率進行研究。公平性起見，本文的頻譜效率比較基于絕對帶寬。絕對帶寬定義：寬平穩(wěn)隨機信號X（t）的功率譜密度為SX（f），自相關(guān)函數(shù)為RX（τ），若SX（f）在f≥0時的支集為（f1，f2），即在區(qū)間（f1，f2）外SX（f）= 0，則稱f2-f1為隨機信號X（t）的絕對帶寬。

2　單載波FTN系統(tǒng)的頻譜效率與參數(shù)選擇

式中，WC表示為信道帶寬；P表示信號功率；N表示白噪聲功率。繼而文獻［9］給出了任意噪聲的信道容量：

香農(nóng)的三大定理是信息論的基礎(chǔ)理論，其中文獻［8］給出了有噪信道編碼定理：在信道中，在允許模糊為ε情況下，能夠區(qū)分時間間隔為T的信號個數(shù)為M（ε，T），則高斯白噪聲信道容量定義為

式中，P（f）表示信號功率譜密度；N（f）表示噪聲功率譜密度；WC表示信道帶寬。

假設(shè)信源獨立且服從高斯分布，結(jié)合文獻［4，10］給出單載波FTN調(diào)制的非正交系統(tǒng)可達速率：

根據(jù)式（4），無ISI的奈奎斯特調(diào)制正交系統(tǒng)可達速率［］為

為了在絕對帶寬下比較單載波FTN和奈奎斯特系統(tǒng)的頻譜效率，假設(shè)h（t）為滾降因子為α的根升余弦脈沖且τ≤

1/（1+α），對應(yīng)的單載波FTN系統(tǒng)的頻譜速率RFTN（α）為

對數(shù)與三角函數(shù)的積分公式為

根據(jù)式（8）將RFTN（α）可以進一步化為

對應(yīng)的奈奎斯特系統(tǒng)速率RN（α）分別為

根據(jù)式（9）和式（10）有

可以看出，若α＞0則基于根升余弦函數(shù)脈沖的單載波FTN系統(tǒng)的可達速率大于奈奎斯特系統(tǒng)的可達速率；若α=0，則單載波FTN的可達速率等于奈奎斯特系統(tǒng)的可達速率。其中，α=0時，根升余弦函數(shù)即為sinc函數(shù)。

如果滿足如式（12）所示奈奎斯特第一準則，則可以實現(xiàn)無碼間干擾傳輸。

式中，c表示常數(shù)；Rs表示符號速率。

單載波FTN系統(tǒng)相比于正交系統(tǒng)能提高吞吐的原因是充分挖掘過剩帶寬的潛能。以根升余弦函數(shù)為例，如圖3所示，當互補對稱點為fN=Rs/2時，系統(tǒng)可進行無ISI傳輸，對應(yīng)的最大碼速率Rs=2fN。

圖3　根升余弦函數(shù)的過剩帶寬

式中，fΔ稱為過剩帶寬，0≤α≤1。

滿足奈奎斯特第一準則的正交傳輸系統(tǒng)的帶寬WC可表示為

式中，fN=1/（2T）。

系統(tǒng)實際占用帶寬為WC，滿足奈奎斯特第一準則時實際利用帶寬為fN，過剩帶寬fΔ沒有被充分利用。當α=1時，過剩帶寬達到100%。

滾降因子與過剩帶寬關(guān)系為

3　多載波FTN調(diào)制系統(tǒng)的頻譜效率與參數(shù)選擇

多載波FTN系統(tǒng)的子載波間隔為F，子載波數(shù)為K，子載波帶寬為WB；第k個子載波的頻譜為Hk（f-k F），傳輸功率為Pk，-（K-1）/2≤k≤（K-1）/2，如圖4所示。

圖4　多載波超奈奎斯特頻譜示意圖

因此，F(xiàn)TN系統(tǒng)的總帶寬WT和總傳輸功率PT分別為

假設(shè)PT/WT為有限值，則FTN系統(tǒng)的發(fā)送信號功率譜HT（f）為

假設(shè)信源獨立且服從高斯分布，并根據(jù)式（4）、式（15）～式（17），可以求出多載波FTN的頻譜效率［6］為

式中，等號在h（t）為sinc函數(shù)成立，即當成型脈沖為sinc函數(shù)時，多載波FTN系統(tǒng)的頻譜效率達到最大值。

假設(shè)信源獨立且服從高斯分布，且多載波FTN系統(tǒng)的接收端不采用干擾刪除算法?；赟INR在對k=m個子載波進行處理時，SINR（m，F(xiàn)）為

則根據(jù)式（17），第m個子載波相應(yīng)的可達速率為

在滿足式（21）的前提下，根據(jù)式（20）和相連子載波的交疊程度有：

（1）如果F≥（1+α）/T，即相鄰的兩個載波頻譜不存在重疊，即式（19）中不存在ICI：

即與單載波FTN系統(tǒng)的可達速率相等。

（2）如果1/T≤F≤（1+α）/T，兩個相鄰的載波的頻譜僅在滾降的部分存在重疊，即式（19）僅存在一項ICI，對應(yīng)的多載波可達速率為

（3）若max｛（1-α）/T，（1+α）/（2T）｝≤F≤1/T，子載波的滾降部分與相鄰子載波的平坦部分存在重疊，式（19）僅存在一項ICI，F(xiàn)TN系統(tǒng)的可達速率為

