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    用好例題拓展提高學(xué)習(xí)實(shí)效

    2016-10-24 09:02:16尹平
    初中生世界 2016年35期
    關(guān)鍵詞:多長時(shí)間動點(diǎn)勾股定理

    尹平

    用好例題拓展提高學(xué)習(xí)實(shí)效

    尹平

    教科書中的例題是圍繞本節(jié)(或本章)的概念、定理而設(shè)置的典型題目,在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中,往往有些同學(xué)不重視、不關(guān)注.本文借助于課本中一道題,加以變式拓展,希望能帶給同學(xué)們一些新的認(rèn)識.

    原題呈現(xiàn):蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級上冊第34頁:

    圖1

    如圖1,在矩形ABCD中,AB= 16cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動,直到到達(dá)點(diǎn)B為止;同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動,經(jīng)過多長時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm?

    【分析】設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒,因?yàn)镻Q長為10cm,所以構(gòu)造出以PQ為斜邊的直角三角形,作PH⊥CD,垂足為H,用t表示出線段HQ的長,用勾股定理列方程即可求解.

    解:設(shè)P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí),點(diǎn)P,Q間的距離是10cm,

    圖2

    如圖2,作PH⊥CD,垂足為H,

    則PH=BC=6,PQ=10,

    HQ=CD-AP-CQ=16-5t.

    因?yàn)镻H2+HQ2=PQ2,

    可得:(16-5t)2+62=102,

    解得t1=4.8,t2=1.6.

    答:P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過1.6或4.8秒時(shí),點(diǎn)P,Q間的距離是10cm.

    變式一條件不變,在運(yùn)動過程中,點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離可能是18cm嗎?如果可能,求出運(yùn)動時(shí)間t,如果不可能,請說明理由.

    解:與上述過程相同,

    (16-5t)2+62=182,

    所以在運(yùn)動過程中,點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離不可能是18cm.

    變式二(2016·威海一模)如圖3,在矩形ABCD中,AB=16cm,BC=6cm,動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動,直到到達(dá)點(diǎn)B為止,點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)B移動,經(jīng)過多長時(shí)間P、Q兩點(diǎn)之間的距離是10cm?

    圖3

    圖4

    圖5

    【分析】設(shè)P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí),點(diǎn)P,Q間的距離是10cm,表示出PB、BQ,利用勾股定理建立方程求得答案即可.

    解:設(shè)P,Q兩點(diǎn)從出發(fā)經(jīng)過t秒時(shí),點(diǎn)P,Q間的距離是10cm,

    則PB=16-3t,BQ=6-2t,

    因?yàn)镻B2+BQ2=PQ2,

    所以(16-3t)2+(6-2t)2=102,

    變式三條件不變,如圖4,∠DQP能否為直角?若能,請求出相應(yīng)的時(shí)間t的值.

    【分析】題目明確問∠DQP能否為直角,所以需要構(gòu)建△DQP,再根據(jù)勾股定理求解.

    解:能.

    由∠DQP=90°,則有DQ2=DP2-PQ2,

    所以(16-2t)2=62+(3t)2-62,

    時(shí),∠DQP為直角.

    變式四條件不變,經(jīng)過多長時(shí)間,點(diǎn)P、Q、D組成的三角形是等腰三角形?

    【分析】設(shè)時(shí)間為ts,過P作PM⊥CD于M,過Q作QN⊥AB于N,根據(jù)四邊形ABCD是矩形可知DC=AB=16cm,AD=BC=PM=QN=6cm,∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°,故DM=AP=3tcm,BN= CQ=2tcm,再分DP=PQ,DQ=PQ及DP=DQ三種情況進(jìn)行討論即可.

    解:設(shè)時(shí)間為ts,過P作PM⊥CD于M,過Q作QN⊥AB于N(如圖5),

    因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以DC=AB= 16cm,AD=BC=PM=QN=6cm,

    ∠A=∠C=∠B=∠ADC=90°,

    則DM=AP=3tcm,BN=CQ=2tcm.

    分為三種情況:

    ①當(dāng)DP=PQ時(shí),則DM=MQ=3tcm,

    ∵3t+3t+2t=16,解得:t=2;

    ②當(dāng)DQ=PQ時(shí),在Rt△PNQ中,由勾股定理得:(16-2t)2=62+(16-3t-2t)2,

    7t2-32t+12=0,

    解得:

    ③當(dāng)DP=DQ時(shí),在Rt△DAP中,由勾股定理得:(16-2t)2=62+(3t)2,

    即5t2+64t-220=0,

    圖6

    變式五如圖6,在矩形ABCD中,AB= 12cm,BC=4cm,點(diǎn)P以4cm/s的速度從頂點(diǎn)A出發(fā)沿折線A—B—C向點(diǎn)C運(yùn)動,同時(shí)點(diǎn)Q以2cm/s的速度從頂點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動,當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)末端停止運(yùn)動時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.問兩動點(diǎn)經(jīng)過多長時(shí)間,使得點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離為

    【分析】注意題目中對兩動點(diǎn)運(yùn)動的表述,從而知道每個(gè)動點(diǎn)的運(yùn)動路徑.不難看出P分別在AB、BC上運(yùn)動,所以需要分類討論.

    ①當(dāng)0<t≤3時(shí),則有(12-4t-2t)2+42=20,

    ②當(dāng)3<t≤4時(shí),則有(16-4t)2+(2t)2=20,

    得方程5t2-32t+59=0,

    此時(shí)Δ<0,此方程無解.

    通過以上題目的變式,同學(xué)們一定會發(fā)現(xiàn)解決此類問題,關(guān)鍵是要會表示出相關(guān)線段長,利用勾股定理,再結(jié)合方程進(jìn)行求解.同學(xué)們也可以作適當(dāng)?shù)淖兪?,試試看,你會發(fā)現(xiàn)新天地.

    (作者單位:江蘇省海門市正余初級中學(xué))

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