用核心問題培育小學生數(shù)學核心素養(yǎng)
——以《誰圍出的面積最大》教學為例

潘小明 呂傳漢

（1.上海寶山區(qū)教師進修學院， 上海 201900；2.貴州師范大學， 貴州 貴陽 550001）

用核心問題培育小學生數(shù)學核心素養(yǎng)
——以《誰圍出的面積最大》教學為例

潘小明1呂傳漢2

（1.上海寶山區(qū)教師進修學院， 上海 201900；2.貴州師范大學， 貴州 貴陽 550001）

20根火柴在課桌上拼擺出不同的長方形，“周長長的長方形面積就大”，用這一課時核心問題引導學生探究、討論、辯析，得出長、寬相等的正方形時面積最大。讓學生在探究、辯析的學習過程中，初步獲得觀察、比較、歸納、猜想和反例驗證等數(shù)學推理的核心素養(yǎng)體驗和感悟。

數(shù)學；核心問題；核心素養(yǎng)

一、問題的提出

教學內(nèi)容是上教版三年級數(shù)學第二學期的“誰圍出的面積最大”（下圖）。

經(jīng)常地，教師先讓學生用20根火柴在課桌上拼擺出不同的長方形；再呈現(xiàn)圍成的長方形讓學生比較其面積的大??；然后引導學生整理數(shù)據(jù)，觀察、發(fā)現(xiàn)“周長相等的長方形，長與寬越接近面積就越大，長與寬相等時面積就最大”的知識規(guī)律；最后進行鞏固練習。

如果我是學生，我就會想：為什么要讓我用20根火柴去圍長方形？為什么要比誰圍出的面積最大？為什么要把數(shù)據(jù)進行整理？知道了這個知識規(guī)律有什么用……其實，教什么、為什么教和怎么教，教師自然是非常清楚的。而學什么、為什么學、怎么學，學生是茫然的。試想，這樣的課堂上，學生的學習會處于怎樣的狀態(tài)？在這樣的狀態(tài)中，學生除了獲得知識結(jié)論還得到哪些方面的發(fā)展？

面對知識呈幾何級數(shù)增長的復雜多變的社會，基礎(chǔ)教育重在培養(yǎng)學生適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展所需要的必備品格和關(guān)鍵能力，即核心素養(yǎng)。我以為核心素養(yǎng)是一個有層級的結(jié)構(gòu)體系，小學數(shù)學教育就要注重培育小學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。數(shù)學教師應(yīng)為培育數(shù)學核心素養(yǎng)精心設(shè)計并上好每一節(jié)數(shù)學課。然而，數(shù)學課堂教學怎樣培育數(shù)學核心素養(yǎng)？

二、課堂教學的實踐

不同于往常的教學，課一開始，教師出示：有兩根繩子，一根長20厘米，另一根長18厘米，哪根繩子圍出的長方形面積大？

幾乎所有學生迅速地回答“是20厘米的那根”。理由是：用20厘米長的繩子圍出的長方形周長長，周長長的長方形面積就大。

這是教師基于學情創(chuàng)設(shè)的情境，讓學生頭腦中潛在的“周長長的長方形面積就大”這一想法顯現(xiàn)了出來。之后，教師該怎么辦？

教師可以告訴學生：其實，“周長長的長方形面積就大”這結(jié)論是錯誤的。譬如，用20厘米長的繩子圍一個長9厘米、寬1厘米的長方形，它的面積是9平方厘米；而用18長厘米的圍一個長7厘米、寬2厘米的長方形，它的面積是14平方厘米。周長長的長方形，它的面積反而小了。想必，學生是能理解的。然而，教師并沒有這樣教學，而是——

師：同學們，如果“周長長的長方形面積就大”這話是正確的，那么“20厘米那根繩子圍出的長方形面積大”這個結(jié)論肯定是正確的?？墒牵爸荛L長的長方形面積就大”這話是否正確，你們有沒有驗證過呢？

