淺析函數(shù)與方程思想及其實(shí)際運(yùn)用

王文文

[摘 要] 函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò)，函數(shù)與方程思想是函數(shù)與方程知識(shí)與方法的升華，可以與高中數(shù)學(xué)中的多個(gè)知識(shí)章節(jié)結(jié)合，作為其解題的指導(dǎo)思想. 在目前的高考和調(diào)研考試中同函數(shù)與方程思想相結(jié)合比較熱點(diǎn)的問題有不等式問題、數(shù)列問題和解析幾何中直線與曲線位置關(guān)系的問題等.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)；方程思想；運(yùn)用

數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法相伴而生，具有伴生性；它藏匿于各個(gè)數(shù)學(xué)問題中，具有內(nèi)隱性；相對(duì)于顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想具有一定深度和難度. 數(shù)學(xué)思想的伴生性和內(nèi)隱性決定了數(shù)學(xué)思想不能以直接的方式而只能以滲透的方式來(lái)傳遞給學(xué)生. 數(shù)學(xué)思想的深度和難度以及學(xué)生現(xiàn)階段具有的知識(shí)水平，決定了中學(xué)階段并不能窮盡數(shù)學(xué)思想，而只能接觸一些與現(xiàn)階段知識(shí)相契合的數(shù)學(xué)思想. 通常在高中階段遇到的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.這其中又以函數(shù)與方程思想運(yùn)用得最多，因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)是以函數(shù)為基本脈絡(luò)的. 文章嘗試從函數(shù)與方程思想在不同知識(shí)層面的運(yùn)用來(lái)淺析函數(shù)與方程思想.

函數(shù)與方程思想的理論分析

所謂函數(shù)與方程思想其實(shí)包含著兩類思想，即函數(shù)思想和方程思想，這兩類思想之間存在著一定的相關(guān)性，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，例如對(duì)于函數(shù)y=f（x），通過(guò)移項(xiàng)可將其轉(zhuǎn)化成一個(gè)二元方程y-f（x）=0，若令y=0，則函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)一元方程f（x）=0. 因此，在教學(xué)過(guò)程中通常將函數(shù)思想與方程思想并列說(shuō)明.

具體說(shuō)來(lái)，函數(shù)思想是指解題過(guò)程中，以函數(shù)為橋梁運(yùn)用它的概念與性質(zhì)來(lái)解讀、轉(zhuǎn)化和解決問題，其本質(zhì)是運(yùn)用和變化的觀點(diǎn)來(lái)看待問題，以變量（未知）和變量（未知）的關(guān)系為基礎(chǔ)，構(gòu)建相關(guān)函數(shù)的模型，來(lái)分析和研究數(shù)學(xué)問題中的各個(gè)變量之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的功能. 方程思想是指解決問題中分析問題的各個(gè)數(shù)量之間的等量關(guān)系，以等量關(guān)系為前提，建立方程或方程組、不等式或不等式組，并利用方程（不等式）的性質(zhì)和方程（不等式）的求解達(dá)到解決問題目的，其本質(zhì)是運(yùn)用和變化的觀點(diǎn)來(lái)看待問題，以定量（已知）和變量（未知）的關(guān)系為基礎(chǔ)，構(gòu)建相關(guān)方程或不等式的模型，來(lái)分析和研究問題定量與變量之間的關(guān)系，以達(dá)到解決問題的目的.

作為高中知識(shí)脈絡(luò)的主線，函數(shù)幾乎可以出現(xiàn)在任意知識(shí)章節(jié)中，結(jié)合常見考題可以發(fā)現(xiàn)同函數(shù)與方程思想結(jié)合的問題類型通常有如下幾類：首先，不等式與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，例如不等式ax2+bx+c>0中的多項(xiàng)式可看成函數(shù)y=ax2+bx+c，而函數(shù)y=f（x）可令y>0，則函數(shù)又可轉(zhuǎn)化成為不等式，函數(shù)與不等式之間可轉(zhuǎn)化的特性，決定了解決不等式問題時(shí)?？山柚瘮?shù)的手段來(lái)處理. 其次，數(shù)列的函數(shù)特性，數(shù)列的本質(zhì)是一個(gè)離散型函數(shù)，其通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)求和公式均可看成是以正整數(shù)為自變量的函數(shù)，因此用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)處理數(shù)列問題是一種常見的手段. 第三，有關(guān)解三角形和三角函數(shù)求值的問題，解三角形中的正余弦定理帶有明顯的方程思想，而三角函數(shù)本身作為一種特殊的函數(shù)本身就具有函數(shù)的特點(diǎn). 第四，解析幾何中也是方程思想運(yùn)用得比較多的地方，比如在處理直線與曲線位置關(guān)系時(shí)，常將兩者的方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化成一元二次方程來(lái)處理，再比如在解析幾何中求解幾何最值時(shí)，通常的處理方式是將待求的幾何量表示成某個(gè)變量的函數(shù)表達(dá)式，利用函數(shù)性質(zhì)求解最值.

