高中數(shù)學(xué)解析幾何的教與學(xué)

陳學(xué)林

解析幾何是各省市及全國高考中的難點(diǎn)和熱點(diǎn)。每次和學(xué)生談及高考數(shù)學(xué)，大家似乎都有同感：高中數(shù)學(xué)難，解析幾何又是難中之難。其實(shí)不然，解析幾何題目有規(guī)律可循，方法可依。只要掌握解析幾何的本質(zhì)和基本方法、技巧，解析幾何問題就會(huì)迎刃

而解。

首先，了解解析幾何的產(chǎn)生和本質(zhì)很有必要。解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，是當(dāng)時(shí)法國數(shù)學(xué)家笛卡兒創(chuàng)立的，大大促進(jìn)了物理學(xué)和天文學(xué)的發(fā)展。恩格斯當(dāng)時(shí)給予了高度評價(jià)，本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問題。體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想。使形象生動(dòng)的幾何圖形與精確描敘述的代數(shù)語言有機(jī)結(jié)合，使形與數(shù)可以相互轉(zhuǎn)化。

其次，了解解析幾何研究的主要問題，解析幾何研究的主要問題是：（1）根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程。這就要掌握求曲線方程的基本方法。如：直譯法，相關(guān)點(diǎn)法（代入法），定義法（待定系數(shù)法），交軌法等基本方法。（2）通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì)。如通過研究橢圓的方程就可以知道橢圓的長軸和短軸，離心率等基本知識(shí)。通過研究函數(shù)的解析式就可以畫出其圖像，繼而研究其性質(zhì)如單調(diào)性和奇偶性，定義域，值域也屬于這一范疇。

第三，注重圓錐曲線（圓，橢圓，雙曲線，拋物線）定義和初中平面幾何知識(shí)的運(yùn)用。圓錐曲線的定義有兩面性，一是作為定義可以用來判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否是某一類曲線的依據(jù)。另一方面也可以作為性質(zhì)來用，只要點(diǎn)在曲線上，它就具有這一性質(zhì)。比如，已知一點(diǎn)在橢圓上，那么這一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和一定為常數(shù)2a。另外，熟練掌握初中平面幾何知識(shí)有時(shí)對于我們了解解析幾何問題有事半功倍的效果。我們在求直線截圓所得的弦長時(shí)，就是用初中的垂徑定理和勾股定理來解決的。近年的高考題都有所體現(xiàn)，如2015四川高考理科壓軸題第20題第（2）問，由角平分線的性質(zhì)可得Q點(diǎn)一定在y軸上，這樣就會(huì)減少運(yùn)算量，2015全國新課標(biāo)Ⅱ理科第20題第（2）問也考查平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)。

第四，在教學(xué)中適時(shí)用多媒體輔助。多媒體教學(xué)具有形象、生動(dòng)、直觀的特點(diǎn)。多媒體教學(xué)更能體現(xiàn)現(xiàn)代教學(xué)理念。更能激發(fā)學(xué)生的興趣，俗話興趣是最好的老師，有了興趣，學(xué)生才會(huì)有求知欲。通過這種渠道獲得的知識(shí)，學(xué)生才會(huì)印象深刻，記憶才會(huì)牢固。圓錐曲線的很多性質(zhì)通過多媒體展現(xiàn)出來，更顯得生動(dòng)。如借助信息技術(shù)，通過改變橢圓的長軸長，短軸長或焦距等，可以幫助我們發(fā)現(xiàn)橢圓的幾何特征及其基本性質(zhì)（變化中保持不變的特征）。此外，多媒體教學(xué)工具為我們創(chuàng)造了一個(gè)通過演示實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)問題、形成猜想、獲得結(jié)論的環(huán)境，通過在多媒體的動(dòng)態(tài)演示，觀察動(dòng)點(diǎn)軌跡形成的過程，發(fā)現(xiàn)問題，得出結(jié)論。教材在這方面給我們作了很好的范例，在引入橢圓、雙曲線、拋物線的定義時(shí)，先給我們示范了一個(gè)簡單易行的演示實(shí)驗(yàn)。這些演示實(shí)驗(yàn)如果能讓學(xué)生親手做一遍，效果會(huì)更好。

第五，熟記一些常見的基本結(jié)論，掌握一些基本方法。熟記圓錐曲線中的一些基本結(jié)論有利于幫助我們提高解題的速度。常見的基本結(jié)論有橢圓與雙曲線的焦半徑公式（如2015全國新課標(biāo)Ⅰ理科第5題）、半通徑公式（如2015重慶文科第9題），焦點(diǎn)三角形的面積公式。拋物線的焦點(diǎn)弦長公式，拋物線的通徑公式。等軸雙曲線的離心率和漸近線公式。另外，掌握一些基本方法也很有必要，例如：中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法（如2015全國新課標(biāo)Ⅱ第20題第1問）。直線與圓錐曲線往往要聯(lián)立方程組再結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行處理。

第六，注意把前后知識(shí)進(jìn)行銜接，正確把握教學(xué)要求，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。解析幾何的內(nèi)容不僅包括圓錐曲線部分，還包括必修2的直線和圓，選修4的極坐標(biāo)和參數(shù)方程。教學(xué)時(shí)不能把它們割裂開來。近年的高考解答題中有的是以圓為載體來考察解析幾何知識(shí)的。圓其實(shí)也是圓錐曲線的一種。圓錐曲線的參數(shù)方程要正確地掌握。其中直線和圓及橢圓要求掌握，雙曲線，拋物線只需了解就可以了。圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程也應(yīng)掌握，在涉及焦半徑的題目時(shí)，用極徑ρ的表達(dá)式會(huì)更簡單。我們在教學(xué)時(shí)應(yīng)把各部分知識(shí)融會(huì)貫通，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決的能力。

第七，培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的吃苦精神，提高學(xué)生的解題能力。提高學(xué)生的運(yùn)算能力是新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對基本能力認(rèn)識(shí)的一個(gè)發(fā)展，是課程目標(biāo)對數(shù)學(xué)能力的基本要求。高考對考生的運(yùn)算能力的考查主要是通過解析幾何題目來體現(xiàn)的。解析幾何對大部分學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，也是因?yàn)槠溥\(yùn)算量比較大。解析幾何的解答題常常與向量、三角、平面幾何等知識(shí)明交暗織，有時(shí)還要考察求最值的方法。對學(xué)生運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。當(dāng)我們遇到此類題目時(shí)，只要思路正確，方法恰當(dāng)，就要勇往直前地走下去，即使得不出最終結(jié)果，也要盡量多得步驟分。無論我們未來從事怎樣的活動(dòng)，鍥而不舍的鉆研精神和科學(xué)態(tài)度都是我們應(yīng)具備的重要素質(zhì)。相對于數(shù)學(xué)課程的其他章節(jié)的學(xué)習(xí)，解析幾何的學(xué)習(xí)更有不怕困難，勇往直前的意志品質(zhì)。

總之，我們在教學(xué)中搞清解析幾何的來龍去脈，讓學(xué)生掌握處理解析幾何的基本方法和技巧，注重培養(yǎng)學(xué)生的意志品質(zhì)。同時(shí)在教學(xué)中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)常進(jìn)行教學(xué)反思。在這一部分的教學(xué)中，學(xué)生就會(huì)學(xué)得輕松，教師就會(huì)教得順心。

參考文獻(xiàn)：

李永清.“幾何畫板”在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)：教育科學(xué)版，2006（S2）.