數(shù)學(xué)建模，從教育理念到教學(xué)實(shí)踐

賈俊

[摘 要] 數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，數(shù)學(xué)建?？梢陨罨瘜W(xué)生的數(shù)學(xué)理解，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 數(shù)學(xué)建模來源于實(shí)際，并最終指向?qū)嶋H.教學(xué)實(shí)施的關(guān)鍵在于做真、做實(shí).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；教育理念；教學(xué)實(shí)踐

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)重要研究方向. 數(shù)學(xué)建模就是在實(shí)際問題解決的過程中，根據(jù)數(shù)學(xué)原理建立數(shù)學(xué)模型，然后借助于數(shù)學(xué)模型的分析，完成實(shí)際問題的解決. 從思維過程來看，數(shù)學(xué)建?；趯?shí)際問題的抽象、簡化，重點(diǎn)在于模型的建立與數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如果能夠高度重視模型的作用，那學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，還可以獲得較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這與課程標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)也是一致的. 實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師一般都是有數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識的，但由于應(yīng)試或其他原因的限制，數(shù)學(xué)建模在實(shí)際教學(xué)中總難以落到實(shí)處. 筆者幾經(jīng)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)在當(dāng)前的教學(xué)實(shí)際背景下，數(shù)學(xué)建模還是有施展的空間的. 總的來說，數(shù)學(xué)建模的理論到行動(dòng)的轉(zhuǎn)變，需要關(guān)注如下幾個(gè)方面：

數(shù)學(xué)建模需要教師的意識先行

通常情況下，學(xué)生是不可能自然形成數(shù)學(xué)建模能力的，只有經(jīng)過教師的有意識引導(dǎo)，學(xué)生的建模能力才有可能實(shí)際形成. 因此，數(shù)學(xué)建模關(guān)鍵在于教師意識的先行. 這里面臨的實(shí)際問題是，通常情況下呈現(xiàn)給學(xué)生的實(shí)際問題都是經(jīng)過初步處理后的實(shí)際問題，而并不是生活中實(shí)際問題的完全呈現(xiàn)，同時(shí)教材上出現(xiàn)的一般材料也并不適宜作為數(shù)學(xué)建模的直接使用，因此教師有意識地尋找生活中的素材并適當(dāng)加工，是數(shù)學(xué)建模得以實(shí)現(xiàn)的前置性條件. 而這就意味著教師本身要帶著數(shù)學(xué)建模的思路去尋找教學(xué)素材.

比如說在生活中常常有這樣的實(shí)際問題：將一張八仙桌放在地面上時(shí)，通常要試幾次才能放平，能否用數(shù)學(xué)語言描述其中的規(guī)律？

這一實(shí)際問題對于學(xué)生來說并不陌生，而其與數(shù)學(xué)又沒有直接的聯(lián)系，因此可以作為有效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的對象. 實(shí)際分析的時(shí)候，需要關(guān)注的就是八仙桌的四個(gè)腳（抽象成四個(gè)點(diǎn)）與地面（抽象成一個(gè)平面）的距離是不是能夠同時(shí)為零的問題. 在這里，筆者以為有必要先思考：教師在什么情況下才能將類似于此的實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的問題呢？

研究表明，實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的關(guān)鍵在于教師自身是否有用數(shù)學(xué)眼光研究身邊實(shí)際事物的意識，歸根到底還是一個(gè)意識先行的問題. 事實(shí)上，我們說數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科，那這個(gè)時(shí)候就可以看身邊哪些地方涉及數(shù)，哪些地方有形的存在，這些數(shù)與形又可以用高中階段的哪些數(shù)學(xué)知識來描述. 這個(gè)邏輯關(guān)系一旦建立，數(shù)學(xué)建模的意識即告形成，而有了這樣的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)就有可能順利展開.

數(shù)學(xué)建模強(qiáng)調(diào)對學(xué)生因材施教

數(shù)學(xué)建模當(dāng)然是一個(gè)重要的能力，但這也并不意味著在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中都需要不斷地建模. 實(shí)際上，如果能夠因時(shí)、因內(nèi)容、因人制宜，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)慕?，對于學(xué)生來說反而更容易生成建模能力.

