S型齒廓少齒數(shù)齒輪的幾何建模與強(qiáng)度分析

孫 強(qiáng)，孫月海，2

（1. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 天津大學(xué)輕型動(dòng)力教育部工程研究中心，天津 300072）

S型齒廓少齒數(shù)齒輪的幾何建模與強(qiáng)度分析

孫 強(qiáng)1，孫月海1，2

（1. 天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072；2. 天津大學(xué)輕型動(dòng)力教育部工程研究中心，天津 300072）

針對漸開線少齒數(shù)齒輪副因齒面接觸應(yīng)力大導(dǎo)致承載能力低而難以廣泛應(yīng)用的問題，提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)凹凸弧齒廓嚙合的基于正弦曲線齒條刀具加工的S型齒廓．給出了齒條刀具正弦函數(shù)的曲線方程，推導(dǎo)了S型齒廓數(shù)學(xué)模型，建立了S型齒廓少齒數(shù)齒輪的幾何模型，分析了S型齒廓的誘導(dǎo)法曲率的計(jì)算方法，開展了齒輪副接觸應(yīng)力的有限元仿真分析，并與漸開線少齒數(shù)齒輪作了對比分析．結(jié)果表明，相互共軛嚙合的S型齒廓齒輪副具有相同的齒廓方程形式，能夠用一把齒條刀具或滾刀加工，且能較大幅度地提高少齒數(shù)齒輪副的承載能力．

S型齒廓；漸開線；少齒數(shù)齒輪；齒輪

齒形是決定齒輪傳動(dòng)性能優(yōu)劣的基本因素，也是影響齒輪承載能力的最根本因素．目前，少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)的齒形設(shè)計(jì)及相關(guān)研究還沒有像普遍使用的漸開線圓柱齒輪那樣得到重視，絕大多數(shù)有關(guān)少齒數(shù)齒輪的研究也是以漸開線齒形為研究對象，把少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)作為漸開線齒輪傳動(dòng)的延伸．然而，理論分析和試驗(yàn)研究表明，漸開線齒廓凸凸嚙合，綜合曲率大，容易出現(xiàn)齒面接觸疲勞破壞，導(dǎo)致少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)承載能力不足的問題更加突出．

針對少齒數(shù)齒輪，國內(nèi)外學(xué)者對已有的幾種齒廓曲線齒輪進(jìn)行了研究．Ishibashi等［1-2］試制了小齒輪齒數(shù)為3和5的圓弧齒輪副，并進(jìn)行了圓弧齒輪副和漸開線齒輪副的傳動(dòng)效率試驗(yàn)，測得前者效率為86%，～98%，后者為93%，～95%，并表明圓弧齒輪副具有較好的承載能力，但也發(fā)現(xiàn)圓弧齒輪副磨損嚴(yán)重，壽命較短；孫月海等［3］提出了漸開線少齒數(shù)齒輪的強(qiáng)度計(jì)算方法，并獲得齒廓變位的計(jì)算方法；Fujiwara［4］發(fā)明了齒廓由部分?jǐn)[線構(gòu)成的少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)，與漸開線齒輪相比有較好的齒高優(yōu)勢，但未見其相關(guān)性試驗(yàn)和應(yīng)用報(bào)道．在理論研究方面，專門針對少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)特點(diǎn)的齒形設(shè)計(jì)研究較少［5］，特別是在提高少齒數(shù)齒輪傳動(dòng)承載能力方面，有針對性的研究及成果尚鮮見報(bào)道．

為提高少齒數(shù)齒輪的承載能力，筆者提出了一種基于正弦函數(shù)的齒條刀具加工的S型齒廓曲線［6-7］，并將該曲線應(yīng)用于少齒數(shù)齒輪副．為了探究該種齒輪副的承載能力，本文建立了基于正弦函數(shù)的齒條刀具方程和其展成的齒輪副齒廓數(shù)學(xué)模型，對S型廓線少齒數(shù)齒輪中的齒廓變位進(jìn)行了研究；建立了S型齒廓齒輪的幾何模型；分析了S型齒廓齒輪副接觸的誘導(dǎo)法曲率；并應(yīng)用有限元法對具有同等參數(shù)的S型齒廓和漸開線齒廓的兩種少齒數(shù)齒輪副進(jìn)行了對比分析．研究表明，S型齒廓少齒數(shù)齒輪較漸開線少齒數(shù)齒輪有明顯的強(qiáng)度優(yōu)勢．

