淺談如何提高高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

西洛

摘要：數(shù)學(xué)計(jì)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，計(jì)算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)。培養(yǎng)學(xué)生迅速正確的計(jì)算能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)之一。提高學(xué)生的計(jì)算能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，有助于樹(shù)立學(xué)生認(rèn)真、細(xì)致、耐心、不畏困難的品質(zhì)。因此，如何提高學(xué)生的計(jì)算能力就成高中數(shù)學(xué)教學(xué)重要研究的重要問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：計(jì)算；數(shù)學(xué)思維；邏輯體系

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2016）07-0231-01

1.深刻理解數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

1.1 運(yùn)算能力的層次性。運(yùn)算能力有四個(gè)層次的要求：其一是運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，這是最基本的要求；其二是運(yùn)算的合理性，它是運(yùn)算能力的核心；其三是運(yùn)算的熟練性，它是對(duì)考生思維敏捷性的考查；其四是運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性（即運(yùn)算速度上的要求），它是運(yùn)算合理性的標(biāo)志。運(yùn)算的簡(jiǎn)捷性是指運(yùn)算過(guò)程中所選擇的運(yùn)算路徑短，運(yùn)算步驟少，運(yùn)算時(shí)間省。它是運(yùn)算能力上的最高要求，它反映了思維的靈活性，深刻性和創(chuàng)造性。這就要求學(xué)生懂得恰當(dāng)應(yīng)用妙算，圖算，近似計(jì)算和精確計(jì)算進(jìn)行解題。在思想上一定要充分認(rèn)識(shí)提高運(yùn)算能力的重要性，把運(yùn)算技能上升到能力的層次上，把運(yùn)算的技巧與發(fā)展思維融合在一起。

1.2 運(yùn)算能力的綜合性。運(yùn)算能力既不能離開(kāi)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)而孤立存在，也不能離開(kāi)其他能力而獨(dú)立發(fā)展，運(yùn)算能力是和記憶能力、觀察能力、理解能力、聯(lián)想能力、表述能力等互相滲透的，它也和邏輯思維能力等數(shù)學(xué)能力相互支持著。高中數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是指對(duì)記憶能力、計(jì)算能力、觀察能力、理解能力、聯(lián)想能力、表述能力、邏輯思維能力等數(shù)學(xué)能力的統(tǒng)稱(chēng)。因而提高運(yùn)算能力的問(wèn)題，是一個(gè)綜合問(wèn)題，在中學(xué)各科的教學(xué)過(guò)程中，努力培養(yǎng)計(jì)算能力，不斷引導(dǎo)，逐漸積累、提高。

運(yùn)算能力往往被人們誤解為簡(jiǎn)單的計(jì)算能力，這是一種極端狹義的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)誤區(qū)。對(duì)數(shù)學(xué)最樸實(shí)的理解是：數(shù)學(xué)就是"算"，即"運(yùn)算"。它包括兩方面，一個(gè)是"運(yùn)算的對(duì)象"，一個(gè)是"運(yùn)算的規(guī)律"。運(yùn)算能力是思維能力與運(yùn)算技能的結(jié)合。運(yùn)算包括對(duì)數(shù)字的計(jì)算，估值和近似計(jì)算，對(duì)式子的組合變形與分解變形，對(duì)幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等，運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算公式，確定運(yùn)算程序等一系列過(guò)程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過(guò)程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力以及實(shí)施運(yùn)算和計(jì)算的技能。

