時(shí)間序列在安徽省GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

摘 要：本文搜集了安徽省1978年-2015年的地區(qū)生產(chǎn)總值作為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，根據(jù)時(shí)間序列的相關(guān)理論，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)化檢驗(yàn)，在通過(guò)合理的平穩(wěn)化處理之后，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行AIC定則檢驗(yàn)，找到最合適的模型，并用此模型對(duì)參數(shù)進(jìn)行相關(guān)估計(jì)。這里最終建立的是自回歸移動(dòng)平均模型，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，識(shí)別出的最理想模型為ARIMA（1，1，2）。先利用此模型對(duì)安徽省2014年和2015年的GDP作出預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)值與實(shí)際值進(jìn)行相對(duì)誤差分析，得到的相對(duì)誤差在可控范圍之內(nèi)，從而認(rèn)為該模型的可行性高。最終利用ARIMA（1，1，2）模型對(duì)我省“一三五”規(guī)劃期間5年地區(qū)生產(chǎn)總值做出預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示超過(guò)了2020年的目標(biāo)GDP。

關(guān)鍵詞：ARIMA模型；GDP預(yù)測(cè)；單位根檢驗(yàn)

一、選題的背景及意義

“十二五”已經(jīng)落下帷幕，總結(jié)報(bào)告顯示這五年我省的地區(qū)生產(chǎn)總值從12263.4億元增長(zhǎng)到22005.6億元，上一個(gè)一五相比，總量增加了近1萬(wàn)億元，這是非常值得欣慰的?，F(xiàn)在的安徽已經(jīng)站上了一個(gè)新的發(fā)展平臺(tái)，展望新的一五，我省將繼續(xù)實(shí)施創(chuàng)新、協(xié)調(diào)、綠色發(fā)展，加快創(chuàng)建創(chuàng)文化強(qiáng)省、生態(tài)強(qiáng)省、經(jīng)濟(jì)強(qiáng)省的步伐，以確保安徽實(shí)現(xiàn)全面小康社會(huì)。我們將為著這個(gè)目標(biāo)去奮斗，去開(kāi)創(chuàng)美好安徽的新未來(lái)。

本文將以近年來(lái)安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值為基礎(chǔ)，建立時(shí)間序列模型，對(duì)安徽省經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的內(nèi)在特征進(jìn)行分析。最終使用這個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠?lái)對(duì)安徽省“十三五”期間的地區(qū)生產(chǎn)總值做出預(yù)測(cè)，與“一三五”規(guī)劃中安徽省2020年的GDP目標(biāo)值做比較，大致可反映我省是否能達(dá)到目標(biāo)產(chǎn)值的情況。

二、本文主要工作

首先我們從《安徽省統(tǒng)計(jì)年鑒》中選取了改革開(kāi)放以來(lái)安徽省1978年-2015年共38年的地區(qū)生產(chǎn)總值，對(duì)這些基礎(chǔ)資料進(jìn)行對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化，再求一階差分或二階差分，直到相關(guān)的序列圖和ADF單位根檢驗(yàn)通過(guò)了平穩(wěn)性檢驗(yàn)。再對(duì)平穩(wěn)化數(shù)據(jù)進(jìn)行可能的ARIMA（p，d，q）模型的識(shí)別，通過(guò)AIC定則篩選出最佳的ARIMA（p，d，q）模型。接著對(duì)該模型實(shí)施殘差序列檢驗(yàn)，進(jìn)一步精確判斷模型的準(zhǔn)確性。最后用該模型對(duì)安徽省進(jìn)行短期的預(yù)測(cè)，得到的相對(duì)誤差在可控范圍內(nèi)即可認(rèn)為模型的良好，便可以對(duì)安徽省“一三五”規(guī)劃這5年進(jìn)行地區(qū)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)了。

三、ARIMA模型建模步驟

1.數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)和處理

初始的時(shí)間序列數(shù)據(jù)得到之后，對(duì)其平穩(wěn)性檢驗(yàn)必不可少。一般來(lái)說(shuō)，散點(diǎn)圖或折線圖就可實(shí)現(xiàn)，但要做到精確判斷還是要依靠ADF單位根檢驗(yàn)的相關(guān)數(shù)值。對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列的處理可以通過(guò)取對(duì)數(shù)、作一階差分或二階差分來(lái)完成。這里的差分次數(shù)就是ARIMA（p，d，q）模型中的階數(shù)d。理論上說(shuō)，可以通過(guò)差分處理來(lái)提取非平穩(wěn)序列中的確定性信息，但并不是一昧的差分階數(shù)越多越好，差分階數(shù)越多，損失的實(shí)際數(shù)據(jù)的信息就越多，所以為避免過(guò)度差分，一般將差分次數(shù)限制在兩次以內(nèi)。

