基于“三教”理念的兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育策略
——吳正憲《用字母表示數(shù)》課例探析

孫興華

（東北師范大學(xué)， 吉林 長(zhǎng)春 130024）

基于“三教”理念的兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育策略
——吳正憲《用字母表示數(shù)》課例探析

孫興華

（東北師范大學(xué)， 吉林 長(zhǎng)春 130024）

“三教”理念給我們?nèi)绾卧趯W(xué)科教學(xué)中培育學(xué)生的核心素養(yǎng)提供了指引。吳正憲老師多年來在培育兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面進(jìn)行了探索，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思考與表達(dá)。關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)與品質(zhì)，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)表征。她的《用字母表示數(shù)》一課體現(xiàn)了“三教”理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)的追求與特質(zhì)。

“三教理念”；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；培育策略

核心素養(yǎng)是培養(yǎng)高素質(zhì)社會(huì)公民的關(guān)鍵，許多國(guó)家與地區(qū)、國(guó)際組織都把核心素養(yǎng)視為課程設(shè)計(jì)的DNA，我們國(guó)家也把核心素養(yǎng)置于進(jìn)一步深化課程改革、落實(shí)立德樹人目標(biāo)的基礎(chǔ)地位。因此，核心素養(yǎng)如何落實(shí)成為熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題，特別是如何基于學(xué)科特色培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？貴州師范大學(xué)的呂傳漢教授提出了用“三教”理念培育學(xué)生核心素養(yǎng)的觀點(diǎn)，即教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)，這三者是有機(jī)的整體，相互涵攝，“三教”理念給我們?nèi)绾卧趯W(xué)科教學(xué)中培育學(xué)生的核心素養(yǎng)提供了指引。

核心素養(yǎng)需要融入學(xué)科課程，學(xué)科課程成為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的載體，學(xué)科教學(xué)是學(xué)校教育教學(xué)的中心任務(wù)，也是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在和基本路徑。因此，學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)能否落實(shí)，真正的挑戰(zhàn)在于教師的課堂教學(xué)，教師本身除了需要精通學(xué)科核心素養(yǎng)外，更應(yīng)善用培育學(xué)生核心素養(yǎng)的策略。吳正憲老師在這方面進(jìn)行了有益的探索，她的兒童數(shù)學(xué)課例體現(xiàn)了“三教”理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)追求與特質(zhì)，不僅彰顯學(xué)科特色，更突出學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。因此，本文以吳老師的《用字母表示數(shù)》一課為例，探析基于“三教”理念的兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育策略。

一、兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育策略之一：關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思考與表達(dá)

核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力。[1]培養(yǎng)學(xué)生這種有特定意義的關(guān)鍵能力，需要教師重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思考與表達(dá)，深度理解教學(xué)內(nèi)容和善用適切的教學(xué)方式。吳老師《用字母表示數(shù)》一課特別關(guān)照學(xué)生數(shù)學(xué)的思考，重視兒童的數(shù)學(xué)表達(dá)，著眼于學(xué)生深層次的理解和認(rèn)知。學(xué)生的數(shù)學(xué)思考具有內(nèi)隱性，讓學(xué)生的思維看得見摸得著的一種重要方法就是數(shù)學(xué)表達(dá)——學(xué)生和老師可以積極討論他們是如何著手處理各種問題的以及為什么這樣做，可以幫助課堂上的每個(gè)學(xué)生理解某一特定的概念或方法。

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H.Freudenthal)曾說過：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是要通過數(shù)學(xué)語言，用它特定的符號(hào)、詞匯、句法和成語去交流，去認(rèn)識(shí)世界。”[2]因此，思考與表達(dá)是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育中非常關(guān)鍵的一部分，通過交流能澄清迷思和分享數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。吳老師充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思考與表達(dá)的重要價(jià)值，在課堂上引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度看問題，有條理地進(jìn)行思考和清晰準(zhǔn)確地表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生解決與數(shù)學(xué)相關(guān)的情境性問題及使用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的意識(shí)和能力。吳老師是如何介入與促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考與表達(dá)的呢？

