利用完備差集構(gòu)造QC-LDPC碼*

袁建國，李媛媛，梁夢琪，尚曉娟，王 永

（重慶郵電大學(xué)光通信與網(wǎng)絡(luò)重點實驗室，重慶　400065）

利用完備差集構(gòu)造QC-LDPC碼*

袁建國**，李媛媛，梁夢琪，尚曉娟，王 永

（重慶郵電大學(xué)光通信與網(wǎng)絡(luò)重點實驗室，重慶400065）

針對準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶校驗（QC-LDPC）碼中循環(huán)置換矩陣的移位次數(shù)的確定問題，提出了一種利用組合設(shè)計中完備差集（PDF）構(gòu)造QC-LDPC碼的新穎方法。當(dāng)循環(huán)置換矩陣的維度大于一定值時，該方法所構(gòu)造的規(guī)則QC-LDPC碼圍長至少為6，具有靈活選擇碼長和碼率的優(yōu)點，且所需的存儲空間更少，降低了硬件實現(xiàn)的復(fù)雜度。仿真結(jié)果表明：在誤碼率為10-5時，所構(gòu)造的碼率為3/4的PDF-QC-LDPC（3136，2352）與基于最大公約數(shù)（GCD）構(gòu)造的GCD-QC-LDPC（3136，2352）碼和基于循環(huán)差集（CDF）構(gòu)造的CDF-QC-LDPC（3136，2352）碼相比，其凈編碼增益（NCG）分別有0.41 dB和0.32 dB的提升；且在碼率為4/5時，所構(gòu)造的PDF-QC-LDPC（4880，3584）碼比GCD-QC -LDPC（4880，3584）碼和CDF-QC-LDPC（4880，3584）碼的NCG分別改善了0.21 dB和0.13 dB。

準(zhǔn)循環(huán)低密度校驗碼；循環(huán)置換矩陣；完備差集；凈編碼增益

1　引　言

低密度奇偶校驗（Low-Density Parity-Check，LDPC）碼是一種性能逼近香農(nóng)限的線性分組碼，具有編譯碼實現(xiàn)復(fù)雜度低、易于硬件實現(xiàn)的優(yōu)點［1］。由于在相同的碼的參數(shù)下，LDPC碼的結(jié)構(gòu)不同，編譯碼復(fù)雜度也不同，同時性能也有所差異。因此，如何構(gòu)造編譯碼簡單、性能優(yōu)異的LDPC碼是LDPC碼的研究熱點之一。

LDPC碼的構(gòu)造主要分為隨機構(gòu)造和結(jié)構(gòu)化構(gòu)造兩大類。隨機碼結(jié)構(gòu)靈活且糾錯性能優(yōu)異，但是碼的生成矩陣及校驗矩陣的結(jié)構(gòu)沒有確定的形式，因此編譯碼的復(fù)雜度很高，硬件實現(xiàn)存在一定難度［2-3］。而結(jié)構(gòu)碼是由代數(shù)、組合數(shù)學(xué)和有限幾何等方法構(gòu)造的［4-6］，循環(huán)碼或準(zhǔn)循環(huán)低密度奇偶校驗（Quasi-Cyclic Low-Density Parity-Check，QC-LDPC）碼都屬于結(jié)構(gòu)碼。由于結(jié)構(gòu)碼的校驗矩陣存在循環(huán)特性，因此編譯碼復(fù)雜度大大降低，尤其是QC -LDPC碼的編碼可以利用簡單移位寄存器實現(xiàn)編碼，硬件實現(xiàn)容易，因此受到了廣泛的關(guān)注和研究。文獻［4］中基于有限域構(gòu)造出了兩個性能優(yōu)異的1/2碼率的中短碼，但是由于使用了掩模矩陣和度分布對技術(shù)，校驗矩陣的描述變得比較復(fù)雜，且結(jié)構(gòu)變得不規(guī)則，因而在一定程度上提高了硬件實現(xiàn)的復(fù)雜度。文獻［5］提出了一種基于有限仿射平面的QC-LDPC碼，但該構(gòu)造方法對碼率及碼長具有嚴(yán)格的限制且有較大的冗余度。文獻［6-7］則利用組合數(shù)學(xué)中的均衡不完全區(qū)組設(shè)計構(gòu)造出了具有準(zhǔn)循環(huán)結(jié)構(gòu)的LDPC碼，但該方法構(gòu)造的碼字的碼長仍受限制。基于此，本文利用組合數(shù)學(xué)中的完備差集，結(jié)合另一種代數(shù)構(gòu)造方法循環(huán)置換矩陣構(gòu)造法［8］，提出了一種新穎的方法構(gòu)造QC-LDPC碼，該方法具有所需存儲空間少、能夠靈活選擇碼長及碼率的優(yōu)點，且所構(gòu)造的碼字具有良好的糾錯性能。

