一種新的等角緊框架構(gòu)造方法

楊俊賓，汪立新

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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一種新的等角緊框架構(gòu)造方法

楊俊賓，汪立新

(杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

框架是一組繼承了正交基的良好性質(zhì)并且具有一定冗余度的線性序列，可以有效地表示信號(hào)并獲得信號(hào)的重要特征.而格拉斯曼框架一直是框架理論中最重要的組成部分.針對(duì)于格拉斯曼框架的構(gòu)造難題，提出了一種新的等角緊框架構(gòu)造方法.方法基于區(qū)組設(shè)計(jì)和斯坦納系統(tǒng)的聯(lián)合.可構(gòu)造出較高維度的等角緊框架，拓寬了格拉斯曼框架構(gòu)造的范圍，為格拉斯曼框架的構(gòu)造提供了新的思路.

框架理論；格拉斯曼框架；等角緊框架；斯坦納系統(tǒng)

0　引　言

在CDMA通信系統(tǒng)中，每個(gè)用戶通過不同的碼序列來區(qū)分用戶之間的信息.最優(yōu)格拉斯曼框架(Grassmannian Frame, GF)或者等角緊框架(Equal Tight Frame, ETF)是冗余度相同的所有框架中，元素之間的最大互相關(guān)最小的框架[1].由于等角緊框架具有優(yōu)異的互相關(guān)性能，因此，可以用它來構(gòu)建通信系統(tǒng)中的擴(kuò)頻碼序列.這樣的序列被稱為最優(yōu)格拉斯曼序列[2-4].然而，格拉斯曼框架的構(gòu)造非常困難，現(xiàn)有的幾種構(gòu)造方法都有它的局限性，比如：Conference矩陣只能構(gòu)造出N=2m的等角緊框架[5]；交替投影算法和遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)只能構(gòu)造較低維度的等角緊框架[6-9].本文首先介紹了框架以及格拉斯曼框架的相關(guān)概念.緊接著，提出了基于區(qū)組設(shè)計(jì)(block design)和斯坦納系統(tǒng)(Steiner System)等角緊框架的構(gòu)造新方法.

1　框架及格拉斯曼框架的概念

框架理論是繼小波分析之后發(fā)展起來的一個(gè)新研究方向，在信號(hào)處理、圖像壓縮、數(shù)據(jù)壓縮、抽樣理論、雷達(dá)及通信等方面均具有十分廣闊的應(yīng)用前景.1952年，R.J. DUFFIN和A.G. SCHAEFFER在研究非調(diào)和傅里葉分析時(shí)，進(jìn)一步提煉了D.GABOR的方法，定義了Hilbert空間中框架的概念[10].設(shè){fk}k∈I(I是一個(gè)有限數(shù)集合{1,2,…,N})為Hilbert空間H的一組函數(shù)序列，如果存在常數(shù)A和B對(duì)任意的f∈H，滿足不等式：

(1)

(2)

框架與正交基的不同之處在于框架是一組冗余的序列集，即框架元素的個(gè)數(shù)N大于框架元素的長(zhǎng)度m.框架冗余度定義為ρ=N/m，而格拉斯曼框架是具有相同冗余度的所有框架中，框架元素之間最大互相關(guān)最小的框架.

2　斯坦納等角緊框架

在提出新的等角緊框架構(gòu)造方法之前，首先明確有關(guān)區(qū)組設(shè)計(jì)(blockdesign)和斯坦納系統(tǒng)(SteinerSystem)的基本概念[12].對(duì)于一個(gè)(v,b,r,k,λ)設(shè)計(jì)也稱為區(qū)組設(shè)計(jì)，其實(shí)質(zhì)是一個(gè)數(shù)學(xué)模型.它是從v個(gè)元素中取出k個(gè)元素作為一個(gè)區(qū)組，一共可以組成b個(gè)這樣的區(qū)組集合，并且這些區(qū)組集合中的元素都滿足以下兩個(gè)條件：

1)v中的每一個(gè)元素恰好存在于r個(gè)區(qū)組中；

2)v中的每一對(duì)元素恰好存在于λ個(gè)區(qū)組中.