當(dāng)數(shù)據(jù)序列經(jīng)過(guò)平穩(wěn)化處理之后，我們便可得到相應(yīng)的d值，這樣我們的ARIMA（p，d，q）模型就轉(zhuǎn)化成了ARMA（p，q）模型。

2.模型的定階

ARMA（p，q）模型的階數(shù)和系數(shù)特點(diǎn)我們可以用通過(guò)它的相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)初步判定，如下表。

在平穩(wěn)時(shí)間序列中，可以通過(guò)自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的分析得到模型的初步階數(shù)，但這并不準(zhǔn)確。要想準(zhǔn)確的定階還是通過(guò)AIC定則最為靠譜，最終找到一個(gè)最理想的模型階數(shù)。

3.參數(shù)估計(jì)

在數(shù)據(jù)模型的階數(shù)確定之后，需要來(lái)估計(jì)ARMA模型的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)。這里我采用的是OLS最小二乘法。值得我們關(guān)注的是：由于MA模型的參數(shù)估計(jì)比一般模型復(fù)雜，當(dāng)遇到平均移動(dòng)項(xiàng)含有高階的ARMA模型或移動(dòng)平均模型的階數(shù)較高時(shí)我們應(yīng)盡量避免。

4.模型檢驗(yàn)

當(dāng)上面的任務(wù)完成以后，需要對(duì)模型的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行診斷和檢驗(yàn)，來(lái)推斷我們所選的模型是否恰當(dāng)。要想看出擬合的模型合理與否，主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先是模型參數(shù)估計(jì)值的顯著性；其次是模型的殘差序列是否符合白噪聲序列的條件。

四、基于時(shí)間序列的安徽預(yù)測(cè)分析

安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值（GDP）受到各方面的經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)、人文發(fā)展、人口增長(zhǎng)等諸多因素的影響，這其中存在著各種錯(cuò)綜復(fù)雜的相關(guān)關(guān)系。這里我們化繁為簡(jiǎn)，只將安徽省改革開(kāi)放以來(lái)的三十幾年的地區(qū)生產(chǎn)總值作為原始時(shí)間序列，找出其中的規(guī)律，建立理想的數(shù)學(xué)模型，來(lái)預(yù)測(cè)出我們所需要的未來(lái)GDP預(yù)測(cè)值。這對(duì)預(yù)測(cè)安徽省“一三五”的經(jīng)濟(jì)概況具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1.安徽省GDP時(shí)間序列分析

在ARMA模型中，時(shí)間序列產(chǎn)生于一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，若反映在圖像上，便是所有的樣本點(diǎn)都圍繞在某一確定的水平線上下浮動(dòng)。所以，對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列做好取對(duì)數(shù)和差分等平穩(wěn)化處理非常重要。

（1）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

在安徽省原始GDP的時(shí)間序列圖1中可以看出我省的地區(qū)生產(chǎn)總值具有明顯呈指數(shù)型的上升趨勢(shì)，所以這個(gè)序列明顯是非平穩(wěn)的。進(jìn)一步進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)更驗(yàn)證了這個(gè)觀點(diǎn)，從表1可以看出，p值幾乎等于1，t統(tǒng)計(jì)量也不樂(lè)觀。所以檢驗(yàn)未通過(guò)，表明原始序列是非平穩(wěn)的。

由于模型的需要，首先要做的就是平穩(wěn)化處理，這里通常有兩種方法，一種是取對(duì)數(shù)，一種是差分（一階或二階），這兩種對(duì)原序列的平穩(wěn)化都有顯著效果，下面具體介紹。

（2）平穩(wěn)化處理

首先對(duì)安徽省GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理，記為lnY。在對(duì)lnY作圖時(shí)發(fā)現(xiàn)它的上升趨勢(shì)仍十分明顯，且ADF單位根檢驗(yàn)中的t統(tǒng)計(jì)值分別大于1%，5%，10%水平下的檢驗(yàn)值，即序列是非平穩(wěn)的。所以要進(jìn)一步進(jìn)行一階差分，來(lái)提取出這其中曲線趨勢(shì)的影響。對(duì)lnY序列一階差分后的序列記為DY，它的平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果如下：

由圖2的時(shí)序圖可以看出所有的樣本點(diǎn)已經(jīng)基本上在一條水平線上下浮動(dòng)，但并不直觀。于是接下來(lái)進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)，由表2檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，在5%和10%的顯著性水平下一階差分的t統(tǒng)計(jì)值均小于相應(yīng)的Testcriticalvalues，即結(jié)論是接受不存在單位根這一說(shuō)法。并且后面的Prob列讀出的p值也比0.05小得多，所以對(duì)lnY差分后的序列DY是平穩(wěn)的。