2　完備差集

定義1 設(shè)v是一個正整數(shù)，對于一個加法群Zv=｛0，1，…，v-1｝，取Zv中的t個子集，每個子集包含k個元素，t個子集表示為Di=｛di1，di2，…，dik｝，di1＜di2＜…＜dik，i=1，2，…，t，Zv中的每個非零元素在差集運算dim-dinmod v的結(jié)果中都出現(xiàn)λ次，其中m≠n，且m、n=1，2，…，k，則定義這樣的集合Di為一組t-（v，k，λ）循環(huán)差集（Cyclic Difference Family，CDF）［9］。

由定義1引出完備差集的定義如下∶

定義2 對于t-（v，k，λ）-CDF，當(dāng)λ=1且v=k（k-1）t+1時，差集dim-dinmod v的前（v-1）/2個結(jié)果稱為前項差，剩余的（v-1）/2個結(jié)果稱為后項差。若t-（v，k，1）-CDF的后項差中的元素恰為Zv的前（v-1）/2個元素構(gòu)成的子集｛1，2，…，（v-1）/2｝中的取值，稱這樣循環(huán)差集Di為完備差集（Perfect Difference Family，PDF）［8］。Di＇為Di對應(yīng)的負(fù)集，即Di＇中每個元素的值等于v減去Di中對應(yīng)位置元素的值［10］。其中∶t為循環(huán)差集中基塊數(shù)；v稱為完備差集的模；k稱為循環(huán)差集的大小；λ為Zv中的元素在子集Di中出現(xiàn)的次數(shù)。

例1 取t=4，k=4，則v=12×4+1=49，選取加法群Z49中一組4-（49，4，1）-PDF，Di=｛di1，di2，…，dik｝，i=1，2，3，4，Di的具體值如下∶

D1=｛0，5，22，24｝，后項差為5，22，17，24，19；

D2=｛0，7，13，23｝，后項差為7，13，6，23，16；

D3=｛0，3，14，18｝，后項差為3，14，11，18，15；

D4=｛0，1，9，21｝，后項差為1，9，8，21，20，12。

對應(yīng)的負(fù)集為

D1＇=｛0，44，27，25｝，后項差為44，27，32，25，30，47；

D2＇=｛0，42，36，26｝，后項差為42，36，43，26，33，39；

D3＇=｛0，46，35，31｝，后項差為46，35，38，31，34，45；

D4＇=｛0，48，40，28｝，后項差為48，40，41，28，29，37。

由例1可以看出∶Di及Di＇中除0元素外各不相同；Di中元素的后項差為Zv的前（v-1）/2個元素構(gòu)成的子集｛1，2，…，（v-1）/2｝中的取值；Di＇中元素的后項差為Zv的后（v-1）/2個元素構(gòu)成的子集｛（v-1）/2+1，…，v-1｝中的取值，滿足完備差集的定義。

性質(zhì)1 對于Zv=｛0，1，…，v-1｝中的一組λ=1的t-（v，k，1）-PDF，Di=｛di1，di2，…，dik｝，i=1，2，…，t，Di中元素各不相同，Zv=｛0，1，…，v-1｝中的元素在所有子集Di中僅出現(xiàn)1次，Di中任意兩個元素的模差運算dim-dinmod v結(jié)果各不相同。

定理1 （k（k-1）t+1，k，1）-PDF存在滿足的條件［11-12］∶

（1）（6t+1，3，1）-PDF存在，當(dāng)t≡0或1 mod 4時；

（2）（12t+1，4，1）-PDF存在，當(dāng)t=1，4≤t≤1 000時；

（3）（20t+1，5，1）-PDF存在，當(dāng)t=6，8，10時；

（4）PDF不存在，當(dāng)k≥6時。

3　基于完備差集的QC-LDPC碼的構(gòu)造方法

3.1QC-LDPC碼的構(gòu)造

QC-LDPC碼是一類高度結(jié)構(gòu)化的特殊的LDPC碼，其奇偶校驗矩陣H可用單位矩陣的循環(huán)移位矩陣和全零矩陣來表示，形式如（1）所示［8］∶