“沒有”，學生搖搖頭。

師：沒有驗證，就把它當作正確的去運用，那是有風險的呀！你們想進行驗證嗎？

數(shù)學思維是非常嚴謹?shù)?，?shù)學結(jié)論的得出必須有充分的依據(jù)。學生感覺到進行驗證的必要。

師：怎樣進行驗證呢？

生：用兩根繩子分別圍一個長方形，看周長20厘米的長方形的面積是不是真的大。

學生各自舉例驗證，得：

第一種：這話是對的。理由是：

第二種：這話是錯的。理由是：

隨之有學生提出了第三種意見：半對半錯。竟然得到大多數(shù)學生的贊同。

舉到正例就認為是對的、舉到反例就認為是錯的、正反例子都舉到了就認為是半對半錯，這就是大多數(shù)學生進行的舉例驗證，它真實地反映學生現(xiàn)有的思維水平。如何讓學生學會舉例驗證、以提升數(shù)學思維水平？

教師請前排的8個同學（5男3女）都站起來，讓全班學生判斷——

師：站起來的同學都是男同學。這話對嗎？

學生異口同聲地：“錯！”

師（指著其中一位男生）：“別急！我能舉例驗證。他是男同學嗎？所以，這話是正確的?！?/p>

完后，有煞有介事地指著另一個男同學……還沒等教師把話說完，學生情不自禁地：“錯！錯！里面還有女同學哩！”

師：（裝作讓步）那就說，“站起來的同學都是男同學”這話是半對半錯，你們同意嗎？”

學生紛紛表示反對。

師：這又是為什么呀？

生1：因為其中有3個是女同學呢！

生2：別說有3個，哪怕只有1個女生，“站起來的都是男同學”這話就徹底錯了！

師：有道理！那你們現(xiàn)在還認為“周長長的長方形面積就大”這話是半對半錯嗎？對前面的舉例驗證有什么想法嗎？

學生終于發(fā)現(xiàn)：周長長的長方形面積不一定大。過程中，尤其說是在對結(jié)論進行舉例驗證，還不如說是在讓學生學習怎樣進行舉例驗證。因為它讓學生感悟到：全部例子都是正例，才能說這結(jié)論是正確的；只要舉出一個反例，足以說明這結(jié)論是錯誤的。舉例驗證時，應(yīng)該關(guān)注有沒有反例。

課堂上一個常有的現(xiàn)象是：問題一旦被解決，思維隨之而停滯。怎樣讓學生展開深度思維？

師：人們往往會認為“周長長的長方形面積就大”，可事實并不是這樣的。對此，你還有問題嗎？

生：為什么周長長的長方形面積不一定大呢？

師：對呀，是什么原因造成的呢？

生1：是因為圍成的長方形的形狀不同。

生2：因為長方形的長寬變了。

師：長寬變了，長方形面積也隨之發(fā)生變化。這種變化有沒有規(guī)律呢？如果有，用什么方法才能找出呢？

“可以多舉些例子看看?！?學生以周長20厘米的長方形為例，紛紛舉例，尋找著規(guī)律：

8×2＝16；7×3＝21；9×1＝9；6×4＝24；5× 5＝25。

師：雖然我們列舉出很多例子，但這樣放著很難發(fā)現(xiàn)有沒有規(guī)律。該怎么辦呢？

生：進行整理。

師生一起進行整理，得：

學生觀察整理后的數(shù)據(jù)，較快地發(fā)現(xiàn)：長與寬越接近，面積就越大；長與寬相等，面積最大。體會到經(jīng)過整理后的數(shù)據(jù)，很容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

師：你能確定最大面積是25平方厘米嗎？

就在學生為自己探究發(fā)現(xiàn)感到欣喜的時候，教師的追問，讓許多學生感到意外：難道還會有比圍成正方形更大的面積嗎？片刻后，學生向教師發(fā)起了挑戰(zhàn)：請圍出面積更大的給我們看看！

