例談直線斜率在解題中的應(yīng)用

張德根

摘要：直線的斜率涉及到三角函數(shù)的值域、數(shù)列問題、線性規(guī)劃問題、三點(diǎn)共線問題、不等式問題、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等方面。學(xué)生熟練掌握了利用直線斜率來處理數(shù)學(xué)問題，對(duì)開拓思維、提高解題能力具有積極意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；直線斜率；應(yīng)用

一、應(yīng)用直線斜率求三角函數(shù)的值域

求函數(shù)的值域要與斜率結(jié)合起來，必須從函數(shù)的表達(dá)式結(jié)構(gòu)上進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化，使之與斜率的定義及相關(guān)公式發(fā)生聯(lián)系。如例l，求函數(shù)y=（sin e+1）/（cor 0+2）的值域；教師可指導(dǎo)解題：因?yàn)楹瘮?shù)可變形為y=（sin 0-（-1））/（cor 0-（-2）），所以y可看作點(diǎn)A（-2，-1）與點(diǎn)B（C0S 0，sin 0）連線的斜率。點(diǎn)B是曲線（x=sin 0且y=cor 0）上的點(diǎn)，即x2+y2=l。該過點(diǎn)A的直線L：y+l=k（x+2），由相切條件△=0或圓心0（0.0）到直線L的距離等于1。即d=1，解得k=4/3或k=0。函數(shù)y（sin 0+1）/（cor 0+2）的值域?yàn)閇0，4/3]。

二、應(yīng)用直線的斜率解決與數(shù)列有關(guān)的問題

當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的公差不為O時(shí)，通項(xiàng)an=dn+（a1-d）和Sn/n=d/2.n+（a-d/2）都是關(guān)于n的一次式。點(diǎn)列（n，an）和點(diǎn)列（n，Sn/n）都分別是直線上的點(diǎn)。這樣就可利用直線的斜率解決與數(shù)列有關(guān)的問題。如例2，在等差數(shù)列{an}中，a3=6，a8=21，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)。教師可指導(dǎo)解題：從函數(shù)的觀點(diǎn)來看，在等差數(shù)列中，通項(xiàng)an是自變量n的一次函數(shù)，則兩點(diǎn)（3，a3）和（8，a8）即（3，6）和（8，21）都在一次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線上。直線斜率為：k（=（a8.a3）/8.3=（21-6）/5=3。由直線方程的點(diǎn)斜式可得：an-6=3（n-3）整理得an=3（n-1），所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=3n-3。

三、應(yīng)用直線的斜率解決目標(biāo)函數(shù)的最值問題

一般地，形如（y-b）/（x-a）的目標(biāo)函數(shù)，可視為行域中的點(diǎn)M（x.y）與定點(diǎn)N（a.b）連線的斜率。如例3，設(shè)變量x，y滿足約束條件y>x-1且y>-x+1且0

四、應(yīng)用直線的斜率求直線的傾斜角

經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式在解題中有廣泛的應(yīng)用。

五、應(yīng)用直線的斜率證明三點(diǎn)共線問題

證明三點(diǎn)共線的有多種方法，比如利用：[AB]+[BC]=[AC]（距離法）。利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)知識(shí)與直線方程法等，而證明已知坐標(biāo)三點(diǎn)共線，利用斜率是一種較為簡(jiǎn)單的方法。如例5，已知三點(diǎn)A（1，-1），B（3，3），c（4，5），求證：三點(diǎn)在一條直線上。教師可指導(dǎo)證明：KAB=（1-3）/（1-3）=1/2，KBC=（3-4）/（3-5）=1/2，KAB=KBC。又AB與BC有一公共點(diǎn)BA、B、c三點(diǎn)在同一直線上。

六、應(yīng)用直線的斜率解決與不等式有關(guān)的問題

將不等式問題通過變形，構(gòu)造出斜率公式。利用數(shù)形結(jié)合的思想將不等式問題轉(zhuǎn)化為比較斜率的大小，使問題直觀簡(jiǎn)捷地解決。但須注意畫輔助圖形時(shí)要盡量畫得準(zhǔn)確些。如例6：已知a，b，m∈R+，且aa/b。教師可指導(dǎo)學(xué)生證明：不等式的左邊可變形為：

（a+m）/（b十m）=（a-（-m））/（b-（-m）），其幾何意義為點(diǎn)A（b，a）與點(diǎn)M（-m，-m）連線的斜率，因?yàn)?0，所以點(diǎn)M（-m，-m）在第三象限直線y=x上。連接0A，MA則K0A=a/b，KMA=（a+m）/（b+m），由圖解可知MA、0A的傾斜角都為銳角，且直線MA的傾斜角大于直線0A的傾斜角，所以KMA>K0A，即（a+m）/（b+m）>a/b。此外，教師還可以利用應(yīng)用直線的斜率求變量或參數(shù)范圍等問題。