式中∶pij∈｛0，1，2，…，p｝表示單位矩陣向右循環(huán)移位的次數(shù)；當(dāng)pij=0時，Q（0）表示一個p×p的全零矩陣；pij≠0時，Q（pij）表示一個p×p的循環(huán)移位矩陣。定義H的準(zhǔn)循環(huán)基矩陣P，P中的元素對應(yīng)H中單位矩陣循環(huán)移位的次數(shù)，如式（2）所示∶

當(dāng)P確定后，對應(yīng)的校驗矩陣也隨之確定。

定理2 考慮Di=｛di1，di2，…，dik｝為加法群Zv=｛0，1，…，v-1｝中的一組t-（v，k，1）-PDF。其中∶i=1，2，…，t；di1＜di2＜…＜dik；Di＇為Di對應(yīng)的負(fù)集。定義k×k的循環(huán)矩陣Pi和Pi＇的第一行分別為Di和Di＇中的元素，余下每一行都是上一行向左循環(huán)移一位得來，I為一個k×k的單位矩陣。2k×2tk的基矩陣P定義為式（3）所示的形式∶

用p×p的循環(huán)矩陣和零矩陣分別去置換P中的非零元素和零元素得H矩陣。當(dāng)p≥2v時，該方法所構(gòu)造的H對應(yīng)的Tanner圖中無四環(huán)。

3.2圍長分析

取P中的一個2×2的子矩陣X如式（4）所示∶式中∶dt+s和dt＇+s分別為P中第s行中的第t列及t＇列的元素；同理dt+s＇和dt＇+s＇分別為P中的第s＇行中的第t列及t＇列的元素；1＜s＜s＇＜k；1＜t＜t＇＜k。由于P中的零元素是用全零矩陣去替換，所以當(dāng)X中有零元素時，不會構(gòu)成四環(huán)。故以下討論的均為X中不含有0元素的情況。

下面分情況去說明P中無四環(huán)存在。

（1）當(dāng)X中的元素均來自完備差集或其負(fù)集時，X的形式如式（4），假設(shè)存在四環(huán)，則式（5）成立∶

根據(jù)PDF的定義，dt+s≠dt＇+s，dt+s≠dt+s＇，dt+s＇≠dt＇+s＇，dt＇+s≠dt＇+s＇，且dt+s-dt+s＇≠dt＇+s-dt＇+s＇。當(dāng)dt+s-dt+s＇＞0時，若dt+s＇-dt＇+s＇＞0，因為p≥2v，所以dt+sdt+s＇＜v＜p，dt+s＇-dt＇+s＇＜v＜p，因此等式（5）不成立；若dt+s＇-dt＇+s＇＜0，則dt+s=dt＇+s＇，dt+s＇=dt＇+s，式（5）改寫為2dt+s=2dt＇+smod p，由于2dt+s≠2dt＇+s，且2dt+s＜p，2dt＇+s＜p，因此等式（5）不成立。

（2）由于0元素不參與構(gòu)成四環(huán)，X中的元素分別來自完備差集或其負(fù)集和單位矩陣中的1元素，X的形式如式（6）和式（7）所示∶

對于式（6），假設(shè)不存在四環(huán)，則式（8）成立∶

由于p≥2v，所以0＜dt+s-1＜v，1-dt＇+s＇modp＞v，因此式（8）不成立。

對于式（7）無四環(huán)的證明情況與式（6）相似。

綜上所述，該方法所構(gòu)造的H中不存在四環(huán)。

3.3該構(gòu)造方法的優(yōu)勢分析

由于基矩陣的大小為2k×2tk，則該方法構(gòu)造的H大小為2kp×2tkp，則碼率為R≥（t-1）/t。由此可知∶可根據(jù)t的不同取值去靈活選擇碼率；同時，當(dāng)k和p取不同值時，碼長n=2tkp的取值也不同。表1給出了t和k取不同值時該方法所構(gòu)造的碼長及碼率的數(shù)值分析。

表1　碼長及碼率的數(shù)值分析Tab.1 The numerical analysis of code-length and rate-code

另外，本文基于完備差集提出的QC-LDPC碼的構(gòu)造方法與大多數(shù)構(gòu)造QC-LDPC碼的方法相似，首先利用完備差集的特殊性質(zhì)靈活構(gòu)造其基矩陣P，然后再利用零矩陣和循環(huán)置換矩陣將基矩陣擴展為其校驗矩陣H。而本文構(gòu)造的基矩陣P是由k×k的循環(huán)矩陣和k×k的單位排列構(gòu)造的，循環(huán)矩陣中的每一行元素都是由上一行元素向左循環(huán)移一位得來的，且單位矩陣的引入減少了基矩陣中的非零項的存在。因此，該方法構(gòu)造的QC-LDPC碼的儲存復(fù)雜度僅考慮對基矩陣P中的循環(huán)矩陣的首行的元素及單位矩陣中的1元素的存儲，然后可利用線性移位寄存器實現(xiàn)編碼，相對于一般QCLDPC碼而言很大程度上降低了H矩陣所需要的存儲空間。相應(yīng)地，這也一定程度上降低了硬件實現(xiàn)的復(fù)雜度。

