二端RC梯形網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗研究

方靖淮，李紅兵，譚志中

（南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通 226019）

二端RC梯形網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗研究

方靖淮，李紅兵，譚志中

（南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通 226019）

復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)不同于純電阻網(wǎng)絡(luò)，其電路元件的變化對(duì)等效復(fù)阻抗帶來的影響比較大.本文采用建立非線性差分方程模型的方法研究了二端梯形RC復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗公式.根據(jù)可能存在的不同條件，采用復(fù)數(shù)分析方法研究了RC梯形網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗在不同條件下的普適規(guī)律，自然地得到純電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容公式.

RC梯形網(wǎng)絡(luò)；非線性差分方程；等效復(fù)阻抗；普適規(guī)律

自從1845年德國物理學(xué)家基爾霍夫發(fā)現(xiàn)了節(jié)點(diǎn)電流定律和回路電壓定律以來，電阻網(wǎng)絡(luò)模型的建立與研究已經(jīng)有170多年的歷史［1］.由于電阻網(wǎng)絡(luò)模型具有多價(jià)值功能，已經(jīng)被應(yīng)用于許多科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，其研究工作有很重要的理論與應(yīng)用意義［1-24］.文獻(xiàn)［1-9］研究了不同條件下的電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻問題，得到了比較理想的結(jié)果.復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)問題的研究比純電阻網(wǎng)絡(luò)研究復(fù)雜得多，所得結(jié)論也復(fù)雜得多.與電特性有關(guān)的許多材料一般可以等效為電路網(wǎng)絡(luò).傳輸線是用來傳送電能或電信號(hào)的，任何電子設(shè)備都需要使用傳輸線，最典型的傳輸線是兩根平行的銅線或同軸電纜.在電磁場(chǎng)理論、光電系統(tǒng)、電路理論、微波網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、數(shù)學(xué)物理方法等研究中［10-21］，都存在對(duì)傳輸線問題的研究，但這些研究通常都是建立微分方程（電報(bào)方程）的方法.文獻(xiàn)［22-24］的研究推動(dòng)了復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的研究與應(yīng)用.文獻(xiàn)［20］主要研究了LC網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗問題，目前對(duì)于n階RC梯形網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗問題尚缺乏詳細(xì)研究.本文擬采用建構(gòu)差分方程的方法以克服微分方程（略去了二階無窮小量而得到的近似方程）之不足.我們用構(gòu)建非線性差分方程模型的方法對(duì)梯形RC網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗問題進(jìn)行全面而系統(tǒng)的研究，得到了一些具體的普適公式.

1 RC網(wǎng)絡(luò)與數(shù)學(xué)模型

如圖1所示電路是一般形式的二端RC梯形復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)，其中R為電阻，C1和C為電容，Z0為負(fù)載.我們的目標(biāo)是研究左端an、bn兩節(jié)點(diǎn)間的等效復(fù)阻抗公式，同時(shí)分析其在不同條件下的具體特性.

圖1 二端RC梯形網(wǎng)絡(luò)模型

可以認(rèn)為圖1是由n個(gè)網(wǎng)絡(luò)單元構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻(xiàn)［1-20］的研究策略，不難得到關(guān)于圖1的等效模型圖，如圖2所示.如果輸入電壓的圓頻率為ω，則電容C產(chǎn)生的阻抗為ZC=1/（jωC）.其中j為虛數(shù)單位，j2=-1.

圖2 等效RC網(wǎng)絡(luò)模型

記圖1所示的n階網(wǎng)絡(luò)左端an、bn為輸入端，并且輸入端等效復(fù)阻抗值記為Zn，則n-1階網(wǎng)絡(luò)輸入端等效阻抗可記為Zn-1.在圖2中根據(jù)串聯(lián)和并聯(lián)復(fù)阻抗的計(jì)算方法得到

其中//表示并聯(lián)計(jì)算，由此化簡得到

式（1）是關(guān)于等效復(fù)阻抗值的非線性差分方程模型.根據(jù)文獻(xiàn)［1］中建立的非線性差分方程研究方法可以求出方程式（1）在各種情形下的通解.下文的工作主要就是研究非線性差分方程（1）的通解.

2 非線性差分方程的通解

本文擬采用文獻(xiàn)［1］中建立的變量代換的方法研究非線性差分方程式（1）的通解.設(shè)存在待定數(shù)列，且xn滿足如下關(guān)系：

其中約定x0=1，則x1的值由式（2）確定為x1=Z0，這也是網(wǎng)絡(luò)右端的負(fù)載.

