關(guān)于《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》的解析解

陳 貝，羅 強(qiáng)，韓玖榮

（1.揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225002；2.中國人民大學(xué)物理系，北京 100872）

關(guān)于《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》的解析解

陳 貝1，羅 強(qiáng)2，韓玖榮1

（1.揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州 225002；2.中國人民大學(xué)物理系，北京 100872）

在《大學(xué)物理》2015年第2期刊登的題為《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》一文的基礎(chǔ)上，給出了針對原文中式（4）、式（11）和式（15）對應(yīng)的解析形式，指出了原文中一個(gè)雙伽馬函數(shù)恒等式（8）的失誤，同時(shí)也提出了二聚化情形下馬德隆常數(shù)新的定義方式.

馬德隆常數(shù)；雙原子鏈；解析解

由于馬德隆常數(shù)能反映晶體的靜電勢特征，對研究晶體結(jié)構(gòu)提供很大的便利，所以從它被提出伊始便一直成為人們關(guān)注的焦點(diǎn).馬德隆常數(shù)的級數(shù)表示往往是條件收斂的，因此如何精確得到它的精確解并非是一件平淡無奇的事情.在過去的一個(gè)世紀(jì)里研究者們致力于不同空間維度（如一維、二維等）不同晶體結(jié)構(gòu)（如NaCl、CsCl等）下馬德隆常數(shù)計(jì)算方法的研究［1］.

物理學(xué)中很多重要的物理量在一維（甚至只有一維）情況下是存在嚴(yán)格解的.量子力學(xué)中一維無限深方勢阱、諧振子問題的能級和波函數(shù)在薛定諤（Schroedinger）方程下是精確可解的［2］，統(tǒng)計(jì)物理中一維外場下經(jīng)典伊辛（Ising）模型的配分函數(shù)可以由轉(zhuǎn)移矩陣的方法給出［3］，強(qiáng)關(guān)聯(lián)物理中一維海森伯（Heisenberg）模型的基態(tài)能等可以通過Bethe方案解析地計(jì)算得到［4］.馬德隆常數(shù)亦是如此.在《大學(xué)物理》最近刊登的一篇題為《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》的文章里［5］，其作者在計(jì)算一維馬德?。∕adelung）常數(shù)上頗有新意，該文將一維鏈?zhǔn)孜蚕噙B組成一個(gè)圓環(huán)，據(jù)此給出了一維圓環(huán)上正負(fù)交替分布的離子晶體的馬德隆常數(shù)的表達(dá)式，以及二聚化后的馬德隆常數(shù)表達(dá)式.對于前者該文通過外推得知當(dāng)原胞個(gè)數(shù)N趨于無窮時(shí)圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)趨于2ln2，并由此衍生出兩個(gè)與雙伽馬函數(shù)ψ有關(guān)的恒等式；對于后者該文計(jì)算了某些特定取值下直線鏈和圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)，數(shù)值結(jié)果表明兩者在5位有效數(shù)字精度內(nèi)相等.

作為一種非常重要的補(bǔ)充，解析解往往能使得物理問題更加具有數(shù)學(xué)上的結(jié)構(gòu)美.因此在《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》一文的基礎(chǔ)上，本文給出了原文中式（4）、式（11）和式（15），分別對應(yīng)于本文式（1）、式（4）和式（9）的解析形式.

文獻(xiàn)［5］利用正弦函數(shù)的級數(shù)形式并沒有使式（1）得到簡化，而采用積分等式［6，7］

并運(yùn)用幾何級數(shù)的求和法則和控制收斂定理，可知

由此可知圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)和直線鏈上的馬德隆常數(shù)在鏈長無限大時(shí)確實(shí)一致.

在正負(fù)離子二聚化情形下，離子晶體的馬德隆常數(shù)通過表征二聚化程度的參數(shù)λ來調(diào)節(jié).原文作者證明［1］，在直線鏈情況下，馬德隆常數(shù)可以表示成

利用雙伽馬函數(shù)ψ的級數(shù)表達(dá)式［6］

式中γ=0.577…表示歐拉（Euler）常數(shù)，可知

又由雙伽馬函數(shù)ψ的遞推公式［6］

可得直線鏈下的馬德隆常數(shù)

而在圓環(huán)下，馬德隆常數(shù)可以表示成［5］

利用式（2），并運(yùn)用同計(jì)算式（1）完全相同的方法可知

利用雙伽馬函數(shù)ψ的積分表示［6］

立即得到馬德隆常數(shù)

顯然，式（8）和式（12）告訴我們，在一維二聚化情形下，直線鏈上和圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)確實(shí)一致，其函數(shù)圖像如圖1虛線所示.特別地，當(dāng)λ=1/2時(shí)，α1/2=2ln2，這回歸到一維NaCl型馬德隆常數(shù)的情形.