4　性能分析

由于碼的綜合性能與碼長及碼率均有關(guān)系，碼長越長，糾錯性能越好，但引入的時延也越大。因此，為滿足實際通信系統(tǒng)實時性對時延的要求及對信息傳輸?shù)目煽啃砸?，本文?gòu)造的均為中短碼長的碼字。另外，就碼率而言，碼率越小，糾錯性能越好，但冗余度也越高，比如當(dāng)碼率為1/2時，冗余度高達50%。因此綜合考慮糾錯性能和冗余度因素，本文構(gòu)造的兩種碼字的碼率分別為3/4和4/5。

本文采用在加性白噪聲高斯（AWGN）信道下、二進制相移鍵控（BPSK）調(diào)制、和積算法（SPA）迭代譯碼的仿真環(huán)境下進行仿真，迭代次數(shù)取30次。因為雖隨著迭代次數(shù)的增加，其糾錯性能逐漸變好，但當(dāng)?shù)螖?shù)超過30時，其性能提升不大，而迭代次數(shù)越多譯碼時間越長，因而考慮譯碼時間及譯碼性能的折衷，本文在對QC-LDPC碼進行仿真時選取迭代次數(shù)為30。

首先利用例1中4-（49，4，1）-PDF，根據(jù)式（3）構(gòu)造一個8×32的基矩陣P，選取p為98，再利用式（1）構(gòu)造出碼率為3/4的規(guī)則QC-LDPC（3136，2352）碼，記為PDF-QC-LDPC（3136，2352）碼。從圖1可看出，當(dāng)誤碼率為10-5時，在碼率同為3/4的條件下，本文所構(gòu)造的PDF-QC-LDPC（3136，2352）碼與文獻［13］GCD-QC-LDPC（3136，2352）碼相比具有0.41 dB左右的凈編碼增益（Net Coding Gain，NCG）改善，比文獻［10］的CDF-QC-LDPC（3136，2352）碼NCG提高了0.32 dB左右。

圖1　碼率為3/4的PDF-QC-LDPC（3136，2352）碼與其他碼的性能比較Fig.1 The comparison of the error correction performances between the PDF-QC-LDPC（3136，2352）code and other codes at the code-rate of 3/4

為了進一步說明本文所構(gòu)造的碼字的性能的優(yōu)越性，利用5-（61，4，1）-PDF，根據(jù)式（3）構(gòu)造一個8×40的基矩陣P，取p為122，再利用式（1）構(gòu)造出碼率為4/5的PDF-QC-LDPC（4880，3584）碼。從圖2可看出，當(dāng)誤碼率為10-5時，在碼率同為4/5的條件下，所構(gòu)造的PDF-QC-LDPC（4880，3584）碼與文獻［13］的GCD-QC-LDPC（（4880，3584）碼相比具有0.21 dB的NCG的改善，比文獻［10］的CDFQC-LDPC（4880，3584）碼NCG提高了0.13 dB。

圖2　碼率為4/5的PDF-QC-LDPC（4880，3584）碼與其他碼的性能比較Fig.2 The comparison of the error correction performances between the PDF-QC-LDPC（4880，3584）code and other codes at the code-rate of 4/5

5　結(jié)束語

本文基于完備差集和循環(huán)置換矩陣提出了一種新穎的構(gòu)造QC-LDPC碼的方法。該方法構(gòu)造的QC-LDPC碼除了具有所需存儲空間少、易于硬件實現(xiàn)的優(yōu)勢外，還在避免短環(huán)的同時，在高信噪比區(qū)域具有較快的收斂速度。仿真結(jié)果表明∶在對應(yīng)的同等條件下，本文所構(gòu)造的PDF-QC-LDPC碼的糾錯性能優(yōu)于文獻［13］基于最大公約數(shù)構(gòu)造的GCDQC-LDPC碼以及文獻［10］中基于循環(huán)差集構(gòu)造的CDF-QC-LDPC碼；除此之外，通過選取不同的參數(shù)，還可以靈活選擇所需的碼長和碼率，為實際通信系統(tǒng)中應(yīng)用QC-LDPC碼提供了一種選擇方案。

本文所提出的構(gòu)造方法中僅無四環(huán)的存在，由于環(huán)長是影響LDPC碼譯碼性能的重要因素，因此在以后的研究過程中，可在該算法的基礎(chǔ)上進一步深入探討與改進，以期消除六環(huán)的存在，進一步提高碼字的糾錯性能。

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袁建國（1968—），男，重慶人，2007年于重慶大學(xué)獲工學(xué)博士學(xué)位，現(xiàn)為教授、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為光通信系統(tǒng)、信道編碼技術(shù)；

YUAN Jianguo was born in Chongqing，in 1968.He received the Ph.D.degree from Chongqing University in 2007.He is now a professor and also the instructor of graduate students.His research concerns optical communication systems and channel coding technologies.