1.選擇與數(shù)學(xué)相關(guān)的情境性問題

學(xué)生并不是天生就會(huì)思考討論數(shù)學(xué)，教師需要幫助他們學(xué)會(huì)如何思考與交流。首先要提出能促進(jìn)學(xué)生觀點(diǎn)分享、激發(fā)學(xué)生放聲思考的情境性問題。本節(jié)課中吳老師重點(diǎn)選擇了下面兩個(gè)與數(shù)學(xué)相關(guān)的情境性問題：

問題1 師：用簡(jiǎn)便的辦法，用一個(gè)式子表示出你和老師的年齡關(guān)系？

提出這個(gè)問題后，先讓學(xué)生獨(dú)立思考，再嘗試寫出來。

選取抽樣如下幾種情況：

李同學(xué)+馬老師多的31歲；李同學(xué)x，馬老師x+31

x+31＝Y(jié)，x是李同學(xué)的年齡；④老師又加上一種形式，李同學(xué)x，馬老師Y；

⑤ A+31,B+31.C+31,D+31,E+31

問題2 師：用今天所學(xué)的用字母表示數(shù)表達(dá)“（ ）只青蛙 （）張嘴（）幾只眼睛（）條腿”。

讓學(xué)生自己獨(dú)立表達(dá)出來。選取抽樣的情況如下：

x只青蛙x張嘴x幾只眼睛x條腿

s只青蛙x張嘴z幾只眼睛v條腿

x只青蛙x張嘴2x幾只眼睛4x條腿

可能很多老師在上這節(jié)課也會(huì)選擇這兩個(gè)情境性問題，但促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行深層次思考與數(shù)學(xué)交流能否發(fā)生是重要的。因此，抽樣學(xué)生表達(dá)的結(jié)果是很關(guān)鍵的一步，吳老師能介入到學(xué)生中間，去尋找學(xué)生不同表達(dá)，并且把抽樣出的學(xué)生想法按一定次序呈現(xiàn)出來,這樣做的目的是使學(xué)生能“清楚連貫地與同伴、教師或其他人交流他們的數(shù)學(xué)思維、分析和評(píng)價(jià)他人的數(shù)學(xué)思維和策略、用數(shù)學(xué)語言精確地表達(dá)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)”。[3]幫助學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)符號(hào)是進(jìn)行數(shù)學(xué)理解、交流和分析的工具，體會(huì)運(yùn)用字母表示數(shù)的概括作用，在具體情境中初步感受字母的取值范圍（李同學(xué)年齡的取值），而字母表示數(shù)是符號(hào)的開始。在進(jìn)一步的數(shù)學(xué)交流中，學(xué)生體會(huì)到字母不僅可以表示任意數(shù)（當(dāng)然在具體問題中有時(shí)有一定限制條件），還可以表示一種關(guān)系，使用符號(hào)可以進(jìn)行一般性的運(yùn)算和推理。

吳老師在注意選擇和使用能出現(xiàn)有意義交流的數(shù)學(xué)活動(dòng)同時(shí)，更把課堂討論交流的指導(dǎo)建立在對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)觀察的基礎(chǔ)上。比如：

每盤有5個(gè)桃子，1盤有多少個(gè)？2盤有多少個(gè)？3盤呢？100盤呢？10盤呢？學(xué)生說了5×1，5× 2，再往下寫，學(xué)生用一個(gè)詞“受不了”，寫成5×x，表示一個(gè)倍數(shù)（乘）的關(guān)系。

吳老師抓住學(xué)生一個(gè)表達(dá)感受的核心詞“受不了”，有幾盤就有幾個(gè)5，盡而討論發(fā)現(xiàn)用字母不僅可以表示數(shù)量，還能表示數(shù)量關(guān)系。雖然是一個(gè)很簡(jiǎn)單的情境，但是老師卻能幫助學(xué)生理清他們表達(dá)的內(nèi)容，把注意力集中在問題的條件及其數(shù)學(xué)意義上，并且指導(dǎo)學(xué)生從例子中提煉數(shù)學(xué)思想。用字母表示數(shù)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)的一般化，是數(shù)學(xué)符號(hào)化的重要一步，標(biāo)志著由算術(shù)到代數(shù)的質(zhì)的飛躍。用字母符號(hào)表示關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)關(guān)系的一般化，提升了數(shù)學(xué)的抽象層次，標(biāo)志著由基礎(chǔ)數(shù)學(xué)向抽象數(shù)學(xué)的質(zhì)的飛躍。數(shù)學(xué)的發(fā)展史決定了數(shù)學(xué)教育也必然經(jīng)歷一個(gè)逐漸符號(hào)化的過程,吳老師就是通過學(xué)生對(duì)問題解決過程的數(shù)學(xué)思考與表達(dá)讓學(xué)生獲得符號(hào)意識(shí)的體驗(yàn)。