在一個(gè)(v,b,r,k,λ)區(qū)組設(shè)計(jì)中，v個(gè)不同的元素每個(gè)出現(xiàn)r次，所以一共出現(xiàn)vr次.另一方面，b個(gè)不同的區(qū)組中每一個(gè)都有k個(gè)元素出現(xiàn)，所以一共出現(xiàn)bk次.得到：

vr=bk.

(3)

(4)

由式(3)和式(4)聯(lián)立得出：

(5)

區(qū)組設(shè)計(jì)所對(duì)應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣A是一個(gè)v×b維的矩陣，橫坐標(biāo)v對(duì)應(yīng)元素，縱坐標(biāo)b對(duì)應(yīng)區(qū)組.如果元素出現(xiàn)在相應(yīng)的區(qū)組中，則對(duì)應(yīng)矩陣元素輸入為1，否則為0.為了方便本文研究，將使用b×v維的關(guān)聯(lián)矩陣AT.而(2,k,v)-斯坦納系統(tǒng)表示，V中任意一對(duì)元素只出現(xiàn)在一個(gè)區(qū)組中，即λ=1.因此，(2,k,v)-斯坦納系統(tǒng)為：

(6)

對(duì)應(yīng)的{0,1}-關(guān)聯(lián)矩陣AT的構(gòu)造方法如下：

2)AT的每一行有k個(gè)1；

4)AT的任意兩列的內(nèi)積為1.

證明上述矩陣F是等角緊框架.

為了更好地理解上述構(gòu)造等角緊框架的過程，下來給出一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)例，構(gòu)造一個(gè)基于(2,2,4)-斯坦納系統(tǒng)的等角緊框架.

由(2,2,4)-斯坦納系統(tǒng)可以看出k=2，v=4.因此，事件矩陣AT是一個(gè)6×4維的矩陣，并且每一行有2個(gè)1，每一列有3個(gè)1，任意兩列的內(nèi)積為1.由此得到的關(guān)聯(lián)矩陣

3　結(jié)束語

在擴(kuò)頻通信系統(tǒng)中，用最優(yōu)格拉斯曼框架組建擴(kuò)頻碼序列，不僅可以降低用戶之間的相互干擾，而且在接收端可以有效地恢復(fù)出原始數(shù)據(jù).但是格拉斯曼框架的構(gòu)造是一個(gè)十分困難的問題，尤其是高維數(shù)格拉斯曼框架的構(gòu)造更加困難.本文提出了一種新的格拉斯曼框架構(gòu)造方法，可以有效地構(gòu)造出高維數(shù)格拉斯曼框架，為格拉斯曼框架的構(gòu)造提供了新的思路.在實(shí)際CDMA擴(kuò)頻碼本的組建應(yīng)用中有著十分重要的價(jià)值.

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A New Construction Method of Equiangular Tight Frame

YANG Junbin, WANG Lixin

(SchoolofCommunicationEngineering,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

The frame is a linear redundancy sequence which inherits the good properties of orthogonal basis. The frame can express signals efficiently and get the key characters. And the Grassmannian frame is the most important part in frame theory. The paper aims at the difficulties in constructing Grassmannian frames and proposes a new method in constructing equiangular tight frame(ETF). The new construction method is based on block design and Steiner system. It can construct high dimensionality ETF frames, expand the limits of Grassmannian frames construction, and provide new ideas for the construction methods.

frame theory; Grassmannian frame; equal tight frame; Steiner system

10.13954/j.cnki.hdu.2016.01.008

2015-06-02

楊俊賓(1989-)，男，安徽阜陽人，碩士研究生，信號(hào)與信息處理.通信作者：汪立新研究員，E-mail：hh02188171@126.com.

O151.21

A

1001-9146(2016)01-0037-04