在同學們的堅持下，教師借助課件進行動態(tài)演示，將數(shù)據(jù)填入表中：

觀察思考，不僅圍成正方形時面積最大的結(jié)論得到證實，而且數(shù)學的函數(shù)思想與最大值被學生所感受。

最后，教師出示：用長26米的木柵欄圍一個花圃。如果讓你圍，你將怎么圍？為什么？

學生自然運用所學的知識，要圍出面積最大的花圃。有的學生圍長7米、寬6米的長方形花圃；另有學生提出質(zhì)疑：既然要圍面積最大的花圃，那就應(yīng)該圍成邊長6.5米的正方形，并利用計算器算得最大面積是42.25平方米。由于題中沒有規(guī)定邊的長度必須是整米數(shù)，這個答案得到同學們的認同。

師：題中沒有規(guī)定邊的長度必須是整米數(shù)，當然圍成正方形時，花圃的面積最大！這是真的嗎？

生1：剛才都已經(jīng)驗證過了，圍成正方形時面積最大。

生2：好像是有問題，周長相等的長方形中，正方形的面積最大。但現(xiàn)在沒有說用26米的木柵欄圍成長方形的花圃呀！

生3：那還能圍成怎樣的圖形，它的面積會比正方形的還要大？

……帶著問題，學生走出了教室。

三、實踐體會與思考

怎樣培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)？做法是：用核心問題引領(lǐng)探究學習，培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

1.什么是核心問題？

就本節(jié)課而言，“周長長的長方形面積就大？”是個核心問題。

說它是核心問題，是因為：

其一，這是學生在“20厘米、18厘米兩根繩子，哪根圍成的長方形的面積大”的問題情境中，憑借經(jīng)驗和直覺得出的結(jié)論，這個結(jié)論是錯誤的，是學生普遍存在的真問題；

其二，該真問題的探究又引發(fā)生成了系列的問題，從而推進課堂教學進程和思維的深入；

其三，因為通過系列問題的探究，學生不僅糾正原先的錯誤想法，發(fā)現(xiàn)“周長相等的長方形，長與寬越接近，面積就越大；長與寬相等時，面積最大”的知識規(guī)律，而且數(shù)學核心素養(yǎng)得到培育。

因此，課時核心問題可以界定為：基于課時核心知識和學生認知水平、關(guān)注核心素養(yǎng)培育、統(tǒng)領(lǐng)課堂教學的情境性問題。

這里，需要說明的是：核心知識是指數(shù)學課時的基本概念、基本性質(zhì)、運算定律、計算法則、計算公式等重點內(nèi)容。認知水平主要是學生已有的知識經(jīng)驗及從情境信息中發(fā)現(xiàn)問題和面對問題可能產(chǎn)生的種種想法，特別是那些片面的、錯誤的想法。引領(lǐng)課堂教學是指由核心問題的探究而生成系列問題，以此推進課堂進程和思維的深入。情境性則是指核心問題來自于具體的情境，因為情境中的問題更能引起興趣、激活已知、激發(fā)探究。數(shù)學核心素養(yǎng)則是課堂教學追求的最重要目標。

2.什么是數(shù)學核心素養(yǎng)？

同樣以本節(jié)課來說，覺得下面這些應(yīng)該是數(shù)學素養(yǎng)：

學生經(jīng)過對“周長長的長方形面積就大”的探究、辯析，對先前的想法進行自我否定，發(fā)現(xiàn)了“周長長的長方形面積不一定大”以及“周長相等的長方形，當長與寬越接近時，面積就越大；長與寬相等時，面積就最大”的知識規(guī)律，并能運用此知識規(guī)律，去解決生活中“圍出面積最大的花圃”的簡單實際問題。

學生經(jīng)過對“周長長的長方形面積就大”的探究，學生感悟到：

舉例驗證時不能舉到一、二個正例就下結(jié)論認為是正確的，只有舉完所有例子且都是正例，才能說明這個結(jié)論是正確的；而能夠舉出反例、只要有一個反例就足以說明這話是錯誤的，數(shù)學上不存在半對半錯。在舉例驗證時既要舉正例，同時又要思考有沒有反例。學生對舉例驗證的方法以及進行數(shù)學的推理有了體驗和感悟。