2.幫助學(xué)生反思表達(dá)的內(nèi)容

2012年P(guān)ISA在界定數(shù)學(xué)素養(yǎng)時(shí)指出：幫助個(gè)體認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中所起到的作用，作出有根據(jù)的判斷和決策，以成為具有建設(shè)性、參與意識(shí)和反思能力的公民。反思表達(dá)的內(nèi)容與理性判斷是很重要的一種素養(yǎng)，需要教學(xué)中給以特別的關(guān)注，幫助學(xué)生反思他們的思考與表達(dá)，調(diào)節(jié)元認(rèn)知策略和培養(yǎng)學(xué)生的自我監(jiān)控意識(shí)。吳老師在這節(jié)課中，無論是用字母表示同學(xué)和老師的年齡，還是用字母表示青蛙嘴、眼晴、腿的數(shù)量，都設(shè)計(jì)了讓學(xué)生反思他們表達(dá)內(nèi)容的討論環(huán)節(jié)，通過學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思考與表達(dá)的交流反思，可以極大的促進(jìn)學(xué)生對(duì)自己學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，學(xué)生可以看到自己學(xué)習(xí)中的困難，特別是當(dāng)前遇到的迷思，通過同學(xué)的交流解釋，學(xué)生可以不斷修改原來的思考方法和認(rèn)知策略，從其它角度對(duì)自己認(rèn)知的途徑和結(jié)果重新審視和思考。另外，下課前吳老師和學(xué)生還共同進(jìn)行了梳理：

在課的尾聲，我想對(duì)你們進(jìn)行訪談，你們?cè)趺凑J(rèn)識(shí)用字母表示數(shù)？學(xué)生做了各種回答：（1）用字母表示數(shù)比較簡(jiǎn)單；（2）寫一些有規(guī)律的算式用字母表示數(shù)方便；（3）用字母表示數(shù)能表示出他們之間的關(guān)系；（4）可以把一類的問題概括表達(dá)出來；（5）能表達(dá)數(shù)量，還能表達(dá)數(shù)量關(guān)系。吳老師總結(jié)到：你們經(jīng)歷了不斷的推理、概括，抽象出了用字母表示數(shù)。

吳老師梳理總結(jié)的設(shè)計(jì)是進(jìn)一步幫助學(xué)生建構(gòu)概念理解的過程，讓學(xué)生把本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)組織和連結(jié)在一起，使學(xué)生整體把握理解字母表示數(shù)的意義，會(huì)用字母表示數(shù)及生活中的數(shù)量關(guān)系，知道這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)與字母本身無關(guān)，感悟符號(hào)意識(shí)，了解字母可以像數(shù)一樣參與運(yùn)算。這是以“理解性”和“發(fā)展性”標(biāo)準(zhǔn)來認(rèn)識(shí)自己解題的收獲，自覺對(duì)問題的本質(zhì)進(jìn)行重新剖析，反思自己發(fā)現(xiàn)解題念頭的經(jīng)歷，抽取解決問題的關(guān)鍵，總結(jié)解題過程的經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，反思解題過程的成敗得失及其原因。[4]通過吳老師的引導(dǎo)和學(xué)生的思考,增強(qiáng)學(xué)生的自我監(jiān)控意識(shí),提高學(xué)生思維的品質(zhì),改善學(xué)生的思維水平，促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知能力的發(fā)展。

二、兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育策略之二：關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)與品質(zhì)

“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指當(dāng)前或未來的生活中為滿足個(gè)人成為一個(gè)會(huì)關(guān)心、會(huì)思考的市民的需要而具備的認(rèn)識(shí)，并理解數(shù)學(xué)在自然、社會(huì)生活中的地位和能力，作出數(shù)學(xué)判斷的能力，以及參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力?！盵4]因此，教學(xué)中關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)與品質(zhì)非常重要。吳老師希望學(xué)生成為數(shù)學(xué)的主動(dòng)學(xué)習(xí)者和行動(dòng)者,而不僅僅是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)和步驟的了解者，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程能夠積極地進(jìn)行調(diào)控,為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)及學(xué)習(xí)品質(zhì)的形成提供有效的指導(dǎo)和示范。