將式（1）中的常數(shù)項(xiàng)移至方程的左端得到

將式（2）及其遞推式代入式（3）得

將上式化簡并將右端分子與分母分別同時(shí)乘以一個(gè)待定系數(shù)a得（這一技巧很重要，這一方法也是文獻(xiàn)［1］建立的創(chuàng)新）

分別令式（5）左端與右端分子相等、分母相等（恒等式），得到

為了使以上2式具有相同的結(jié)構(gòu)，設(shè)式（6）與式（7）的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得到

比較以上二式不難發(fā)現(xiàn)：方程式（6）和式（7）中的數(shù)列｛xn｝滿足下列統(tǒng)一的遞推關(guān)系：

即式（9）包含了式（6）和式（7）兩個(gè)方程（這一方法的正確性可以參見文獻(xiàn)［1］中給予的證明）.不難發(fā)現(xiàn)：式（9）是一類二階線性差分方程，由式（9）得其特征方程

設(shè)方程式（10）的兩個(gè)根分別為α和β，解該方程得

根據(jù)文獻(xiàn)［1］解差分方程的方法解差分方程式（9）得

將式（13）及其遞推式代入式（2）并注意應(yīng)用x0=1，x1=Z0得

其中n=0，1，2，….特別地式（14）還可以重新寫成

或者

式（14）—式（16）即為非線性差分方程式（2）的通解.我們可以進(jìn)行簡單驗(yàn)證其正確性.如設(shè)n=0代入式（14）得到：左邊=右邊=Z0，顯然成立.當(dāng)然，由于以上推導(dǎo)是嚴(yán)格的和自洽的，其理論計(jì)算結(jié)果必然是正確的.不難發(fā)現(xiàn)式（14）不僅形式優(yōu)美對(duì)稱，而且結(jié)論簡潔，是一次理論創(chuàng)新.式（14）是Z0為任意負(fù)載情形時(shí)的普適公式.由于復(fù)阻抗不同于純電阻而具有復(fù)雜性，下面將繼續(xù)研究RC網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載為特殊情形時(shí)的基本特性.

3 幾個(gè)特殊情形

情形1.當(dāng)Z0=α?xí)r，由式（15）得到Zn=α.

情形2.當(dāng)Z0=β時(shí)，由式（16）得到Zn=β.

情形3.當(dāng)Z0=α+β時(shí)，由式（14）得到

情形4.當(dāng)Z0=0（短路）時(shí)，由式（14）得到

情形5.當(dāng)Z0=∞（開路）時(shí)，由式（14）得到

請(qǐng)注意，式（17）—式（19）結(jié)構(gòu)相似，但是存在差別.

4 RC網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗特性

4.1 復(fù)變函數(shù)分析

首先分析α、β的特性，由式（11）化簡得到

其中由

解得

由式（20）化簡得到

其中

以及

同理得到

其中

進(jìn)一步化簡得到

以及

將式（23）、（26）代入式（16）于是得到

其中

4.2 當(dāng)R→∞時(shí)的電容網(wǎng)絡(luò)

當(dāng)R→∞時(shí)表明圖1為純電容網(wǎng)絡(luò)，由式（11）、（12）得到

則有

將式（33）代入式（14）得到

其中

如果右端負(fù)載Z0也是由電容構(gòu)成的，如Z0= 1/jωC2，則式（34）為純虛數(shù).可得到電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容公式

4.3 當(dāng)C1=0時(shí)的情形

當(dāng)C1=0時(shí)，表明電容線路處于斷路狀態(tài)，則圖1所示的電路退化成為圖3所示的電路.這時(shí)方程式（10）的兩個(gè)根α和β退化為

圖3 二端RC梯形網(wǎng)絡(luò)模型

由式（29）可得到

其中h由式（30）給出，并且

以及

4.4 當(dāng)n→∞時(shí)的情形

當(dāng)n→∞時(shí)，由式（22）得知0＜θ＜π/4，所以

所以

因此，將式（45）代入式（38）得到

式（46）是一個(gè)很有趣的結(jié)果，是一個(gè)有限常數(shù)，其等效復(fù)阻抗僅僅由特征方程的根表達(dá).

5 小結(jié)與討論

通過構(gòu)建非線性差分方程模型研究了二端梯形RC網(wǎng)絡(luò)等效復(fù)阻抗的一般規(guī)律及其不同情形時(shí)的解析解.首先建立等效的RC網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建非線性差分方程模型式（1），研究非線性差分方程式（1）的通解是解決問題的關(guān)鍵.我們采用變量代換的方法式（2）以及恒等變換方法式（5）獲得了非線性差分方程式（1）的通解式（14）、（15）和式（16）.由于復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性，我們接著詳細(xì)研究了通解式（14）在不同情形下的特殊結(jié)論.特別是采用復(fù)數(shù)分析方法給出了更為實(shí)用的結(jié)論式（29），并且給出了純電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容公式（36）.

本文的研究工作是一次理論和方法上的創(chuàng)新，因?yàn)榉匠淌剑?）與式（9）的構(gòu)建是我們的創(chuàng)新研究，這種創(chuàng)造性的工作大大簡化了我們的計(jì)算過程，所得到的全部結(jié)論也都是本文第一次給出，為科學(xué)工作者和工程技術(shù)人員提供了應(yīng)用研究及計(jì)算機(jī)仿真研究的理論根據(jù).另外本文的研究也為大學(xué)物理開展科學(xué)探究教學(xué)提供了很好的教學(xué)案例，對(duì)培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力具有積極意義.構(gòu)建非線性差分方程模型的方法是一種比較簡潔的研究方法，如何研究高階的m×n階復(fù)阻抗網(wǎng)絡(luò)的等效復(fù)阻抗問題有待進(jìn)一步研究.

