應用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學問題

孫輝

【摘要】隨著我國新課程改革的不斷貫徹和深入，在現(xiàn)階段的高中課本中，逐漸引入了近代和現(xiàn)代數(shù)學思想，同時加入了導數(shù)的基礎知識。因此，在高中數(shù)學中出現(xiàn)了很多相關數(shù)學模型，對高中學生的數(shù)學學習帶來一定困難。通過對應用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學問題進行研究分析，希望能夠為相關教育工作者提供一定的理論借鑒。

【關鍵詞】拉格朗日中值定理 逆向 數(shù)學問題

前言：拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，同時也是高中學生必須掌握的定理，對高中生解答數(shù)學題具有至關重要的作用。在如今的高考試題中，常會出現(xiàn)考察高中生運用數(shù)學思想方法解題的問題，對學生數(shù)學能力要求較高。因此，高中數(shù)學教師需要在課堂教學活動中，加強對拉格朗日中值定理知識的滲透，保證所有學生能夠扎實掌握此數(shù)學思想。

一、拉格朗日中值定理概述

如果函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導；那么在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點ε（a<ε

二、應用拉格朗日中值定理逆向巧解數(shù)學問題具體措施

在面對數(shù)學問題時，利用拉格朗日中值定理需要對問題詳細解讀，充分理順定量之間的限定條件，學生全面掌握拉格朗日中值定理概念的基礎上，對題目與定理之間的關系進行逆向思考，進而構(gòu)建與問題有關聯(lián)的函數(shù)，最終實現(xiàn)問題的解答。

2.1極限問題的求解

在高中數(shù)學學習階段，有很多方法都能夠解答極限問題，比如說洛必達法則、夾逼定理、或者泰勒公式。上述方法在面對極限問題時，不僅僅便于高中生進行操作，同時解題思路較為清晰明了，能夠有效降低解題難度，有利于提升解題效果。但是，很多極限問題具有一定的困難性和復雜性，利用上述方法無法很好的解決。因此，可以選擇拉格朗日中值定理進行求解。利用拉格朗日中值定理，可以將求積式型的極限替代差式的極限，改變題目，使解答過程更加簡單。此外，面對求解極限問題時，必須充分找出極限問題與拉格朗日中值定理之間的關聯(lián)，準確找出連接點，進而使方程式簡化，以此實現(xiàn)問題的解決[2]。不僅于此，在具體計算階段，還需要確認極限式滿足拉格朗日中值定理的限定要求，避免出現(xiàn)解題錯誤的情況。

2.2不等式問題的求解

在高中數(shù)學不等式證明中，通常情況下進行函數(shù)的構(gòu)建，以此明確導數(shù)與函數(shù)之間的關系，以此解答問題；使函數(shù)在某個限定條件下符合條件，進而實現(xiàn)不等式的證明。類似此種數(shù)學問題，很難利用初等函數(shù)進行求解，如果利用拉格朗日中值定理，能夠快速準確的求出答案。利用拉格朗日中值定理證明不等式、或者求解不等式時，僅僅需要根據(jù)條件構(gòu)建滿足拉格朗日中值定理要求的函數(shù)即可，之后根據(jù)相應內(nèi)容進行證明。

2.3證明問題的求解

在現(xiàn)階段的高等數(shù)學階段，普遍利用拉格朗日中值定理進行問題的證明。在問題的證明過程中，需要高中生能夠?qū)窭嗜罩兄刀ɡ淼脑敿殐?nèi)容做充分掌握，同時能夠利用逆向思維，使思考從題目轉(zhuǎn)回到定理中，根據(jù)具體問題，以此找出與拉格朗日中值定理相關的內(nèi)容，進而將問題與定理合理聯(lián)系起來。在解答數(shù)學問題時，通過利用逆向思維，找出證明途徑，能夠使問題難度降低，更加利于學生解答。

例如：假設g（a）在[0，1]中可導，并且0

存在性的證明：可以假設函數(shù)f（a）=g（a）+a-1，那么f（a）在（0，1）范圍內(nèi)可導。同時由于00。依據(jù)根的存在定理可知，f（a）=0在（0，1）中至少存在一個實根。

唯一性證明：可以假設f（a）=0，在（0，1）中，至少存在2個根a1a2，并且a1

2.4函數(shù)問題的求解

拉格朗日中值定理能夠有效經(jīng)導數(shù)與函數(shù)進行相連，中值定理通過聯(lián)系起導數(shù)與函數(shù)之間的關系，可以進一步深入研究函數(shù)性質(zhì)，對函數(shù)區(qū)間的連續(xù)性、單調(diào)性、凹凸性、以及符號全面解析，有利于學生在整體方面、局部方面掌握函數(shù)關系，拉格朗日中值定理是求解函數(shù)的主要方法。在面對函數(shù)問題時，同樣需要做好逆向分析。根據(jù)拉格朗日中值定理、以及所求證內(nèi)容，以此分析函數(shù)求證之間的關系，并且確認兩者的一致性。有利于幫助學生準備而又快速的求證，簡化函數(shù)問題，提升解題效率。特別注意的是，必須構(gòu)建出最有效、最直接的輔助函數(shù)。

總結(jié)：通過上述論述能夠看出，拉格朗日中值定理對高中生的數(shù)學學習影響深遠。在高中學習階段，學生不僅需要掌握基礎性的數(shù)學知識，以及解題技巧，同時能夠明確各知識之間的內(nèi)在關聯(lián)，充分掌握拉格朗日中值定理，結(jié)合逆向思維，利用其正確解答和證明數(shù)學問題，進而提高自身的數(shù)學解題技巧，提高數(shù)學成績。

【參考文獻】：

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[3]王一棋.高觀點下的中學數(shù)學——拉格朗日中值定理在中學數(shù)學中的應用[J].數(shù)學教學通訊：中等教育，2013（33）：63-64.