因內(nèi)容制宜指的是在不同的教學(xué)內(nèi)容中，選擇不同的建模教學(xué)的思路，因?yàn)橥ǔＧ闆r下，數(shù)學(xué)建模并不是簡單地讓學(xué)生看著教師如何將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的，而是要遵循一定的程序的. 一般認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的程序有三個(gè)：一是實(shí)際問題的抽象，即數(shù)學(xué)問題的形成過程；二是數(shù)學(xué)模型的形成過程；三是利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的過程. 這三個(gè)環(huán)節(jié)中，需要高度關(guān)注的是實(shí)際問題，只有學(xué)生對實(shí)際問題具有類似的理解，那在班級授課制的背景下實(shí)施數(shù)學(xué)建模的教學(xué)才有意義. 同時(shí)，如果教師提供的素材與即時(shí)的教學(xué)內(nèi)容存在一定的聯(lián)系，那數(shù)學(xué)建模的效果會(huì)更為明顯. 比如上面提到的八仙桌的例子，當(dāng)其出現(xiàn)在點(diǎn)與平面關(guān)系的學(xué)習(xí)之后，顯然不僅能夠讓學(xué)生對點(diǎn)與面的關(guān)系更為清晰，同時(shí)還在知識運(yùn)用的過程中獲得了數(shù)學(xué)建模的能力.

因時(shí)制宜強(qiáng)調(diào)的是對學(xué)生建模能力形成時(shí)間的關(guān)注，并不是說學(xué)生有了相應(yīng)的知識就可以實(shí)施數(shù)學(xué)建模的教學(xué)的. 比如說結(jié)合當(dāng)前信息社會(huì)的特點(diǎn)，可以讓學(xué)生去分析不同移動(dòng)公司的話費(fèi)套餐背后的數(shù)學(xué)問題，這是一個(gè)很好的數(shù)學(xué)建模的素材（具體地可以給學(xué)生提供兩個(gè)不同的套餐，讓學(xué)生基于話費(fèi)的不同算法去進(jìn)行比較）. 但這個(gè)素材只有在學(xué)生具有了函數(shù)知識，同時(shí)具有對函數(shù)定義域與值域進(jìn)行細(xì)致分析能力的基礎(chǔ)上才能提供. 又如在解三角形知識的學(xué)習(xí)中，學(xué)生首先會(huì)學(xué)到正弦定理與余弦定理，那在學(xué)生掌握了這部分知識并形成初步解題（此指數(shù)學(xué)習(xí)題而非實(shí)際問題）能力之后，結(jié)合教材上給出的測量河兩岸A、B點(diǎn)距離的例子，教師可以將此例進(jìn)一步向生活還原，比如說將其中的河、點(diǎn)等進(jìn)一步還原成學(xué)生身邊熟悉的具體事物，將題目中的具體數(shù)據(jù)略去，將題目中給出的條件也略去. 這樣實(shí)際問題就可以這樣的形式出現(xiàn)：在河的兩岸居住著兩戶人家（連線不與河垂直），現(xiàn)要測量兩戶人家之間的距離，那可以想出什么辦法？這個(gè)問題的解決，學(xué)生是很難自然想到正弦定理的運(yùn)用的，因此需要進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象.而數(shù)學(xué)抽象的過程，首先就是將以文字呈現(xiàn)的題目變成圖形的過程，在圖像化處理的過程中，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)兩戶人家可以抽象成兩個(gè)點(diǎn)，而當(dāng)學(xué)生意識到距離的求取只能借助于某個(gè)三角形時(shí)，三角形的構(gòu)造又成為本建模過程中的新的重點(diǎn). 而這個(gè)思路一旦打開，學(xué)生自然就意識到這個(gè)過程中需要測出三角形某邊（河的同一邊）的邊長，與兩個(gè)角度. 于是問題就迎刃而解.

因人制宜是筆者的一個(gè)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，因?yàn)楣P者發(fā)現(xiàn)通常教學(xué)中容易形成的一種現(xiàn)象，就是將之前成功的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)移植到后面的學(xué)生身上來，這個(gè)時(shí)候又常常發(fā)現(xiàn)有些地方并不盡如人意，因此總感覺現(xiàn)在的學(xué)生不如以前的學(xué)生.事實(shí)上這是忽視了學(xué)生基礎(chǔ)的緣故. 數(shù)學(xué)建模是一個(gè)綜合性很強(qiáng)的教學(xué)過程，而班級建制中數(shù)十個(gè)學(xué)生往往存在著數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)與邏輯思維能力、推理能力的差異，因此不能要求每個(gè)學(xué)生都能順利地完成數(shù)學(xué)建模. 事實(shí)上，利用數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，提高基礎(chǔ)較好的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高基礎(chǔ)中等及偏上學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，促進(jìn)基礎(chǔ)一般的學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，可能是更為現(xiàn)實(shí)的教學(xué)目標(biāo).