［1］譚志中.電阻網(wǎng)絡(luò)模型［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2011.

［2］陸建隆，譚志中.關(guān)于梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的普適研究［J］.大學(xué)物理，2001，20（10）：26-28.

［3］張小溪.規(guī)則連接的電阻、電容網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型［J］.大學(xué)物理，1999，18（2）：28-31.

［4］譚志中，趙素英.N階電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的普適研究［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，28（2）：149-154.

［5］譚志中，陳翠萍.8×n階矩形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻和電容及2個(gè)猜想［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，37（6）：579-586

［6］Tan Z Z，Essam J W，Wu F Y.Two-point resistance of a resistor network embedded on a globe［J］.Phys Rev E，2014，90：012130.

［7］Tan Z Z，F(xiàn)ang J H.Two-point resistance of a cobweb network with a 2r boundary［J］.Commun Theor Phys，2015，63：36-44.

［8］Tan Z Z.Recursion-transform approach to compute the resistance of a resistor network with an arbitrary boundary［J］.Chin Phys B，2015，24：020503.

［9］Tan Z Z.Recursion-transform method to a non-regular m×n cobweb with an arbitrary longitude［J］.Scientific Reports，2015，5：11266.

［10］潘詠梅，徐善駕.非理想導(dǎo)波結(jié)構(gòu)損耗特性的等效傳輸線法分析［J］.微波學(xué)報(bào)，2004，20（2）：40-44.

［11］章日榮.波導(dǎo)阻抗原理及應(yīng)用［J］.無線電通訊技術(shù)，2001，27（2）：46-49.

［12］李瀚蓀.電路分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，1983：883-896.

［13］劉鵬程，邱揚(yáng)，等.電磁兼容原理及技術(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1993.

［14］黃志洵，王曉金，等.微波傳輸線理論與實(shí)用技術(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社，1996.

［15］梁昆淼，劉法，繆國慶.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：高等教育出版社，1998：199-201.

［16］陳崇源.高等電路［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2000：306-308.

［17］王勇，龍建忠，等.電路理論基礎(chǔ)［M］.科學(xué)出版社，2005：376-378.

［18］肖哲，黃銘，等.三維RC網(wǎng)絡(luò)仿真異質(zhì)材料的通用介質(zhì)響應(yīng)［J］.物理學(xué)報(bào)，2008，57（2）：957-961.

［19］孫俊，肖哲，等.基于RC網(wǎng)絡(luò)的非均勻介質(zhì)模型研究［J］.電子測(cè)量技術(shù)，2007，30（4）：136-138.

［20］譚志中，陸建隆.二端梯形網(wǎng)絡(luò)等效復(fù)阻抗的普適研究［J］.大學(xué)物理，2009，28（7）：29-33.

［21］魯百佐.傳輸導(dǎo)線等效電阻與頻率的關(guān)系研究［J］.西安石油學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，18（4）：80-82.

［22］Alioto M，Palumbo G，Poli M.An Approach to Energy Consumption Modeling in RC Ladder Circuits［M］.Heidelberg：Springer Berlin，2002：413-428.

［23］Sanjit K.Mitra.A new approach to active RC network synthesis［J］.Journal of the Franklin Institute，1962，274（3）：185-197.

［24］Tzeng W J，Wu F Y.Theory of impedance networks：the two-point impedance and LC resonances［J］.J Phys A：Math Gen，2006，39：8579.

Study on equivalent complex impedance between two terminal nodes in the RC ladder network

FANG Jing-huai，LI Hong-bing，TAN Zhi-zhong
（School of Science，Nantong University，Nantong，Jiangsu 226019，China）

The complex impedance network is different from the pure resistance network，and the change of the circuit element has a great influence on the equivalent complex impedance.In this paper，the equivalent complex impedance formula of the two terminal RC complex impedance network is studied by using the method of establishing the model of nonlinear difference equation.According to the different conditions of the potential，the universal formula of the equivalent complex impedance of RC ladder network under different conditions is studied by using the complex analysis method，and the equivalent capacitance formula of pure capacitance network is obtained naturally.

RCladdernetwork；nonlineardifferenceequation；equivalentcompleximpedance；universal formula

O 441.1，TN 711.3

A

1000-0712（2016）05-0014-05

2015-09-14；

2015-11-12

江蘇省產(chǎn)學(xué)研聯(lián)合創(chuàng)新資金—前瞻性聯(lián)合研究項(xiàng)目（BY2014081-06）、江蘇省高校自然科學(xué)研究面上項(xiàng)目（14KJB140012）資助課題、南通大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目（2014B9）資助

方靖淮（1962—），男，江蘇淮安人，南通大學(xué)理學(xué)院教授，博士，主要從事理論物理教學(xué)與研究工作.