1　S型齒廓曲線齒輪的數(shù)學(xué)模型

由Camus定理［8］可知，一對在齒形上能彼此嵌合的齒條刀具，按共軛運(yùn)動(dòng)原理分別加工出的齒輪副，能夠?qū)崿F(xiàn)共軛嚙合．漸開線齒輪副即可認(rèn)為是由彼此嵌合的直線齒條共軛加工而成．而齒條直線被正弦曲線代替后，就可由加工獲得能夠相互共軛的S型廓線齒輪副．

1.1齒條刀具模型

齒形為正弦曲線的齒條如圖1所示．可以看出，兩齒條刀具齒形在采用同一正弦曲線而相互嵌合后，這兩齒條刀具切削部位的幾何形狀完全相同，因此，只需用一把刀具即可加工出兩個(gè)相互共軛嚙合的齒廓副．

采用上述齒條刀具和包絡(luò)加工法，可得到圖2所示的齒輪齒廓，用同一把刀具可以加工出圖3所示的一對能互相共軛嚙合的齒輪副．可以看出，它們屬于凸凹弧的齒廓嚙合．

如圖4（a）所示，建立與齒條刀具固連的坐標(biāo)系O1x1y1，為使齒條刀具的方程直觀、簡單，在原來的基礎(chǔ)上建立一個(gè)新的坐標(biāo)系O0x0y0，此坐標(biāo)系與O1x1y1共原點(diǎn)，夾角為α，在坐標(biāo)系O0x0y0建立齒條ab段的齒形方程為

1.2齒廓曲線方程

將齒條齒形在坐標(biāo)系O0x0y0中的方程，變換到與齒輪固連的坐標(biāo)系O2x2y2中，如圖5所示，借助坐標(biāo)系Pxy就可以得到齒輪的齒廓方程，其變換矩陣為

圖1 一對相互嵌合的齒條刀具Fig.1 A pair of rack cutter of mutual gomphosis

圖2 正弦形刀具包絡(luò)加工得到的S型齒廓Fig.2S-shaped tooth profile envelope processed by sine shape cutter

圖3 一對相互嚙合的S型齒廓齒輪Fig.3A pair of mutually meshing S-shaped tooth profile gears

圖4 齒條刀具建模Fig.4 Rack cutter modeling

圖5 齒條齒輪嚙合的坐標(biāo)系Fig.5 Rack and pinion meshing coordinate system

將式（1）代入式（6）并化簡可以得到齒輪的齒廓方程．

由S型齒廓曲線的成形原理可知，一對能相互嚙合的S型齒輪具有相同的齒廓方程形式．如圖6所示，在以齒輪中心為原點(diǎn)的與齒輪固連的坐標(biāo)系O1x1y1、O2x2y2中，相互共軛嚙合的齒輪齒廓曲線參數(shù)方程可統(tǒng)一為

式中：-πω≤t ≤πω；r為齒輪分度圓，r=mz2，z為齒輪齒數(shù)．與漸開線齒輪一樣引入S型齒廓齒輪的基圓rb=rcosα.

圖6 S型齒廓齒輪副參數(shù)Fig.6 Parameters of S-shaped tooth profile gear pair

齒根過渡曲線依加工方法而不同，本文建模時(shí)過渡曲線方程是利用展成法加工齒輪得到，可由齒輪嚙合原理［8］所提供的方法求出．

1.3S型齒廓齒輪的變位

由式（1）可知，當(dāng)衍生系數(shù)λ′=0即λ=0時(shí)，S型齒廓曲線齒輪轉(zhuǎn)化為漸開線齒輪，即漸開線齒輪是S型齒輪的一種特殊形式．

則正變位齒輪的齒厚為

齒槽寬為

采用同一原理，可以得到大齒輪的負(fù)變位計(jì)算方法. 1.4 S型齒廓少齒數(shù)齒輪的端面模型

圖7 S型齒廓齒輪變位Fig.7 Addendum modification of S-shaped tooth profile gear

根據(jù)上述齒廓方程及變位原理，可建立齒輪端面模型．圖8為模數(shù)為1.75，mm、齒數(shù)為3時(shí)的S型齒輪與漸開線型齒輪的齒形比較．通過對比可以看出，同等參數(shù)條件下，S型齒輪齒高較漸開線大．表1給出了小齒輪齒數(shù)分別為2、3、6的一組參數(shù)，變位系數(shù)按照嚙合齒對齒根等彎曲強(qiáng)度條件選取［3］．其中安裝中心距a′=62，法面模數(shù)mn=1.75．

