由一道最值問題引發(fā)的思考

趙永

[摘 要] 數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和重要策略，是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂體現(xiàn). 數(shù)學(xué)思想方法更是伴隨在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)思維活動(dòng)之中的. 將數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)基本知識(shí)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心體現(xiàn).

[關(guān)鍵詞] 模型；思維品質(zhì)；轉(zhuǎn)化；一題多變

我們來看一道和最值有關(guān)的題目：

已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

這道題的得分率很低，從題目的結(jié)構(gòu)來看雖然感覺似曾相識(shí)，入口很寬，但又和平時(shí)訓(xùn)練題型有所差異. 筆者對(duì)做錯(cuò)的學(xué)生做了調(diào)查，很多學(xué)生對(duì)于題目中的條件根本不知道如何轉(zhuǎn)化，還有一部分學(xué)生認(rèn)為計(jì)算太煩瑣，運(yùn)算量大，導(dǎo)致直接放棄. 是什么原因?qū)е聦W(xué)生在做題時(shí)會(huì)出現(xiàn)思維偏差呢？對(duì)于這類題型學(xué)生如何突破？實(shí)際上每次遇到這樣類似的題型，學(xué)生總是摸不著頭腦，找不到解決問題的方法. 那么如何能盡快地幫助學(xué)生完成對(duì)新知識(shí)的順應(yīng)？能夠幫助學(xué)生通過聯(lián)想、類比，找到解決問題的突破口呢？這就需要教師在平時(shí)教學(xué)中要多引導(dǎo)學(xué)生去探究，抓住題目的背景和本質(zhì)，并能夠做些適當(dāng)變形，這樣既能培養(yǎng)學(xué)生探索新知的興趣，又能更好地培養(yǎng)他們的思維品質(zhì).

與已知題型相似之認(rèn)知結(jié)構(gòu)的偏差

1. 問題的回顧

在基本不等式這一節(jié)教學(xué)中，教師會(huì)設(shè)計(jì)以下題型：

（1）已知x，y∈（0，+∞），且x+y=1，求+的最小值；

（2）已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

我們所要求的目標(biāo)“+的最小值”與下列題型的結(jié)構(gòu)極其相似.

對(duì)于上面這道題目的思維起點(diǎn)最直接的就是利用基本不等式中“1”的代換，以（2）為例由已知條件可得=1，則+=+××（2x+y）=·3++≥，“=”當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取得，即x=，y=3（-1）.

2. 題目的分析

由于題型極其相似，學(xué)生思維會(huì)出現(xiàn)偏差，具體如下：

+=+××（2x+y）=2+++x，感覺式子越來越復(fù)雜了，這也是很多學(xué)生對(duì)于這道題目做不出來的主要原因.

重視多元表征的訓(xùn)練

1. 抓住本質(zhì)、適當(dāng)變式

基本不等式可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，≥（a≥0，b≥0），實(shí)際上運(yùn)用基本不等式的實(shí)質(zhì)就是“和”與“積”的矛盾關(guān)系，將“和”與“積”進(jìn)行合理有效的轉(zhuǎn)化. 基本不等式是高中內(nèi)容中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，在高考中是C級(jí)要求，題型具有靈活性、技巧性，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)之一.對(duì)于用基本不等式求最值的解法是非常多的，在這里筆者列舉幾個(gè)比較典型的模型：

（1）a+≥2（a>0）；

（2）+≥2（ab>0）；

（3）a2+b2≥（a∈R，b∈R）.

重視模型、合理轉(zhuǎn)化

形如+≥2（ab>0）或可轉(zhuǎn)化為+≥2（ab>0）結(jié)構(gòu)的題型的解法如下：

（1）利用“1”的代換轉(zhuǎn)化為“+≥2（ab>0）”結(jié)構(gòu).

例1 （如引例）已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

解：+=+=++≥，“=”當(dāng)且僅當(dāng)=，

即“x=6-3，y=6-9”時(shí)取得.

評(píng)析：利用基本不等式中“1”的代換時(shí)，是直接對(duì)于所求的式子乘以“1”嗎？這顯然是學(xué)生死記硬背帶來的后果，實(shí)際上可以利用“1”的代換轉(zhuǎn)化為我們所要的結(jié)構(gòu)模型，注意到目標(biāo)式子“+”中已經(jīng)有了“”，那么我們只要對(duì)“”進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化為“”型即可，那么正好可以轉(zhuǎn)化為+≥2（ab>0），從而可以應(yīng)用基本不等式求出最值，而實(shí)際操作過程中，學(xué)生往往心中確實(shí)有“1”的代換的概念，但根本不知道代換的是什么，盲目地進(jìn)行代換.

（2）利用換元法轉(zhuǎn)化為“+≥2（ab>0）”結(jié)構(gòu).

例2 已知x，y∈（0，+∞），且2x+y=3，求+的最小值.

解：令m=2x+1，n=y+2，則m>1，n>2，m+n=6，+=+=+×（m+n）=2++≥，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取得.