1.鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中承擔(dān)責(zé)任

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教學(xué)要以學(xué)生承擔(dān)學(xué)習(xí)責(zé)任為指引。吳老師積極創(chuàng)設(shè)一種相互信任、相互尊重的課堂氣氛, 支持學(xué)生為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而承擔(dān)責(zé)任。因此在課堂中吳老師采用的不是要求學(xué)生直接記憶教師所教的方法，而是充分運(yùn)用師生和生生之間的對(duì)談、提問、自問自答或他答、放聲思考等方式，提供學(xué)生思考解決問題的策略，讓學(xué)生逐步建立符號(hào)意識(shí)，獲得代數(shù)洞察力(Algebraic insight)。

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中要面對(duì)挑戰(zhàn)。因此要在學(xué)習(xí)中逐漸增加責(zé)任感，積極參加課堂討論并進(jìn)行相互間的交流，盡管參與課堂討論并非是易事，但吳老師一直在鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生傾聽、理解、詢問和解釋他人的觀點(diǎn)。例如：

“x+31＝Y(jié)”出現(xiàn)時(shí)，吳老師鼓勵(lì)給這樣寫的同學(xué)提出問題，學(xué)生分別提出x和Y是什么意思，這個(gè)同學(xué)對(duì)字母所表示的數(shù)進(jìn)行了解釋。

“李同學(xué)x，馬老師x+31”討論時(shí)，吳老師還是讓學(xué)生詢問，學(xué)生問到：沒有結(jié)果呀？這樣表達(dá)的同學(xué)做了解釋：因?yàn)槔钔瑢W(xué)的年齡是x歲，馬老師和他相相差31歲，所以是x+31。李同學(xué)的年齡加上和馬老師的年齡差31，表達(dá)出一種關(guān)系。

“A+31,B+31.C+31,D+31,E+31”表達(dá)出現(xiàn)時(shí)，吳老師仍是讓學(xué)生向?qū)懗龅耐瑢W(xué)提問，學(xué)生解釋這里不同字母所表示的是不同段的年齡，這引起大家的質(zhì)疑，同學(xué)們認(rèn)為這種表達(dá)與寫成數(shù)字沒什么區(qū)別，年齡增長(zhǎng)字母不夠用了呢？

通過這樣的討論，學(xué)生明晰了用字母表示數(shù)的簡(jiǎn)潔性，也要清楚字母所表示的意義是什么，用字母符號(hào)可以表達(dá)關(guān)系，并且在具體情境中要考慮所表示的范圍。讓學(xué)生知道什么是數(shù)學(xué)中可以用作證據(jù)的知識(shí)，學(xué)生會(huì)根據(jù)大家共同接受的數(shù)學(xué)結(jié)論來檢視自己的觀點(diǎn)。吳老師在教學(xué)過程中的鷹架角色，能讓學(xué)生更主動(dòng)承擔(dān)學(xué)習(xí)責(zé)任，能給學(xué)生提供滋養(yǎng)探索、推理、邏輯分析、抽象思維能力的課堂情境，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本身所具有的應(yīng)用性功能。吳老師充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔性與意義復(fù)雜性的統(tǒng)一，選取學(xué)生不同的表達(dá)進(jìn)行分析，不僅看到符號(hào)簡(jiǎn)潔性背后意義的復(fù)雜性，還要看到意義復(fù)雜性背后的形式多樣性，更能夠從這種復(fù)雜多變中回歸到簡(jiǎn)潔性。

2.促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)富有成效地體驗(yàn)和互動(dòng)