數(shù)學(xué)建模須堅(jiān)持核心能力形成

數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵有二：一是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程，二是讓學(xué)生形成核心建模能力（對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生而言），而這兩個(gè)關(guān)鍵都是指向?qū)W生的能力形成的，因此在數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程中要善于抓住能力這個(gè)核心. 仍然需要強(qiáng)調(diào)的是，這里所強(qiáng)調(diào)的能力形成仍然需要關(guān)注個(gè)體差異性，并不是對每一個(gè)學(xué)生都要提出同樣的能力要求，從動(dòng)態(tài)的角度講，只要學(xué)生在數(shù)學(xué)建模方面有能力與自身能力基礎(chǔ)相適應(yīng)的進(jìn)步，那教學(xué)就是有效的.

筆者這里僅從兩個(gè)方面來闡述數(shù)學(xué)建模中的能力形成：

一是掌握數(shù)學(xué)建模的基本思路與方法. 即在數(shù)學(xué)建模的過程中，要認(rèn)識到建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，可以讓學(xué)生更迅捷地解決實(shí)際遇到的問題，上面所提到的數(shù)學(xué)建模三環(huán)節(jié)，實(shí)際上也是一種建模思路，必須讓學(xué)生明確，而基于具體的數(shù)學(xué)知識積累一定量的數(shù)學(xué)建模實(shí)例，則是建模能力形成的另一關(guān)鍵. 事實(shí)上，學(xué)生對實(shí)際問題往往有著天然的有效記憶，譬如上面提到的八仙桌放在地面上的問題，學(xué)生在很長時(shí)間之后還能完整地重現(xiàn)，這說明具體的實(shí)例及其抽象并最終建立模型，在學(xué)生的思維中是根深蒂固的. 而教師則需要利用學(xué)生的這一思維特點(diǎn)，在數(shù)學(xué)建模的過程中加強(qiáng)學(xué)生對高中階段的重要數(shù)學(xué)知識的累積性記憶.

二是數(shù)學(xué)抽象能力. 數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵，經(jīng)過科學(xué)的數(shù)學(xué)抽象才可以得到科學(xué)的數(shù)學(xué)模型，事實(shí)上無論是從筆者的實(shí)踐來看，還是從同行的經(jīng)驗(yàn)來看，真正的數(shù)學(xué)建模過程常常是一個(gè)螺旋式上升的過程，也就是學(xué)生很有可能在初步的建模過程中由于數(shù)學(xué)抽象過程不太科學(xué)，而導(dǎo)致剛開始的數(shù)學(xué)模型并不合理，這個(gè)時(shí)候需要回過頭去重走數(shù)學(xué)抽象之路. 也正是由于這個(gè)原因，高中階段的數(shù)學(xué)建模實(shí)際上是比較費(fèi)時(shí)的，這也是筆者強(qiáng)調(diào)不宜大規(guī)模使用的原因之一. 但是一旦決定了實(shí)施數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，那就要做得徹底，必要的螺旋式過程是必須經(jīng)歷的，只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力. 在點(diǎn)與面的關(guān)系構(gòu)建中，筆者給出八仙桌實(shí)例，事實(shí)上一開始就有部分學(xué)生將之與“三角形的穩(wěn)定性”聯(lián)系在一起，然后就搞不清楚四只桌腳如何與三角形穩(wěn)定性這一數(shù)學(xué)模型結(jié)合在一起，在后來筆者適當(dāng)提醒之后，學(xué)生才轉(zhuǎn)換了思路，進(jìn)而正確構(gòu)建出了另一個(gè)新的模型.

數(shù)學(xué)建模應(yīng)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)生活統(tǒng)一

數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)是實(shí)際生活，終點(diǎn)在哪里卻值得研究. 現(xiàn)實(shí)評價(jià)的壓力之下，數(shù)學(xué)教學(xué)往往指向?qū)W生的解題（習(xí)題）能力，因此即使是數(shù)學(xué)建模，難免帶有強(qiáng)烈的應(yīng)試色彩. 但從學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升角度來看，眾所周知的是學(xué)生進(jìn)入社會(huì)之后，真正從事純粹數(shù)學(xué)研究的極少，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的能力才是數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)目標(biāo).

因此，筆者以高中數(shù)學(xué)建模的最終指向也應(yīng)當(dāng)是實(shí)際生活，待到學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識與能力能夠支撐起其對現(xiàn)實(shí)生活的研究時(shí)，我們認(rèn)為這樣的建模教學(xué)就是有效的.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模不能缺位，需要做真、做實(shí)，這樣的過程不僅能夠提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，也能促進(jìn)數(shù)學(xué)教師自身的專業(yè)認(rèn)識與成長.