評(píng)析：注意到本題的條件是比較簡(jiǎn)單的，而目標(biāo)式子是較復(fù)雜的，分母分別為“2x+1”和“y+2”，它們的“和”正好與已知式子有關(guān)，我們可以通過換元法將結(jié)構(gòu)變得簡(jiǎn)單，進(jìn)而容易轉(zhuǎn)化為我們所熟知的結(jié)構(gòu)模型.

例3 已知實(shí)數(shù)x，y滿足x>y>0，且x+y≤2，則+的最小值為______.

解：設(shè)m=x+3y，n=x-y，那么題目等價(jià)轉(zhuǎn)化為已知0

評(píng)析：本道題有2個(gè)難點(diǎn)，第一對(duì)于所給條件的合理轉(zhuǎn)化，第二對(duì)于目標(biāo)的轉(zhuǎn)化. 對(duì)于題目中條件的不等關(guān)系如何處理呢？我們可以當(dāng)成等式關(guān)系加以處理，以前對(duì)于等式關(guān)系的處理方式同樣適用于這種不等關(guān)系式，所以我們對(duì)題目同樣可以這樣處理，利用“變量代換”實(shí)現(xiàn)“等價(jià)轉(zhuǎn)化”. 這樣的解決方法還是利用基本不等式的思想構(gòu)造了“+（a>0，b>0）”模型，問題便化歸為我們熟悉的題型.

（3）通過消元法轉(zhuǎn)化為“+≥2（ab>0）”結(jié)構(gòu).

例4 x，y，z∈R*，x-2y+3z=0，的最小值為________.

解：由已知得y=，則==×++6≥×（6+6）=3，

當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”.

評(píng)析：本題是多元變量問題，所給條件是三個(gè)變量的一個(gè)等式，變量間的線性關(guān)系決定了可以將一個(gè)變量用其他的量線性表示，而目標(biāo)是是一個(gè)齊次式，故可以做消元處理，從所求的目標(biāo)來看消掉y是最可行的方法，進(jìn)而可以轉(zhuǎn)化為+≥2（ab>0）結(jié)構(gòu)模型.

形如“a+≥2（a>0）”或可轉(zhuǎn)化為a+≥2（a>0）結(jié)構(gòu)的題型解法如下：

（4）利用配湊法轉(zhuǎn)化為a+≥2（a>0）結(jié)構(gòu).

例5 已知x<，求函數(shù)f（x）=4x-2+的最大值.

解：由題意5-4x>0，f（x）=4x-2+=-（5-4x）++3≤-2+3=1，“=”當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=，即x=1時(shí)取得.

評(píng)析：注意到目標(biāo)函數(shù)分母“4x-5”，可以作為一個(gè)整體，所以將“4x-2”配成“4x-5”，轉(zhuǎn)化為熟悉的結(jié)構(gòu)模型，直接利用基本不等式加以解決.

例6 已知x，y為正實(shí)數(shù)，且xy=2x+2，求+的最小值.

解：由題意x（y-2）=2，=，因?yàn)閤>0，+=+≥2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=2時(shí)取得，此時(shí)y=3.

評(píng)析：這類求最值問題，往往可以通過消元，轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量x，進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn)用基本不等式求出最值，當(dāng)然本題也可以向另外一個(gè)模型轉(zhuǎn)化，令x=m，y-2=n，則題目可以轉(zhuǎn)化為m>0，n>0，mn=2，求+的最小值，那么問題也迎刃而解了.

形如“a2+b2≥（a∈R，b∈R）”結(jié)構(gòu)的題型解法如下：

（5）利用湊定值或換元法轉(zhuǎn)化為a2+b2≥（a∈R，b∈R）及a+b≤.

例7 已知實(shí)數(shù)x，y滿足+=4，求x+y的最小值.

解法一： +≤=，

所以≥4，從而可得x+y≥2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取得.

所以x+y的最小值為2.

解法二：令m=，n=，則m+n=4（m≥1，n≥1），

所以x+y=≥=2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)m=n，

即=時(shí)取得. 所以x+y的最小值為2.

評(píng)析：在使用基本不等式的過程中，經(jīng)常會(huì)采用配或湊成定值的形式來解決問題，這種解法要求較高，對(duì)于學(xué)生而言也是個(gè)難點(diǎn)，當(dāng)然對(duì)于某些結(jié)構(gòu)題型如果可以換元，把變量的關(guān)系進(jìn)行重組，那么會(huì)使得整個(gè)條件更加簡(jiǎn)單，所求目標(biāo)更加清晰，學(xué)生也容易理解和掌握.

形如“≥（a≥0，b≥0）”結(jié)構(gòu)題型解法如下：

（6）利用換元法湊定值轉(zhuǎn)化為“≥（a≥0，b≥0）”結(jié)構(gòu).

例8 若實(shí)數(shù)a，b滿足ab-4a-b+1=0（a>1），則（a+1）（b+2）的最小值為_____.