圖8 S型與漸開線型齒輪比較Fig.8 S-shaped tooth profile gear compared with involute gear

表1 少齒數(shù)齒輪副參數(shù)Tab.1 Parameters of gear pair with small number of teeth

2　S型齒廓少齒數(shù)齒輪強(qiáng)度分析

2.1S型齒廓副嚙合的誘導(dǎo)法曲率分析

少齒數(shù)齒輪齒面接觸強(qiáng)度是影響其承載能力的關(guān)鍵［6］，誘導(dǎo)法曲率是表征接觸應(yīng)力乃至接觸強(qiáng)度的指標(biāo)．在材料等指標(biāo)相同的情況下，誘導(dǎo)法曲率取值越小，齒面接觸應(yīng)力越小，表明齒輪副接觸強(qiáng)度越好．下文分析S型齒廓副誘導(dǎo)法曲率的求解方法．S型齒廓齒輪副屬于凸凹弧嚙合，其誘導(dǎo)法曲率k∑計(jì)算式［9］為

式中1ρ、2ρ分別為嚙合點(diǎn)處齒廓1、2的曲率半徑．

由于直接求解S型曲線的曲率較為復(fù)雜，這里采用間接求法．S型齒條在任一點(diǎn)M的曲率半徑0ρ計(jì)算式為

如圖9（a）所示，具有共軛關(guān)系的齒條與齒輪齒廓的曲率滿足［7］

式中：'α為嚙合角；s為嚙合點(diǎn)與P點(diǎn)之間的距離．

將式（14）代入式（15），即可求出與齒條共軛的齒輪2 在嚙合點(diǎn)M處的曲率

如圖9（b）所示，具有共軛關(guān)系的齒輪1與齒輪2齒廓在嚙合點(diǎn)曲率滿足

將2ρ代入式（17），可得齒輪1上與齒輪2在嚙合點(diǎn)M的曲率半徑

根據(jù)上述公式，用表1中z1=6、z2=60時(shí)的S型齒廓曲線和漸開線齒輪的曲率［7］對比，結(jié)果如圖10所示．

圖10表明，S型齒廓副嚙合誘導(dǎo)法曲率較小，特別是離節(jié)點(diǎn)較遠(yuǎn)處已接近0．少齒數(shù)齒輪由于有較大的變位，齒廓嚙合區(qū)域在節(jié)點(diǎn)至齒頂?shù)囊粋?cè)．與漸開線對比可知，S型齒廓的綜合曲率小于漸開線型齒廓，在齒面接觸強(qiáng)度方面較漸開線有優(yōu)勢．

圖9 S型齒廓齒輪副的曲率關(guān)系Fig.9 Curvature relationship of S-shaped tooth profile gear pair

圖10 S型齒廓齒輪曲率與漸開線的曲率對比Fig.10 S-shaped tooth profile gear curvature compared with involute gear curvature

2.2輪齒接觸的有限元分析

為分析S型少齒數(shù)齒輪的強(qiáng)度，分別建立表1參數(shù)的S型與漸開線型齒輪副模型，應(yīng)用有限元軟件對比分析了同等載荷條件下齒數(shù)比z1/z2為2/60和6/60的S型齒廓齒輪與漸開線齒輪的接觸最大應(yīng)力及齒根最大應(yīng)力．

用有限元法得到的齒面接觸應(yīng)力與赫茲接觸應(yīng)力接近［10］，少齒數(shù)齒輪的端面重合度一般小于1［3］，應(yīng)力分析只在端面進(jìn)行．按平面應(yīng)變［11-12］建立有限元分析模型，主要設(shè)置如下：①將大小齒輪賦予相同的材料屬性，其彈性模量為2.06× 105MPa ，泊松比為0.3，密度為7.85× 106kg/m3；②大齒輪軸孔全約束，小齒輪加載扭矩為T．

載荷T=0.2 N· m 條件下z1z2=2 60的S型齒廓齒輪與漸開線齒輪的應(yīng)力云圖如圖11所示．

按一對齒輪副從嚙入至嚙出時(shí)兩種齒形大、小齒輪分別旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)角度，分別獲得各嚙合位置單對齒輪副嚙合接觸的最大應(yīng)力和齒根最大應(yīng)力，見圖12．