當(dāng)然上述的理論分析僅僅是從知識(shí)的邏輯體系上來(lái)分析函數(shù)與方程思想，這只能是對(duì)函數(shù)與方程思想的抽象認(rèn)識(shí)，要深刻理解函數(shù)與方程思想，需要更為具象的實(shí)例作為支撐.

函數(shù)與方程思想的實(shí)例運(yùn)用

掃描近年來(lái)的高考題和各市調(diào)研試題可以大致將函數(shù)與方程思想運(yùn)用的熱點(diǎn)問題歸結(jié)為如下幾類：其一，函數(shù)與方程思想在不等式中的運(yùn)用；其二，函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的運(yùn)用；其三，函數(shù)與方程思想在解析幾何中的運(yùn)用.

1. 函數(shù)與方程思想在不等式中的運(yùn)用

（2015年新課標(biāo)Ⅱ全國(guó)卷） 設(shè)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf ′（x）-f（x）<0，使得f（x）>0成立的x的取值范圍是多少？

解析：根據(jù)題設(shè)xf ′（x）-f（x）<0，可以構(gòu)造函數(shù)h（x）=，所以當(dāng)x>0時(shí)，h（x）=<0，可得h（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞減；h（-x）=，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以h（-x）==h（x），函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，所以h（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，f（-1）=0？圯h（-1）=h（1）=0. 由構(gòu)造函數(shù)h（x）=可知，f（x）=x·h（x），所以f（x）>0？圳x·h（x）>0，也即h（x）與x同號(hào). 所以當(dāng)x>0時(shí)，h（x）>0，即0

反思：利用題設(shè)所給條件構(gòu)造一個(gè)與已知函數(shù)相關(guān)的新函數(shù)，利用新函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決不等式問題，這是典型的函數(shù)思想. 在解決不等式問題時(shí)，有時(shí)直接令題設(shè)中的多項(xiàng)式為某一變量的函數(shù)，有時(shí)根據(jù)要求構(gòu)造與已知表達(dá)式相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象解決問題，是一種常見的思路.

2. 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的運(yùn)用

（2015年保定一模）設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1=1，an>0，其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則的最大值為多少？

解析：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以Sn=n=n·，=.

又?jǐn)?shù)列{}也為等差數(shù)列，因此，2=+？圯2=1+，所以d=2，可得an=2n-1，Sn=n2，因此==+，不妨令f（n）=+，將待求表達(dá)式看成關(guān)于自變量n的函數(shù)，函數(shù)f（n）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（n）≤f（1）=11，因此的最大值為121.

反思：將待求數(shù)列的表達(dá)式看成是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解待求表達(dá)式的最值，是典型函數(shù)與方程思想. 數(shù)列在本質(zhì)上可以看作定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集的離散型函數(shù)，與數(shù)列基本量相關(guān)的表達(dá)式實(shí)質(zhì)就是相應(yīng)函數(shù)的解析式，因此，解決數(shù)列問題應(yīng)當(dāng)注意利用函數(shù)思想解決問題.

3. 函數(shù)與方程思想在解析幾何中的運(yùn)用

（2014年福建） 設(shè)P，Q分別為圓x2+（y-6）2=2和橢圓+y2=1上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是多少？

解析：根據(jù)圓方程和橢圓方程可知圓與橢圓沒有公共點(diǎn)，所以可將橢圓上的點(diǎn)視為圓外的點(diǎn)，根據(jù)幾何意義可知圓外任意一點(diǎn)到圓的最大距離是此點(diǎn)與圓心的距離與半徑之和. 所以不妨設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），所以點(diǎn)Q與圓心的距離d1=. 又因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以坐標(biāo)滿足方程+y2=1，即x2=10-10y2，即d1=，化簡(jiǎn)后可得d=，不妨令h（y）= -9y2-12y+46，y∈[-1，1]，所以當(dāng)y=-時(shí)，h（y）取最大值50，即d1最大值為5，所以PQmax=6.

反思：將兩點(diǎn)之間的距離表示成一個(gè)關(guān)于y的多項(xiàng)式，利用y的取值范圍確定多項(xiàng)式的取值范圍，顯然這是典型的函數(shù)求值域的思想. 在解析幾何中，求解幾何最值是高考的高頻熱點(diǎn)，而處理這類問題的指導(dǎo)思想就是函數(shù)思想：將待求量表示成一個(gè)或幾個(gè)變量的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值的方式來(lái)處理幾何最值.