課堂上所有互動(dòng)的目的都是為了促進(jìn)每個(gè)學(xué)生的思考與表達(dá),以及對(duì)自己與他人理解的監(jiān)控，因此老師要讓學(xué)生有機(jī)會(huì)去解釋。吳老師從問題的提出到問題的解決都在促進(jìn)學(xué)生的體驗(yàn)和互動(dòng)。這節(jié)課解決三個(gè)問題，一是老師的年齡問題，側(cè)重于幫助學(xué)生體會(huì)用字母表示數(shù)的必要性；二是桃子數(shù)量問題，側(cè)重理解用字母表示關(guān)系；三是青蛙數(shù)量問題，是用字母表示數(shù)與數(shù)量關(guān)系的綜合運(yùn)用。三個(gè)問題的處理都體現(xiàn)促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)富有成效的體驗(yàn)和互動(dòng)。學(xué)生通過體驗(yàn)和互動(dòng)去反思和描述他們的數(shù)學(xué)思考，可以學(xué)習(xí)比較解決同一個(gè)問題的方法，辯別每一種表示方法的優(yōu)點(diǎn)和不足，可以學(xué)習(xí)對(duì)其他同學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)提出有價(jià)值性的問題，或者幫助其他同學(xué)理清解決問題的思路，還可以學(xué)會(huì)批判性地思考、反思和評(píng)價(jià)自己的觀點(diǎn)、理解他人的看法，學(xué)會(huì)用這種方式互動(dòng)。學(xué)生在這個(gè)過程中也可以學(xué)習(xí)到一些一般化的問題解決的策略，比如提問，不斷鼓勵(lì)學(xué)生提問，成為吳老師走進(jìn)學(xué)生思維的方式，提供有效的信息，幫助老師更好地指導(dǎo)學(xué)生沿著一條有效的學(xué)習(xí)路徑解決問題，促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)。

縱觀吳老師整節(jié)課，從明確這節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)開始，進(jìn)行了三個(gè)連續(xù)的數(shù)學(xué)情境學(xué)習(xí)活動(dòng)的討論，最后是梳理總結(jié)。整節(jié)課也沒有用什么多媒體的課件，表面看這節(jié)課非常簡(jiǎn)單樸素，但卻關(guān)注了學(xué)生學(xué)會(huì)提出相關(guān)問題和評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)結(jié)果的能力，關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)中的自我評(píng)價(jià)、自我監(jiān)控的意識(shí)和習(xí)慣，關(guān)注了學(xué)生之間、師生之間數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(shí)的共享，因此課堂樸素背后實(shí)現(xiàn)的是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知能力。思維品質(zhì)與元認(rèn)知實(shí)質(zhì)上是同一事物的兩個(gè)方面，思維品質(zhì)代表的是思維的表層結(jié)構(gòu),元認(rèn)知代表的是思維的深層結(jié)構(gòu),元認(rèn)知與思維品質(zhì)存在因果關(guān)系,即元認(rèn)知的改變必然引起思維品質(zhì)的改變。[6]可以看出，吳老師非常重視數(shù)學(xué)元認(rèn)知的訓(xùn)練與培養(yǎng),提高學(xué)生元認(rèn)知水平,達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

三、兒童數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育策略之三：關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)表征

學(xué)科獨(dú)特思維品質(zhì)的發(fā)展過程是學(xué)習(xí)者在學(xué)科學(xué)習(xí)活動(dòng)中有效學(xué)習(xí)學(xué)科知識(shí)重要路徑和保障，習(xí)得學(xué)科學(xué)習(xí)特定思維有利于提高學(xué)習(xí)效率。研究表明：表征既是數(shù)學(xué)的一部分又是理解數(shù)學(xué)的一個(gè)教學(xué)手段。數(shù)學(xué)表征是指用某種形式表達(dá)數(shù)學(xué)概念或關(guān)系的過程.數(shù)學(xué)表征有助于學(xué)生理解概念、關(guān)系或關(guān)聯(lián)以及解決問題過程所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)。[7]吳老師重視學(xué)生的數(shù)學(xué)表征，基于所學(xué)內(nèi)容運(yùn)用情境、符號(hào)與言語的形式進(jìn)行表征，幫助孩子達(dá)成數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和他人溝通以及推理的目的，著眼于學(xué)生的概括與抽象能力培養(yǎng)。

1.把學(xué)生的數(shù)學(xué)表征當(dāng)作數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的重要資源