圖1 二聚化情形下馬德隆常數(shù)與參數(shù)λ的關(guān)系曲線

在計(jì)算圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)時(shí)，原文作者通過數(shù)值結(jié)果猜測出兩個(gè)雙伽馬函數(shù)ψ恒等式，但原文式（8）

存在一些筆誤，應(yīng)該糾正為

在正負(fù)離子二聚化情形下會存在正負(fù)離子間距不相等這一情況，原文作者給出的晶格能是以“短鍵長”（2λa和2μa分別表示鏈上和圓環(huán)上短鍵的長度）為長度尺寸的，其余無量綱常數(shù)則作為馬德隆常數(shù)的定義.實(shí)際上，馬德隆常數(shù)代表的是離子晶體晶格能中各離子間庫侖能的總和，其大小要與晶體的幾何構(gòu)型，如維度、配位數(shù)等一致，因此其定義式要盡可能地囊括所有的結(jié)構(gòu)參數(shù)以利于晶體能的計(jì)算［8，9］.不難驗(yàn)證，在二聚化情形下晶格能具有對稱性Uλ=U1-λ（0＜λ＜1），而原作者給出的馬德隆常數(shù)αλ顯然不具備這種對稱性.此外，作者給出的晶格能中包含了“鍵長”（原文定義式的分母2λa和2μa分別表示鏈上和圓環(huán)上短鍵的長度）的概念，而在圓環(huán)上短鍵和長鍵之和并不等于原胞間距，此時(shí)“鍵長”并非是一個(gè)直觀的物理量.因此，為了體現(xiàn)晶格能具有的對稱性同時(shí)也為了計(jì)算的方便，我們建議把庫侖勢分母上的二聚化參數(shù)λ吸收到馬德隆常數(shù)的定義中.我們給出的修正方案是

式中二聚化參數(shù)λ定義為原胞內(nèi)正負(fù)離子間距與原胞間距的比值（鏈情形），或者原胞內(nèi)正負(fù)離子間夾角與原胞間夾角的比值（圓環(huán)情形）.修正后的馬德隆常數(shù)如圖1實(shí)線所示.此時(shí)，鏈上和圓環(huán)上的晶格能可以統(tǒng)一地寫成，形式上更加簡潔明了，功效上一旦給定馬德隆常數(shù)則不需要額外的數(shù)學(xué)處理就可以立即知道晶格能的大小.

綜上所述，本文完善了徐寶等人給出圓環(huán)上馬德隆常數(shù)式（4）以及二聚化情形下馬德隆常數(shù)式式（11）和式（15）的解析形式，同時(shí)也提出了二聚化情形下馬德隆常數(shù)新的定義以便修正后的馬德隆常數(shù)更能全面反映晶體靜電勢的對稱性特征.

后記：在本文審稿期間，我們發(fā)現(xiàn)邱為鋼老師也做了類似工作［10］.

［1］Borwein D，Borwein J M，Taylor K F.Convergence of lattice sums and Madelung’s constant［J］.Journal of Mathematical Physics，1985，26（11）：2999-3009.

［2］周世勛.量子力學(xué)教程［M］.2版.高等教育出版社，2009：26-34.

［3］楊展如.量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)［M］.高等教育出版社，2007：147-150.

［4］Sutherland B.Beautiful models：70 years of exactly solved quantum many-body problems［M］.World Scientific Publishing Co Ptc Ltd，2004：143-161.

［5］徐寶，吳洪業(yè)，趙建軍，等.一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)［J］.大學(xué)物理，2015，34（2）：41-42.

［6］王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2012：69-83.

［7］梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.劉法、廖國慶，修訂.4版.北京：高等教育出版社，2010：64.

［8］黃昆.固體物理學(xué)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2009：37-41.

［9］Pereira P C N，Apolinario S W S.Madelung energy of Yukawa lattices［J］.Physical Review E，2012，86（4）：046702.

［10］邱為鋼.無窮求和與漸進(jìn)展開［J］.大學(xué)物理，2015，34（10）：23-24.

Analytical solutions of Madelung constant of double atomic chain on circles

CHEN Bei1，LUO Qiang2，HAN Jiu-rong1
（1.School of Physical Science and Technology，Yangzhou University，Yangzhou，Jiangsu 225002，China；2.Department of Physics，Renmin University of China，Beijing 100872，China）

We give the analytical solutions of all the remaining expressions（the original equations（4），（11）and（15））and correct the identity of the digamma function（the original equation（8）），and propose a new definition of the Madelung constant in the situation of dimerization in a recent paper titled《Madelung constant of double atomic chain on circles in college physics》.

Madelung constant；double atomic chain；Analytical solution

O 481

A

1000-0712（2016）05-0050-03

2015-08-25；

2015-12-21

陳貝（1993—），女，江蘇南京人，揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2012級本科生.