又如，在對“周長相等的長方形，它們的面積為什么會有大有小”的探究中，學生感悟到：先要進行相關(guān)因素的分析（即：周長是個常量，長、寬和面積是變量。）；再要收集相關(guān)的數(shù)據(jù)信息并對此進行整理；然后對數(shù)據(jù)信息進行觀察、比較、歸納和猜想，并進一步驗證；最后揭示知識規(guī)律。

學生經(jīng)過對“周長長的長方形面積就大”的探究，數(shù)學思維得到鍛煉：

數(shù)學思維是非常嚴謹?shù)?，不能僅憑直覺和經(jīng)驗就說“周長長的長方形面積就大”，數(shù)學結(jié)論的得出必須有充分的依據(jù)，應(yīng)該對猜想進行驗證；數(shù)學推理是非常嚴密的，不能舉到了正例就馬上下結(jié)論，應(yīng)該思考有沒有反例，只有全部例子都是正例才能下結(jié)論說是正確的；數(shù)學思維是非常深刻的，“周長相等的長方形，面積有大有小是什么原因造成的？會不會出現(xiàn)比正方形面積更大的？”“如果不限于長方形，周長相等的圖形中，正方形的面積還會是最大的嗎？”學生從中感受思維深入的魅力，數(shù)學思維能力得到提高。

學生經(jīng)過對“周長長的長方形面積就大”的探究，學生感受到數(shù)學很實用，同樣長的木柵欄能圍出面積大小不同的花圃；數(shù)學的思考問題是很理性，結(jié)論的得出必須有充分的事實依據(jù)或嚴密的推理；數(shù)學的方法是很科學的，而運用科學方法自主探究所獲得的成功更激發(fā)學生對數(shù)學的積極情感。學生的數(shù)學意識、數(shù)學情感和數(shù)學精神得到了培育。

我們認為，數(shù)學核心素養(yǎng)是指學生在自主學習過程中，所獲得的對數(shù)學知識本質(zhì)的理解和掌握，所感悟的數(shù)學思想方法和探究策略，所習得到的數(shù)學思維方式、品質(zhì)和習慣，所生成的積極的情感態(tài)度和價值觀，所產(chǎn)生的實事求是、敢于質(zhì)疑、敢于實踐、敢于創(chuàng)新的數(shù)學的理性精神。

理解“核心問題”、“核心素養(yǎng)”等概念的含義有必要但并不困難，如何用核心問題去培育核心素養(yǎng)？這是教師實戰(zhàn)課堂所面臨的真問題。

3.用核心問題去培育核心素養(yǎng)

（1）教師要精心設(shè)計數(shù)學核心問題生成的問題情境

本節(jié)課之所以設(shè)計了“用29厘米和18厘米的兩根繩子，哪個圍成的長方形的面積大？”這一問題情境，因為它能讓學生頭腦中潛在的“周長長的長方形面積就大”的想法顯現(xiàn)出來，學生認為是理所當然的結(jié)論竟然會“存在著風險”，這就讓學生產(chǎn)生認知沖突，從而激發(fā)學生探究知識的熱情并積極主動地投入其中。當學習的內(nèi)容和過程能夠調(diào)動學生學習情感的時候，這種學習過程就不僅僅是認知的過程，更是一個情感共鳴的過程。它讓知識內(nèi)容與學生的學習生活、同他的經(jīng)驗、同他的情感、同他的生命，有了連接之橋，數(shù)學課堂才能成為學生生命成長的歷程。問題情境呈現(xiàn)的形態(tài)可以多種多樣，但好的問題情境有其共同特點，那就是：激活已知，產(chǎn)生心向，激發(fā)創(chuàng)造。然而，創(chuàng)設(shè)好的問題情境，實屬不易！它來自于教師對教材的深度發(fā)掘所制定的教學目標；來自于教師對班級不同學生認知特點的充分了解；來自于教師讓學生先行的課堂教學活動；來自于教師對學生想法的傾聽、敏感和捕捉；來自于教師教學實踐、反思所生成的教學智慧。