吳老師運(yùn)用學(xué)生與老師年齡這個(gè)情境表征提出要討論的問題，運(yùn)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)討論，無論是老師還是學(xué)生都有一種困擾，所舉的都是一個(gè)具體的數(shù)值的例子，越舉越多，都不能把學(xué)生和老師年齡這件事表達(dá)清楚，這就產(chǎn)生一個(gè)需要：用一個(gè)什么樣簡(jiǎn)便的辦法表示出學(xué)生和老師的年齡關(guān)系呢？也就是說，教師必須使用某種語言與學(xué)生溝通一個(gè)數(shù)學(xué)問題，學(xué)生也需要使用某種形式，來和老師、同學(xué)溝通自己的想法與結(jié)果。于是，吳老師讓學(xué)生自己獨(dú)立思考去記錄，然后利用學(xué)生的各種表征內(nèi)容組織交流，從不同的視角促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解。吳老師抽樣出學(xué)生的數(shù)學(xué)表征有文字形式的表征，也有抽象符號(hào)形式的表征，學(xué)生體會(huì)到同一個(gè)情境，有多種不同形式的表征，同時(shí)幫助學(xué)生進(jìn)一步思考較佳的表征是什么，賦予靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)以豐富直觀的背景與意義，理解字母符號(hào)表征所能夠傳達(dá)的抽象信息。

2.幫助學(xué)生在真實(shí)情境與抽象形式之間建立聯(lián)結(jié)

表征既是思考的工具，又是交流的工具。因此，需要教師幫助學(xué)生在真實(shí)情境與抽象形式之間建立聯(lián)結(jié)。任何符號(hào)的引進(jìn)都需經(jīng)過“符號(hào)初步意義的獲得、符號(hào)成為溝通工具、符號(hào)成為解題工具”三個(gè)階段。從吳老師的課堂中可以發(fā)現(xiàn)，符號(hào)初步意義的獲得階段吳老師側(cè)重引發(fā)學(xué)生通過年齡這個(gè)真實(shí)的情境與特定符號(hào)對(duì)應(yīng)；符號(hào)成為溝通工具階段吳老師側(cè)重讓學(xué)生用共識(shí)的符號(hào)記錄出來；在理解了用字母表示數(shù)的多重意義后，再讓學(xué)生用符號(hào)來解決青蛙的數(shù)量問題。在這個(gè)過程中，吳老師不斷引導(dǎo)學(xué)生洞察所給情境中的數(shù)學(xué)元素，用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔語言進(jìn)行抽象表達(dá)。

另外，吳老師通過表征，讓學(xué)生觀察到在不同情境中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象有著共同的結(jié)構(gòu)。比如，三個(gè)情境中學(xué)生表征的結(jié)果，從年齡的x+31，到桃子數(shù)量的5×x，再到青蛙2×x和4×x，雖然在不同的情境中，表示的具體式子也不相同，但他們有一個(gè)共同的結(jié)構(gòu)，都是表達(dá)數(shù)量與關(guān)系。這些數(shù)學(xué)表征是當(dāng)前問題情境和個(gè)體已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的有效結(jié)合，它既依賴于個(gè)體已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，也依賴于當(dāng)前的問題情境。一旦學(xué)生理解了這些數(shù)學(xué)表征和它們所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，他們就獲得了一套能有效地?cái)U(kuò)展數(shù)學(xué)思維的工具。

[1]馬云鵬.關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的幾個(gè)問題[J].課程·教材·教法,2015(9):36-39.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平譯.上海教育出版社,1995.

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責(zé)任編輯：王美娜

Educational strategies of children’s mathematical core competency based on Three Devices of Teaching in thinking,experiencing and expressing——Wu Zhengxian’s lesson example of Representing Numbers with Letters

SUN Xing-hua
（Northeast Normal University,School of Education,Changchun,Jilin130024,China）

Three Devices of Teaching in thinking,experiencing and expressing provide guidance in cultivating students’core competency during subject matter instruction.Ms.Wu Zhengxian has attached great importance to students’mathematical thinking and expression,mathematical studying experience and effectiveness as well as students’mathematical representation in her years’exploration of developing children’s mathematical core competency.Her example lesson of Representing Numbers with Letters vividly reflects the pursuit and characteristics of mathematical instruction under the idea of three devices of teaching.

Three devices of teaching;mathematical core competency;educational strategies

1009—0673（2016）03—0104—05

G633.6

A

2016—04—08

孫興華（1971－ ），女，吉林長(zhǎng)春人，東北師范大學(xué)副教授、博士，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)課程、教學(xué)論與教師教育研究。