高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生的思維過程探究

趙娟

[摘 要] 有效教學(xué)是以學(xué)生的有效學(xué)習(xí)為基礎(chǔ)的. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，把握學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的思維特征，尤其是把握學(xué)生的思維細(xì)節(jié)，可以為有效教學(xué)提供堅(jiān)實(shí)支撐. 把握學(xué)生思維的策略在于學(xué)習(xí)過程中的言語表現(xiàn)、學(xué)習(xí)行為及其課后的問題解決三者.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)過程；思維；有效教學(xué)

在有效教學(xué)的要求之下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性基礎(chǔ)在哪里？筆者給出的回答是學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，只要學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是有效的，那學(xué)生所建構(gòu)出來的數(shù)學(xué)意義就是有效的，就能夠有效地促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去解決數(shù)學(xué)問題. 問題的關(guān)鍵在于，學(xué)生的過程是不是真正的有效呢？更多的時(shí)候，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是難以為教師所把握的，教師能夠把握的往往只是自己的教的過程，知道哪些是教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)，知道如何去強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)與突破難點(diǎn)，但自己的教學(xué)策略是否有效，往往無法直接判斷，只能根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)反應(yīng)（如課堂上的回答與課后的作業(yè)情況）去進(jìn)行判斷. 這實(shí)際上考驗(yàn)著數(shù)學(xué)教師另一個(gè)重要的能力，即根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)反應(yīng)準(zhǔn)確地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況的能力. 筆者以為，在這個(gè)過程中，抓住學(xué)生的思維過程是最為有效的. 基于這一考慮，筆者對學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維特征進(jìn)行了研究，在此形成文章，希望給高中數(shù)學(xué)教學(xué)同行一點(diǎn)啟發(fā).

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維示例

學(xué)生的學(xué)習(xí)過程要遠(yuǎn)比教師所認(rèn)為的復(fù)雜得多，這就是很多時(shí)候教師認(rèn)為自己的“講功”足夠而學(xué)生的學(xué)習(xí)效果卻不理想的主要原因. 傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)“以教促學(xué)”，即通過自身的教去促進(jìn)學(xué)生的學(xué)，而現(xiàn)代教育理念強(qiáng)調(diào)的則是“以學(xué)定教”，以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況去選擇最佳的教學(xué)方法，這種主體與客體位置的對調(diào)，決定了當(dāng)下的教學(xué)研究重心應(yīng)當(dāng)落在學(xué)生的身上，具體地說就是落在學(xué)生的思維上.

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的思維是怎樣的呢？筆者試以人教版“任意角的三角函數(shù)”這一內(nèi)容教學(xué)為例進(jìn)行一些闡述. 在教學(xué)引入的環(huán)節(jié)，筆者設(shè)計(jì)的思路是通過復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)原有的銳角三角函數(shù)的知識，去引入任意角的三角函數(shù)知識. 筆者設(shè)計(jì)的教學(xué)是這樣的：給你一個(gè)任意銳角α，你能不能借助于一個(gè)三角板作出它的正弦、余弦以及正切值？根據(jù)筆者的教學(xué)預(yù)設(shè)，這應(yīng)當(dāng)是一個(gè)較為簡單的學(xué)習(xí)任務(wù)，因?yàn)橹灰谶@個(gè)角構(gòu)建出一個(gè)直角三角形即可. 事實(shí)是不是如此呢？當(dāng)筆者留心觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)行為時(shí)，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)相當(dāng)一部分學(xué)生在作出了一個(gè)銳角之后，就無法繼續(xù)了. 考慮到如果告訴學(xué)生方法，那這一學(xué)習(xí)過程就沒有什么意義了，于是筆者沒有急著給出提示，而是讓學(xué)生通過討論的方法去解決問題. 結(jié)果經(jīng)過討論，總算有部分學(xué)生理解了構(gòu)建直角三角形的思路. 筆者思考：學(xué)生為什么會在這個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)困難？在課后的口頭調(diào)查過程中筆者了解到，原來學(xué)生的思維中，銳角的三角函數(shù)就是機(jī)械的特殊值的三角函數(shù)的記憶，而對于三角函數(shù)的由來卻忘記得一干二凈. 而筆者判斷這與學(xué)生此前的學(xué)習(xí)方式有關(guān)，他們更多的在乎學(xué)習(xí)結(jié)果而忽視了數(shù)學(xué)知識構(gòu)建的過程.