對(duì)運(yùn)算能力的考查不僅包括對(duì)數(shù)的運(yùn)算，還包括對(duì)式的運(yùn)算，兼顧對(duì)算理和邏輯推理的考查。對(duì)考生運(yùn)算能力的考查主要是以含字母的式的運(yùn)算為主，包括數(shù)字的計(jì)算，代數(shù)式和某些超越式的恒等變形，集合的運(yùn)算，解方程與不等式，三角恒等變形，數(shù)列極限的計(jì)算，求導(dǎo)運(yùn)算，概率計(jì)算，向量運(yùn)算和幾何圖形中的計(jì)算等。運(yùn)算能力是一項(xiàng)最基本能力，在代數(shù)，立體幾何，平面解析幾何，概率，微積分，向量等學(xué)科中都有所體現(xiàn)。在高考中半數(shù)以上的題目需要運(yùn)算。運(yùn)算能力的高低是一個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)。

2.要求學(xué)生準(zhǔn)確掌握基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)基礎(chǔ)技能訓(xùn)練

為了讓學(xué)生充分理解基礎(chǔ)知識(shí)，在教學(xué)中可采取以下措施：在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上引入概念、公式、法則、性質(zhì)，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解；引導(dǎo)學(xué)生參與公式、法則、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)過(guò)程，促使學(xué)生在理解知識(shí)的基礎(chǔ)上牢固掌握各種算法。

那么，又該怎樣加強(qiáng)基礎(chǔ)技能訓(xùn)練呢？主要有下面三個(gè)要求：

2.1 練習(xí)要有梯度，不要一步就想到位?？梢苑秩齻€(gè)階段：第一，模仿練習(xí)階段：在老師的例題示范下進(jìn)行練習(xí)，選的習(xí)題變化不大，難度也不高，主要是讓學(xué)生熟悉解題的步驟和法則。第二，理解掌握階段：習(xí)題難度適當(dāng)提高，形式多有變化，督促學(xué)生對(duì)運(yùn)算過(guò)程、依據(jù)、方法進(jìn)行總結(jié)、概括，加強(qiáng)學(xué)生理性思維。第三，綜合運(yùn)用階段：習(xí)題選擇要有一定難度的綜合題，訓(xùn)練學(xué)生確定運(yùn)算方向、靈活運(yùn)用法則的能力。

2.2 練習(xí)的時(shí)間和量必須適中。任何技能訓(xùn)練在初始階段，練習(xí)效果與練習(xí)的時(shí)間和量一般會(huì)成正比，但經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后會(huì)出現(xiàn)停滯甚至下降現(xiàn)象。因此，練習(xí)的時(shí)間和量要適中。如果學(xué)生已經(jīng)掌握技能還反復(fù)進(jìn)行類(lèi)似練習(xí)，學(xué)生就會(huì)厭煩。教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的情況及運(yùn)算難度，準(zhǔn)確把握每個(gè)練習(xí)階段的訓(xùn)練量。

2.3 加強(qiáng)變式練習(xí)。學(xué)生的技能要達(dá)到熟練程度，必須進(jìn)行變式練習(xí)。對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)說(shuō)，變式練習(xí)就是改變問(wèn)題的非本質(zhì)特征，保留其結(jié)構(gòu)成分不變。具體方式有數(shù)學(xué)語(yǔ)句的表述變化，條件與結(jié)論互換，問(wèn)題背景的變化等。

2.4 及時(shí)了解練習(xí)的效果，糾正出現(xiàn)的錯(cuò)誤。在練習(xí)過(guò)程中讓學(xué)生及時(shí)了解練習(xí)的效果，是提高練習(xí)效果的有效方法。這是因?yàn)閷W(xué)生一方面根據(jù)反饋信息了解問(wèn)題所在，調(diào)整學(xué)習(xí)活動(dòng)；另一方面也為爭(zhēng)取更好的成績(jī)或避免再犯錯(cuò)誤而增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

3.合理安排教材內(nèi)容，除統(tǒng)編教材外應(yīng)有自己學(xué)校的數(shù)學(xué)校本教材

現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材是九年義務(wù)教育在新課程標(biāo)準(zhǔn)下的新教材，刪除了一些繁、難、死、舊的知識(shí)，新增了現(xiàn)代社會(huì)所需要新知識(shí)，為了使所有學(xué)生都能學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)能力，從而大大地降低了一些內(nèi)容的難度，但現(xiàn)行高中教材，比以前的要求有增無(wú)減，從難度上來(lái)看是加大的趨勢(shì)。所以我們必需開(kāi)發(fā)適合各校實(shí)際情況的校本教材，解決高初中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接問(wèn)題，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