圖11 齒數(shù)比2/60的S型與漸開線型齒輪應(yīng)力云圖Fig.11Stress nephogram of S-shaped tooth profile gear with gear ratio of 2/60 and the involute gear

為避免偶然性，在T=1，N·m條件下，用同樣的方法將齒數(shù)比z1/z2=6/60的S型與漸開線齒廓齒輪副最大應(yīng)力對比分析如圖13和圖14所示．

圖12 齒數(shù)比2/60的S型與漸開線型齒輪最大應(yīng)力對比Fig.12The maximum stress comparison between S-shaped tooth profile gear with gear ratio of 2/60 and the involute gear

上述分析說明，S型齒廓少齒數(shù)齒輪副的齒根應(yīng)力與漸開線齒輪副近似相等，而齒面接觸最大應(yīng)力明顯要小，表明S型齒廓曲線少齒數(shù)齒輪能降低齒面接觸應(yīng)力，接觸強(qiáng)度提高20%，以上．圖15和圖16分析了齒數(shù)比6/60的S型齒輪副的齒面接觸情況．圖中有較為明顯的接觸印跡線，也驗(yàn)證了S型齒廓齒輪具有較好的接觸特性．

圖13 齒數(shù)比6/60的S型與漸開線型齒輪應(yīng)力云圖Fig.13 Stress nephogram of S-shaped tooth profile gear with gear ratio of 6/60 and the involute gear

圖14 齒數(shù)比6/60的S型與漸開線齒輪最大應(yīng)力對比Fig.14 The maximum stress comparison between S-shaped tooth profile gear with gear ratio of 6/60 and the involute gear

圖15 S型齒廓齒輪三維有限元模型Fig.15 3D finite element model of S-shaped tooth profile gear

圖16 齒數(shù)比6/60的S型齒廓齒輪副接觸線Fig.16Contact line of S-shaped tooth profile gear pair with gear ratio 6/60

3　結(jié) 論

（1） 一對相互共軛的S型齒廓齒輪副方程形式相同，齒條刀具相對簡單，能夠?qū)崿F(xiàn)一把齒條或滾刀加工一對相互共軛嚙合的齒輪副，有較好的可加工性.

（2） S型齒廓齒輪副屬于凸凹嚙合，齒廓副接觸誘導(dǎo)法曲率小，接觸強(qiáng)度較漸開線型齒廓有較大優(yōu)勢.

（3） S型曲線應(yīng)用于少齒數(shù)齒輪時(shí)，齒根彎曲強(qiáng)度和漸開線齒輪近似相等，但較小的誘導(dǎo)法曲率使其齒面接觸應(yīng)力較漸開線齒輪降低20%，以上，承載能力有較大提高，同時(shí)具有較好的接觸性能．

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（責(zé)任編輯：金順愛）

Geometric Modeling and Strength Analysis of Gear with S-Shaped Tooth Profile and Small Number of Teeth

Sun Qiang1，Sun Yuehai1，2
（1. Key Laboratory of Mechanism and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，
Tianjin 300072，China；2. Engineering Research Center of Light-Duty Power Machine of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

The large contact stress of involute gear pair with small number of teeth causes a low load-carrying capacity and failure in wide application．To solve this problem，an S-shaped tooth profile was proposed that could achieve concave-convex profile meshing based on sinusoidal rack tool．A curvilinear equation of sinusoidal rack tool was introduced，a mathematical model of S-shaped tooth profile was deduced，and a geometry model of S-shaped tooth profile with small number of teeth was established．Then，the calculation method of induced normal curvature of S-shaped tooth profile was analyzed，simulation analysis on the contact stress of gear pair was conducted by FEM，and finally a comparative analysis on S-shaped tooth profile gear and involute gear with small number of teeth was made．The results show that the S-shaped tooth profile gear pair with mutual conjugate meshing shares the same equation，and one common rack tool or hob can be used to machine them，improving greatly the load-carrying capacity of the gear pair with small number of teeth.

S-shaped tooth profile；involute；gear with small number of teeth；gear

TH132.413

A

0493-2137（2016）07-0702-07

10.11784/tdxbz201512003

2015-12-06；

2016-01-12.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51175369）.

孫 強(qiáng)（1988— ），男，博士研究生，qiangsun@tju.edu.cn.

孫月海，yuehaisun@tju.edu.cn.

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2016-01-14. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20160114.1643.006.html.