事實(shí)上，在后面的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的思維表現(xiàn)進(jìn)一步證實(shí)了筆者的分析. 因?yàn)楫?dāng)筆者引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)的觀點(diǎn)去看待正弦、余弦與正切時(shí)，學(xué)生很難從自變量與函數(shù)兩個(gè)角度去構(gòu)建對它們的理解，這說明學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時(shí)候，缺少必要的函數(shù)思維，而這也成為本知識學(xué)習(xí)過程中的最大思維障礙. 知道了這一點(diǎn)，后續(xù)的教學(xué)就有了明確的方向. 同時(shí)，這一事例也表明，在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，總有一些具體的思維過程容易為教師所忽視，因此教師不能用自己的想象與知識發(fā)生的邏輯關(guān)系，去代替學(xué)生的真正的思維過程，而應(yīng)當(dāng)實(shí)際判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)并推理學(xué)生的思維過程，這樣才能真正做到以學(xué)定教.

把握并準(zhǔn)確判斷學(xué)生思維的策略

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中思維是內(nèi)在的，正是因?yàn)檫@種內(nèi)隱性，使得學(xué)生的思維過程難以為教師直接把握. 但是只要學(xué)習(xí)在發(fā)生，就能夠?qū)ふ业脚袛鄬W(xué)生思維過程的有效辦法. 筆者在自身實(shí)踐的基礎(chǔ)上，提出這樣的一些策略供同行批評指正.

策略一：根據(jù)課堂上學(xué)生的言語信息即時(shí)判斷學(xué)生的思維過程. 學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，總要通過語言與教師或同學(xué)交流，總要通過語言來表達(dá)自己的學(xué)習(xí)思考，因此學(xué)生語言是判斷學(xué)生思維過程的第一要素. 在“任意角的三角函數(shù)”一課的教學(xué)中，當(dāng)筆者提出一個(gè)直角三角形中理論上有幾個(gè)三角函數(shù)的時(shí)候，有學(xué)生直覺性地回答“三個(gè)”，也有學(xué)生遲疑一刻之后在下面輕聲地說“不會吧，老師怎么會問這么簡單的問題”，還有學(xué)生則在思考片刻之后回答“六個(gè)”. 這樣的語言表達(dá)通常情況下都會被教師忽視，但事實(shí)上如果仔細(xì)分析，可以發(fā)現(xiàn)不同回答背后的思維過程是不一樣的：回答“三個(gè)”的學(xué)生是根據(jù)原來的經(jīng)驗(yàn)給出的判斷，屬于原有知識基礎(chǔ)上的隸屬于數(shù)學(xué)本身的直覺思維；回答“不會吧，老師怎么會問這么簡單的問題”實(shí)際上反映的是一種學(xué)習(xí)習(xí)慣或者說學(xué)習(xí)品質(zhì)，他們對“三個(gè)”的答案表示懷疑，但又琢磨不出確信的答案，這屬于一般性思維；回答“六個(gè)”的學(xué)生，往往是在對原來的正弦、余弦和正切函數(shù)的具體分析上，通過進(jìn)一步思考，認(rèn)識到正弦函數(shù)是對邊與斜邊的比值，那反過來必然就可以得到另一個(gè)三角函數(shù)，盡管這個(gè)函數(shù)的名稱是什么并不清楚，但理論上是存在的，這是基于三角函數(shù)定義并經(jīng)由邏輯推理得出的結(jié)果. 那么，在教師的教學(xué)中，根據(jù)不同學(xué)生的思維，即時(shí)設(shè)計(jì)好這一教學(xué)環(huán)節(jié)，就可以取得有效教學(xué)的效果.