高中教學(xué)中的許多內(nèi)容都涉及數(shù)與式的運(yùn)算，而學(xué)生的運(yùn)算比較差，許多學(xué)生出問(wèn)題總是體現(xiàn)在運(yùn)算上，嚴(yán)重影響高中數(shù)學(xué)成績(jī)。這可能是初中數(shù)學(xué)內(nèi)容對(duì)運(yùn)算要求的降低，訓(xùn)練不到位所造成。如方程的內(nèi)容對(duì)一元二次方程的判別式、韋達(dá)定理要求很低，含有參變量一元二次方程、二元二次方程在初中都不作要求，而在高中的解析幾何中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中有很高的要求，而這部分內(nèi)容又是高考的重點(diǎn)。又如因式分解的內(nèi)容，初中也降低了要求，許多因式分解技巧都不講解和訓(xùn)練，而在高中數(shù)學(xué)中分解因式的技巧，增項(xiàng)減項(xiàng)、十字相乘、雙十字相乘法都有很高的要求。其次在函數(shù)的內(nèi)容上，初中只要知道解析式，二次函數(shù)只要求簡(jiǎn)單的解析式和圖像、對(duì)稱(chēng)軸方程及頂點(diǎn)坐標(biāo)，而高考中函數(shù)思想方法，建立在二次函數(shù)基礎(chǔ)之上的內(nèi)容既深又廣，學(xué)生很難適應(yīng)。因此，建議在初中開(kāi)設(shè)校本課程，以提高學(xué)生的運(yùn)算能力和綜合能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生推理能力

教學(xué)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是根據(jù)運(yùn)算定律及其性質(zhì)，從已知數(shù)據(jù)的算式導(dǎo)出結(jié)果的過(guò)程，也是一種推理過(guò)程，如果推理不正確，則運(yùn)算就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。在基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生熟練掌握以下各類(lèi)常用的數(shù)式變換：符號(hào)變換、互逆變換、移項(xiàng)變換、配方變換、分解變換、形態(tài)變換、換元變換等，例如，引用輔助元素、添設(shè)參變量、構(gòu)造輔助函數(shù)、構(gòu)造輔助方程以及幾何中添設(shè)輔助線。例如：在圓錐曲線中，有許多需要利用定義解題的問(wèn)題，我就對(duì)學(xué)生提出要求：①理解定義；②觀察圓錐曲線的幾何特性；③歸納這類(lèi)問(wèn)題的基本解題思路和方法，總結(jié)規(guī)律，提高運(yùn)算能力。就此，我設(shè)計(jì)了這樣一些問(wèn)題，并進(jìn)行了實(shí)戰(zhàn)演習(xí)：（1）已知△ABC頂點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（0，5）、（0，-5），周長(zhǎng)為24，求頂點(diǎn)C的軌跡方程；⑵若A點(diǎn)為（3，2），F(xiàn)為拋物線 的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)，求|PF|+|PA|的最小值及取得最小值時(shí)的P的坐標(biāo)；⑶P與定點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）的連線的斜率的積為-1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；⑷點(diǎn)M到F（3，0）的距離比它到直線x+4=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程。同學(xué)們進(jìn)行了近20分鐘的演算，才有一位同學(xué)做完。又過(guò)了幾分鐘后，我對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行了歸納總結(jié)，指出它們的解題的根本思路：①理解圓錐曲線定義；②觀察圓錐曲線的幾何特性；③利用定義解題。通過(guò)歸納總結(jié)，同學(xué)們對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的運(yùn)算能力有了很大的提高。