解：由ab-4a-b+1=0（a>1）可得（a-1）（b-4）=3，令m=a-1，n=b-4，則mn=3，

（a+1）（b+2）=（m+2）（n+6）=mn+6m+2n+12=6m+2n+15≥2+15=27，“=”當(dāng)且僅當(dāng)n=3m，即b=3a+1時(shí)取得.

評(píng)析：本題無論是條件還是所求目標(biāo)對(duì)于學(xué)生而言都是畏懼的，在解決時(shí)容易偏離方向，本題的解法是通過換元法將條件簡(jiǎn)單化，從而所求目標(biāo)也就清晰了，當(dāng)然本題也可以從結(jié)論出發(fā)加以換元，也能水到渠成.

課堂的再演繹

我們教師在日常教學(xué)中不能只側(cè)重于解題方法和解題技巧的傳授，更要讓學(xué)生重視題目?jī)?nèi)部的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，把握問題的不同表征，要以思維訓(xùn)練為抓手，這樣可以把數(shù)學(xué)知識(shí)板塊有效地結(jié)合起來，在本案例進(jìn)行了辨析之后教師可以給出以下題型：

（1）已知x，y∈（0，+∞），且+=1，求x+y的最小值；

（2）已知x>0，y>0，且+≤，求2x+y的最小值；

（3）設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，且x+y=1，求+的最小值；

（4）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足2xx++=yz，則x+x+的最小值為______；

（5）已知x，y∈（0，+∞），2x+3y+xy=8，求2x+5y的最小值；

（6）已知x+y=7，則2+的最大值是______.

以上設(shè)計(jì)涉及整體、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)、消元、化歸等等思想，能使得學(xué)生認(rèn)識(shí)到同一問題在不同背景下的表征. 通過對(duì)問題的不同表征，抓住問題的本質(zhì)，找到解決問題的準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，進(jìn)而快速地解決問題.

兩點(diǎn)思考

1. 重視學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)

通過剛才幾個(gè)例題的解法我們清楚地看到，在解題過程中運(yùn)用了很多數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法它是解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和重要策略，是體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂. 對(duì)于數(shù)學(xué)課的教學(xué)不僅僅是要訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，更應(yīng)該從教學(xué)中不斷地提高學(xué)生的思維品質(zhì). 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，在教學(xué)中要以學(xué)生為主體，遵循認(rèn)知規(guī)律，以學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)的處理中，重視學(xué)生思維過程的暴露與訓(xùn)練，進(jìn)而提高思維訓(xùn)練的實(shí)效性. 教師要善于以知識(shí)和例題、習(xí)題為載體，向?qū)W生有機(jī)地滲透數(shù)學(xué)思想方法，逐步讓學(xué)生親身領(lǐng)悟到解題過程的思維樂趣，經(jīng)過長(zhǎng)期的訓(xùn)練能夠形成一種思維能力，養(yǎng)成一種良好的思維品質(zhì).

解題是一種藝術(shù)，我們教師應(yīng)該在課堂教學(xué)中注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，往往很多學(xué)生題目做不出來，大部分原因是因?yàn)檎也坏浇忸}的思維因素而造成的. 在解題過程中，為了實(shí)現(xiàn)條件向結(jié)論的轉(zhuǎn)化，我們必須首先分析題目的結(jié)構(gòu)特征，然后與所學(xué)知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí)模型，這種思維活動(dòng)重點(diǎn)在于對(duì)題目的再創(chuàng)造，這需要扎實(shí)的基礎(chǔ)和創(chuàng)造性的思維. 數(shù)學(xué)家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換. 可見，解題過程是通過問題的轉(zhuǎn)化才能完成的. 轉(zhuǎn)化是解數(shù)學(xué)題的一種十分重要的思維方法. 那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？概括地講，就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單問題，把抽象問題轉(zhuǎn)化成具體問題，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題. 在解題時(shí)，觀察題目的具體特征，聯(lián)想與之相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)而尋求轉(zhuǎn)化關(guān)系，達(dá)到解題目的.

2. 重視學(xué)生一題多變的能力

所謂“一題多變”，就是通過題目的引申、變化、發(fā)散，揭示問題的本質(zhì)，暴露問題間的邏輯關(guān)系. 對(duì)于學(xué)生而言，高中階段的學(xué)習(xí)很枯燥，壓力大，解題找不到突破口，主要是思考問題的思維方式出現(xiàn)了問題，經(jīng)常性地進(jìn)行變式的訓(xùn)練有助于拓寬他們的解題思路，培養(yǎng)他們的思維能力，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.長(zhǎng)期的“一題多變”的訓(xùn)練，會(huì)將這種解決問題的能力轉(zhuǎn)化為一種思維方式，使學(xué)生思維水平上升到一個(gè)新的臺(tái)階. 通過變式教學(xué)可以將所學(xué)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來，起到舉一反三、觸類旁通的作用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)是很有好處的.