Email∶yyyyjg@126.com

李媛媛（1992—），女，四川人，碩士研究生，主要研究方向為通信系統(tǒng)中FEC編譯碼技術(shù)；

LI Yuanyuan was born in Sichuan Province，in 1992.She is now a graduate student.Her research concerns forward error correction（FEC）encoding/decoding technologies for communication systems.

Email∶liyuanyax@163.com

梁夢琪（1991—），女，重慶人，碩士研究生，主要研究方向為通信系統(tǒng)中FEC編譯碼技術(shù)；

LIANG Mengqi was born in Chongqing，in 1991.She is now a graduate student.Her research concerns FEC encoding/ decoding technologies for communication systems.

Email∶1194685995@qq.com

尚曉娟（1991—），女，安徽人，碩士研究生，主要研究方向為通信系統(tǒng)中FEC編譯碼技術(shù)；

SHANG Xiaojuan was born in Anhui Province，in 1991. She is now a graduate student.Her research concerns FEC encoding/decoding technologies for communication systems.

Email∶1390115692@qq.com

王 永（1977—），男，四川自貢人，教授、碩士導(dǎo)師，主要研究方向為信息安全與FEC編譯碼技術(shù)。

WANG Yong was born in Zigong，Sichuan Province，in 1977.He is now a professor and also the instructor of graduate students.His research concerns information security and FEC encoding/decoding technologies.

Email∶wangyong_cqupt@163.com

Constructing QC-LDPC Codes by Using Perfect Difference Families

YUAN Jianguo，LI Yuanyuan，LIANG Mengqi，SHANG Xiaojuan，WANG Yong
（Key Laboratory of Optical Communication and Networks，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

∶For the problem of determining shift times of the circulant permutation matirx（CPM）in quasi-cyclic low-density parity-check（QC-LDPC）codes，a novel construction method based on the perfect difference family（PDF）among combinatorial mathematics is proposed.When the dimension of the CPM exceeds a certain particular value，the girth of the Tanner graph of QC-LDPC codes constructed by this method is at least six，and the proposed algorithm has high flexibility with respect to the design of code-length and coderate.In addition，it has less requirement about storage space，so the complexity of the hardware implementation is reduced.The simulation results show that the net coding gain（NCG）of the PDF-QC-LDPC（3136，2352）code with the code-rate of 3/4 is respectively improved 1.15 dB and 0.58 dB than those of the GCD -QC-LDPC（3136，2352）code based on the greatest common divisor（GCD）and the CDF-QC-LDPC（3136，2352）code based on the cyclic difference family（CDF）at the bit error rate（BER）of 10-5.In addition，the NCG of the proposed PDF-QC-LDPC（4880，3584）code is improved 0.21 dB and 0.13 dB than those of the GCD-QC-LDPC（4880，3584）code and the CDF-QC-LDPC（4880，3584）code with the same conditions correspondingly with the code-rate of 4/5 and the BER of 10-5.

∶quasi-cyclic low-density parity-check code；circulant permutation matirx；perfect difference family；net coding gain

The National Natural Science Foundation of China（61472464）；Chongqing Research Program of Basic Research and Frontier Technology（cstc2015jcyjA0554）

TN911.22

A

1001-893X（2016）05-0471-05

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.05.001

袁建國，李媛媛，梁夢琪，等.利用完備差集構(gòu)造QC-LDPC碼［J］.電訊技術(shù)，2016，56（5）∶471-475.［YUAN Jianguo，LI Yuanyuan，LIANG Mengqi，et al.Constructing QC-LDPC codes by using perfect difference families［J］.Telecommunication Engineering，2016，56（5）∶471-475.］

2015-12-25；

2016-04-12Received date：2015-12-25；Revised date：2016-04-12

國家自然科學(xué)基金資助項目（61472464）；重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計劃項目（cstc2015jcyjA0554）

**通信作者：yyyyjg@126.comCorresponding author：yyyyjg@126.com