（2）讓學生真正自主地進行探究學習

所說的“真正自主學習”，具體來說，就是：

情境中的問題，盡可能由學生發(fā)現(xiàn)并提出。其實，像課中“周長長的長方形面積就大”這一問題，可以由教師直接提出，但我卻設(shè)計了“20厘米與18厘米兩根繩子，哪根圍出的長方形面積大”的情境，讓學生暴露自己的真實想法，從中發(fā)現(xiàn)并提出。為何？因為我認為，從探究問題的答案考慮，兩者并無太大的差別。但從學生主體性發(fā)展的角度思考，其效果就不一樣了。

讓每個學生能在已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)上進行獨立思考、嘗試探索，形成自己對問題的想法。因為知識是自己建構(gòu)的（思維是他人所不能替代的），而建構(gòu)的不僅是數(shù)學知識，更是人的主體品質(zhì)。另外，由于學生個體間的差異，因此，面對同樣的問題，他們的思維路徑、思考方法以及問題的答案等，也會呈現(xiàn)多樣性、差異性。就像課中對“周長長的長方形面積就大”的舉例驗證以及“怎樣尋找面積與長寬之間的變化規(guī)律”等，學生中的想法是豐富多樣的，這就為生生間的有效互動創(chuàng)造了條件。教師一定要給學生充分的時間以獨立思考，要耐得住寂寞，要學會等待。

（3）讓學生充分展示思維過程，結(jié)構(gòu)化地推進課堂學習

由于班級學生間的差異，他們的思維往往是點狀的、碎片化的、不系其統(tǒng)的，而數(shù)學知識是有系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，學生的認知也是有其規(guī)律的，因此課堂教學必須遵循知識邏輯體系和學生認知規(guī)律，這就需要教師讓學生充分展示思維過程、產(chǎn)生思維碰撞、生成問題鏈、展開深度思維。像課中，“周長長的長方形面積就大？”——“怎樣進行驗證？”——“舉到了正例就能證明這話是正確的嗎”——“周長長的長方形面積不一定大，這是問什么？”——“長方形面積大小的變化由什么有關(guān)，用什么方法尋找變化規(guī)律？”等，以此推進課堂探究學習。

讓學生經(jīng)常地“會回頭，看看走過的路”，即引導學生關(guān)注自己的思維過程，反思探究活動的本身。“紙上得來總覺淺，絕知此事要躬行?！边@就需要學生親身參與探究活動。但我覺得僅有探究還是不夠的，而“心中悟出始知深”。譬如，課中學生進行舉例驗證后，教師可以這樣引導學生思考：剛才你在做一件什么事？你是怎么做的？你覺得做得怎么樣？讓學生將探究活動本身作為思考的對象，經(jīng)常地讓學生對自己的思考進行再思考，會更好地促進學生的自主發(fā)展。

用核心問題培育數(shù)學核心素養(yǎng)，只是教學實踐的體會，還有待深入地實踐、研究。

責任編輯：王美娜

Cultivating mathematics core literacy of primary school students through the core problem——Take“Who has the largest area of graphics”as an example

PAN Xiao-ming1LU Chuan-han2
（1.Teacher Education College of Baoshan District,shanghai 201900,China；2.School of Mathematics and Computer Science,Guizhou Normal University,Guiyang Guizhou 550001，China）

Different rectangles can be made with 20 pieces of match on the desk.Is the area larger if its perimeter is larger?The students are guided to explore,discuss and discriminate based on this core problem in the class，then they find that the square with equal length and width has the largest area.The students are able to acquire the core literacy experience and inspiration in the process of mathematical exploring and reasoning,such as observing,comparing,inducing,conjecturing and verifying with the counterexample such as,etc.

mathematics;core problem;core literacy

1009—0673（2016）03—0099—05

G623.5

A

2016—04—20

潘小明（1960— ），男，上海市寶山區(qū)教師進修學院小學數(shù)學特級教師，主要從事小學數(shù)學課學生自主探究學習研究。