數(shù)形結合 巧解數(shù)學難題

劉桂杰

“學習之道在于悟”，高三二輪數(shù)學復習，無論從知識難度還是思維方式來講，都進入了一個復雜繁瑣的新高度. 這就要求我們不僅要習得萬題之法，練就解題真功夫，而且在海量的解題過程中還要學會自我領悟、思考和總結，領悟數(shù)學問題解決中的數(shù)學思想、方法、策略，并加以巧妙運用.

“數(shù)形結合”是我們在數(shù)學解題中常用的經(jīng)典數(shù)學思想方法之一. 通過以形助數(shù)，以數(shù)輔形，能使抽象問題形象化，復雜問題簡單化，能有效破解數(shù)學難題，開辟出簡便有效的解題方式. 下面我就把自己運用數(shù)形結合解題時的一些思考和總結的幾點方法作以簡單介紹.

一、以形助數(shù)，讓數(shù)直觀

高中函數(shù)問題是數(shù)學難題的“聚集區(qū)”， 也一直是高考數(shù)學考察的熱點，一些條件繁多、關系復雜的數(shù)學問題經(jīng)常出現(xiàn)在函數(shù)領域. 如通過分析已知函數(shù)的圖像或者運用函數(shù)的性質化簡已知函數(shù)，從而得出問題中函數(shù)的有關性質、表達式及有關圖像的變化的試題. 我們在解決這類問題時，如果借力數(shù)形結合，“以形助數(shù)，讓數(shù)直觀”，這樣的難題往往會迎刃而解.

題目 如果實數(shù)x，y滿足等式（x - 2）2 + y2 = 3，求的最大值.

解析 等式（x - 2）2 + y2 = 3有明顯的幾何意義，它表示以（2，0）為圓心，r = 為半徑的圓（如圖）.

而 = 則表示圓上的點（x，y）與坐標原點（0，0）的連線的斜率.

這樣就可以把問題轉化為幾何問題：

動點A在以（2，0）為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值.由圖可知，當點A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為tan 60° = .

所以最大值是.

二、以數(shù)解形，讓形入微

所謂以數(shù)解形，就是用代數(shù)或者數(shù)量關系的形式來解決圖形中的問題，如可將幾何條件代數(shù)化，借助數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，然后通過數(shù)理論證，從而將幾何圖形化難為易，表示為簡單的數(shù)量關系（如算式等）.

題目 已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c > 0）到直線l ： x - y - 2 = 0的距離為，設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（1）求拋物線C的方程；

（2）當點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程；

（3）當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值.

解析 如果只是用“形”去求解“當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值”，根本得不到任何精確的結論. 于是我把它與“數(shù)”結合，由拋物線定義可知|AF| = y1 + 1，|BF| = y2 + 1，所以|AF|·|BF| = （y1 + 1）（y2 + 1） = y1y2 + （y1 + y2） + 1；再根據(jù)直線AB與拋物線C相交，聯(lián)立方程，消去x整理得y2 + （2y0 - x02）y + y02 = 0，再由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得y1 + y2 = x02 - 2y0，y1y2 = y02

所以|AF|·|BF| = y1y2 + （y1 + y2） + 1 = y02 + x02 - 2y0 + 1，

又點P（y0，y0）在直線l上，所以x0 = y0 + 2，

|AF|·|BF| = y1y2 + （y1 + y2） + 1 = y02 + x02 - 2y0 + 1 = 2y02 + 2y0 + 5 = 2y0 + 2 + .

這樣就將幾何圖形的性質用“數(shù)”的形式表示出來，將求得的最小值轉化為求二次函數(shù)的最小值.

三、數(shù)形相融，化難為易

在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，我們既要善于將“數(shù)”與“形”進行等價轉化，注意待解決問題“數(shù)”與“形”所蘊含的數(shù)量關系的一致性，同時我們還要把代數(shù)式的精確計算與幾何圖形的直觀描述結合起來，利用 “數(shù)”的精確性和“形”的全面性，從而使得看似無法解決的問題清晰化、明朗化，達到簡化問題，解決問題的目的.

題目 已知橢圓C = + = 1（a > b > 0）的一個焦點為（，0），離心率為，

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

解析 由數(shù)“焦點為（，0），離心率為”思形可求橢圓的標準方程. 由形“點P到橢圓C的兩條切線相互垂直”想數(shù)：切線與橢圓C的聯(lián)立方程只有一個解，Δ = 0，可得到方程（x02 - 9）k2 - 2x0y0k + y02 - 4 = 0及k1k2 = -1，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得k1k2 = = -1就可求出點P的軌跡方程，再由數(shù)思形可知為一個圓.

我的一點總結：“數(shù)與形，本相依，焉能分作兩邊飛. 數(shù)無形時，少直覺；形少數(shù)時，難入微. ”在應用數(shù)形結合思想解題時，我們一定要抓住數(shù)形結合思想的本質，將數(shù)與形巧妙聯(lián)想，數(shù)與形等價轉換，只有這樣才能使問題中的數(shù)量關系自然凸顯，順利解決數(shù)學難題，從而不斷提高我們自身的思維品質和靈活解題能力.

（指導老師：王偉軍）