（4）若（1+α）/（2T）≤F≤（1-α）/T，此時α的取值范圍為［0，1/3］；相鄰兩個子載波頻譜的平坦部分存在重疊，式（19）僅存在一項ICI，則多載波的可達速率為

隨著載波數(shù)K的增加，每一個載波的帶寬近似為B，因此多載波FTN的頻譜效率為

式中，ηFTN（α，F(xiàn)）表示滾降因子α為帶寬為F時的頻譜效率。

4　FTN調(diào)制系統(tǒng)的頻譜效率分析

對于單載波FTN，當成型脈沖h（t）是滾降因子為α的根升余弦脈沖且符號周期T相同時，根據(jù)等式（3）、式（9）、式（10）香農(nóng)限、FTN頻譜效率、奈奎斯特頻譜效率對比如圖5所示。

圖5-3種頻譜效率對比

在圖5中，F(xiàn)TN的頻譜效率小于香農(nóng)限，而大于奈奎斯特系統(tǒng)的頻譜效率；當頻譜效率都為8 bits/s/Hz時，F(xiàn)TN調(diào)制（α=0.5）與奈奎斯特系統(tǒng)（α=0.5）兩者信噪比相差大約8 dB，F(xiàn)TN調(diào)制（α=1）與奈奎斯特系統(tǒng)（α=1）兩者信噪比相差大約18 dB?？梢钥闯?，由于單載波FTN系統(tǒng)沒有頻譜重疊（多載波干擾），因此對于FTN系統(tǒng)，其頻譜效率隨著滾降因子的減小的而增大；且α越大過剩帶寬越大，F(xiàn)TN系統(tǒng)與奈奎斯特系統(tǒng)的頻譜效率的差距就越大。上述討論的前提是時域相關(guān)因子滿足τ≤1/（1+α）。若τ＞1/（1+α），則在絕對帶寬內(nèi)存在碼間干擾，頻譜效率將降低。

圖6　固定SINR下，頻譜效率與K　的關(guān)系

5　結(jié)　論

本文對FTN和奈奎斯特系統(tǒng)的頻譜效率進行了分析和比較。對于單載波FTN，本文首先證明了FTN的頻譜效率大于奈奎斯特系統(tǒng)的頻譜效率，而且FTN的頻譜效率隨著滾降因子的減小而增大。但FTN的頻譜效率仍然小于相同絕對帶寬下的理想低通濾波的香農(nóng)限。對于多載波FTN，推導了有子載波間干擾的多載波FTN的頻譜效率公式?；陬l譜效率公式和數(shù)值仿真，找到了多載波FTN對于不同滾降因子的最優(yōu)子載波間隔。結(jié)果表明，即使存在子載波間干擾，基于最優(yōu)子載波間隔的多載波FTN頻譜效率也高于正交系統(tǒng)（奈奎斯特）的頻譜效率。如果結(jié)合高效的編解碼、干擾刪除和均衡等算法可以進一步提升FTN的頻譜效率。

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Spectral efficiency and parameter optimization analysis for faster-than-Nyquist signaling

WU Zhan-ji，CHE Hui，LI Shao-ran，WANG Yu-qing
（School of Information and Communication Engineering，Beijing Uniυersity of Posts and Telecommunications，Beijing 100876，China）

Spectral efficiency of faster-than-Nyquist（FTN）and Nyquist systems are investigated.It is proved that the achievable rate of the single carrier FTN（SC-FTN）system with root raised cosine pulse is higher than the single carrier Nyquist system with the same absolute bandwidth.With the inter-carrier interference（ICI），the formula for spectral efficiency of multi-carrier FTN（MC-FTN）is given.For the same roll-off factor，the spectral efficiency of SCFTN is greater than the single carrier Nyquist.For different roll-off factors，the spectral efficiency of SC-FTN system increases as the roll-off factor decreases.Based on the spectral efficiency formulas and numerical simulation，the corresponding optimal subcarrier spacing for MC-FTNis given in this paper.Even though there is ICI，the spectral efficiency of MC-FTN with optimal subcarrier spacing exceeds the orthogonal Nyquist system.

faster-than-Nyquist（FTN）；capacity；bandwidth；spectral efficiency

TN 911.3

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.28

1001-506X（2016）05-1153-06

2015-03-16；

2015-11-23；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-12-09。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151209.1417.004.html

國家自然科學基金（61171101）；國家重大科技專項（2013ZX03003016）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金；2013年羅德與施瓦茨-北京郵電大學研究創(chuàng)新基金資助課題

吳湛擊（1977-），男，教授，博士，主要研究方向為無線和移動通信理論與技術(shù)。

E-mail：wuzhanji@bupt.edu.cn

車慧（1986-），男，博士研究生，主要研究方向為無線和移動通信理論與技術(shù)。

E-mail：xmutch@bupt.edu.cn

李少冉（1995-），男，碩士研究生，主要研究方向為編碼理論及其工程實現(xiàn)。

E-mail：attackdog@bupt.edu.cn

王雨晴（1992-），女，碩士研究生，主要研究方向為編碼調(diào)制的工程應(yīng)用。

E-mail：wmlpy@126.com