策略二：根據(jù)課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)行為即時(shí)推理學(xué)生的思維過程. 這里所說的學(xué)習(xí)行為，主要是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的即時(shí)表現(xiàn). 在任意角的三角函數(shù)教學(xué)中，當(dāng)筆者讓學(xué)生判斷、、、-的大小時(shí)，不少學(xué)生在自己的草稿紙上去逐個(gè)判斷四個(gè)角，顯然，這些學(xué)生還沒有明白三角函數(shù)的周期性特征. 另有一部分學(xué)生就沒有急著畫圖，而是坐在位置上盯著這四個(gè)角去判斷，當(dāng)他們露出會心的笑容時(shí)，筆者就幾乎肯定他們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這四個(gè)角的規(guī)律. 需要注意的是，教師在實(shí)際教學(xué)中千萬不能過于表揚(yáng)后者而輕視前者，這實(shí)際上只是兩類學(xué)生不同的思維方式與思維水平而已，有效的教學(xué)策略應(yīng)當(dāng)是先讓前一類學(xué)生去說說他們的思路與發(fā)現(xiàn)，然后再讓后一類學(xué)生去說說他們的思路，這樣就可以彰顯分層教學(xué)的效果.事實(shí)也證明，經(jīng)過這樣的教學(xué)過程，學(xué)生對sin（α+2kπ）=sinα、cos（α+2kπ）=cosα、tan（α+2kπ）=tanα（其中k∈Z）的規(guī)律記憶效果非常好.

策略三：根據(jù)課后學(xué)生的問題回答與解決情形反推學(xué)生的思維過程. 這實(shí)際上是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要動作，但筆者這里要強(qiáng)調(diào)的是，根據(jù)學(xué)生的解題過程去判斷學(xué)生的思維，要防止情緒化的傾向. 很多時(shí)候當(dāng)我們看到學(xué)生在問題解答過程中的一些匪夷所思的答案時(shí)，常常認(rèn)為學(xué)生“笨”，事實(shí)上很多時(shí)候這些現(xiàn)象暴露出的是學(xué)生起始思維困難，或者思維不夠縝密等不足. 有了平和的心態(tài)，往往可以發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的思維因素. 關(guān)于這一點(diǎn)，不贅述.

提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維的有效性

要提升學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維有效性，最終還是需要教師把握學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，只有按規(guī)律辦事，學(xué)生才能學(xué)得輕松，有效教學(xué)也才有可能真正實(shí)現(xiàn). 而按規(guī)律辦事，就意味著教學(xué)不是按教師的想象辦事.

具體來說，提升學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維的有效性，關(guān)鍵在于學(xué)生的數(shù)學(xué)意識.很多時(shí)候，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不理想，缺少的就是從數(shù)、形及其描述數(shù)形的規(guī)律角度去思考問題. 譬如“任意角的三角函數(shù)”一課中，對于任意角α的三角函數(shù)的定義域的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生生成“凡是函數(shù)都應(yīng)當(dāng)存在定義域”的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生從弧度制的角度去思考函數(shù)實(shí)際上就是角與實(shí)數(shù)的集合的一種對應(yīng)關(guān)系，這樣從弧度與實(shí)數(shù)結(jié)合的角度去描述不同三角函數(shù)的定義域，就可以順利得出正弦、余弦和正切的定義域. 從筆者的視角來看，這里的數(shù)學(xué)思維主要集中在兩個(gè)層次：一是定義本身的數(shù)學(xué)含義，這是傳統(tǒng)教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的重點(diǎn)；二是弧度制與實(shí)數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系，學(xué)生一旦形成這種意識，就可更好地理解弧度制（事實(shí)上這本身就是一個(gè)難點(diǎn)），并在以后的三角函數(shù)學(xué)習(xí)中更好地利用這種理解去構(gòu)建新的三角函數(shù)知識.

同樣需要指出的是，在數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還可以借助于學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)，如讓學(xué)生比較任意角三角函數(shù)學(xué)習(xí)中的不同建構(gòu)方法，學(xué)生可以認(rèn)識到此前是借助于直角三角形來建構(gòu)特殊角的三角函數(shù)的，而現(xiàn)在則是借助于坐標(biāo)系中單位圓及其終邊的坐標(biāo)及其比值來學(xué)習(xí)三角函數(shù)的. 這樣的發(fā)現(xiàn)，對于學(xué)生來說實(shí)際上意味著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思路的轉(zhuǎn)變，而這樣的轉(zhuǎn)變對于催生新的數(shù)學(xué)思考而言，有著積極的意義.

綜上所述，高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度研究有效教學(xué)的可能性，可以更好地把握學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維特征，可以真正實(shí)現(xiàn)以學(xué)定教的教育理念.