2.安徽省GDP時(shí)間序列模型的建立

本文研究的安徽省GDP是一個(gè)一元的時(shí)間序列，我們通過(guò)對(duì)過(guò)去的歷史數(shù)據(jù)間的隨機(jī)誤差項(xiàng)構(gòu)建模型來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)所需要的數(shù)據(jù)。一般來(lái)說(shuō)，隨機(jī)誤差項(xiàng)是在不同時(shí)刻都統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，且服從于正態(tài)分布。要想找到最合適的ARMA模型，階數(shù)的確定和參數(shù)的估計(jì)是最重要的因素。

（1）模型的定階

從樣本的自相關(guān)與偏自相關(guān)函數(shù)的圖形中可以大致判斷序列所要構(gòu)建的ARMA（p，q）模型的階數(shù)，但想準(zhǔn)確確定，還需要一系列的試驗(yàn)。

在圖3中，DY序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后一期后出現(xiàn)衰減，并且在后面的滯后階數(shù)中逐漸趨向于零值，這表現(xiàn)出拖尾性；相似的，偏自相關(guān)系數(shù)在圖中也表現(xiàn)為滯后一期后出現(xiàn)衰減并趨于零，但他的偏自相關(guān)系數(shù)都明顯大于0，于是可以大膽的理解為偏自相關(guān)系數(shù)也具有拖尾性。那么在對(duì)模型的階數(shù)進(jìn)行初步判斷時(shí)，我們可以取1，也可以取2。準(zhǔn)確的定階我們是通過(guò)AIC定則來(lái)判斷的。

由表3分析可知，在所有可能的ARMA（p，q）模型中，除去未通過(guò)檢驗(yàn)的模型，剩下的AR（1），ARMA（1，2），MA（1）模型在R-squared、Adjusted R-squared、p值以及DW值的綜合判斷下擬合效果比較理想。

（2）模型參數(shù)估計(jì)與建立

分別對(duì)上述三種模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到的ARMA（1，2）的AdjustedR-squared值比AR（1）和MA（1）的AdjustedR-squared值要大，而且AIC和SC的值前者比后兩者要小，故選擇ARMA（1，2）最為合適。此處因篇幅有限，只列示出最佳的模型參數(shù)估計(jì)，如圖4：

（3）模型檢驗(yàn)

上述工作完成以后，模型的檢驗(yàn)也是必不可少的一部分，我們需要檢查和診斷統(tǒng)計(jì)結(jié)果，綜合考慮該模型是否符合要求。由ARIMA（1，1，2）模型的殘差序列檢驗(yàn)圖5可以看出，Q統(tǒng)計(jì)值均小于對(duì)應(yīng)自由度的的卡方分布的檢驗(yàn)值，并且在最后一列我們可以看到所有的p值都顯著大于0.05，因此可斷定該殘差序列是白噪聲序列，也可以認(rèn)為ARIMA（1，1，2）模型通過(guò)了檢驗(yàn)。

3.安徽省GDP短期預(yù)測(cè)及分析

在進(jìn)行預(yù)測(cè)之前，先用1978年-2013年的安徽省GDP數(shù)據(jù)對(duì)2014年和2015年的GDP作出預(yù)測(cè)，并與實(shí)際值計(jì)算得到相對(duì)誤差，如表4：

由上表可知，2014年-2015年的安徽省GDP預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的相對(duì)誤差都比較小，結(jié)合我省的實(shí)際情況，該誤差算是在可接受的范圍內(nèi)。也進(jìn)一步說(shuō)明了ARIMA（1，1，2）模型的可行性和準(zhǔn)確性。

最終我們用ARIMA（1，1，2）模型對(duì)安徽省未來(lái)5年即“一三五”期間的GDP做出預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)值如表5所示，輕松突破了我省定下的2020年地區(qū)生產(chǎn)總值36000億元：

五、結(jié)術(shù)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)1978年-2015年安徽省GDP的數(shù)據(jù)分析及建立的模型，對(duì)2016年-2020年安徽省GDP作短期預(yù)測(cè)，這為安徽省制定經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)提供了決策參考價(jià)值。在“一三五”規(guī)劃大綱中，安徽省的經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)表明，到2020年安徽省地區(qū)生產(chǎn)總值目標(biāo)是36000億元，并希望能向40000億元沖刺。從本文的未來(lái)5年的預(yù)測(cè)值看出，2020年預(yù)測(cè)可達(dá)到37112.87億元的GDP，超過(guò)了一三五規(guī)劃中安徽的GDP目標(biāo)。

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作者簡(jiǎn)介：宋靜（1995- ），女，安徽六安人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)專(zhuān)業(yè)