數(shù)學(xué)助破兇案的奧秘之一—如何尋找犯罪熱區(qū)

陸繼宗?雋武

偵破刑事案件，特別是殺人兇案，是電視劇的主要題材之一。因?yàn)槠渲胁粌H有扣人心弦、曲折復(fù)雜的情節(jié)，還有現(xiàn)代化的刑案偵破手段的介紹。然而，在十多年前，美國曾拍了一部別出心裁的偵破系列劇，名為《Numbers》，直譯意思為“一些數(shù)字”，中文意譯為《數(shù)字追兇》。劇中有兩個(gè)主要人物，一為聯(lián)邦調(diào)查局特工丹·埃普斯，一為他的弟弟數(shù)學(xué)家查利。每一集都圍繞查利如何用他掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具來幫助哥哥破獲刑事兇案，使數(shù)學(xué)成為協(xié)助破案的利器。那么，使用數(shù)學(xué)技巧來破案究竟靠不靠譜呢？數(shù)學(xué)果真是破案的利器，抑或只是為了提高收視率的一種炒作呢？為了回答這個(gè)問題，美國全國公共電臺(tái)數(shù)學(xué)普及節(jié)目主持人基思·德夫林和加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授、《數(shù)字追兇》電視劇首席數(shù)學(xué)顧問合著了一本同名的書籍，解釋了為什么數(shù)學(xué)知識(shí)確可用來作為破案的利器。我們將通過一系列文章，具體介紹數(shù)學(xué)在刑事偵破工作中的作用，以及圍繞這一工作饒有趣味的有關(guān)知識(shí)。

如何抓住強(qiáng)奸殺人犯？

聯(lián)邦調(diào)查局特工丹·埃普斯看了一眼平攤在他父親家餐廳桌子上的一張大洛杉磯地區(qū)的街區(qū)圖。地圖上用叉號(hào)標(biāo)記了犯罪地點(diǎn)，一個(gè)殘忍的系列殺手在幾個(gè)月內(nèi)襲擊、強(qiáng)奸，然后殺害了十多位年輕的女性。丹的任務(wù)，是在罪犯再次對(duì)女性發(fā)動(dòng)襲擊前抓住這名殺手。但是調(diào)查毫無進(jìn)展——丹沒有線索，也不知道下一步該做什么，真可以說是一籌莫展。

“要幫忙嗎？”這是丹的弟弟查利的聲音，他是附近某大學(xué)數(shù)學(xué)系的一名杰出年輕教授。丹一直對(duì)他弟弟不可思議的數(shù)學(xué)才能佩服得五體投地，希望能從他那里得到任何幫助。但是調(diào)查能從一個(gè)數(shù)學(xué)家那里得到幫助嗎？

“此案與數(shù)字無關(guān)，查利。”丹語氣嚴(yán)厲并不是由于生氣，更多地是由于遇到了挫折而造成的，但查利似乎并未注意到這一點(diǎn)，他的回答完全是就事論事，但似乎有點(diǎn)答非所問：“任何事情都與數(shù)字分不開?！?/p>

丹并不信服。當(dāng)然，他常常聽查利說數(shù)學(xué)就是研究各種模式：辨認(rèn)模式、分析模式以及預(yù)言模式，等等。但即使讓一個(gè)數(shù)學(xué)天才去看雜亂無章散布在地圖上的叉號(hào)，他又會(huì)看出什么奧秘來呢。沒有規(guī)律性，任何人根本沒有辦法預(yù)言下一個(gè)叉號(hào)將打在哪個(gè)精確位置上，也就是說，下一個(gè)年輕的姑娘會(huì)在哪里被襲擊，我們應(yīng)當(dāng)在哪里設(shè)防——這可能會(huì)出現(xiàn)在每個(gè)夜晚。如果叉號(hào)的排列具有某種規(guī)律性，那么倒可以用一個(gè)數(shù)學(xué)公式來描繪一個(gè)圖形，就像丹在中學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)所學(xué)到的知識(shí)：方程x2+y2=9 可以用來描繪一個(gè)圓周圖形。

自動(dòng)噴水龍頭的啟發(fā)

看著地圖上的記號(hào)，即使查利也不得不同意，好像無法用數(shù)學(xué)來預(yù)言殺手下一次將在哪里作案。然而他們家里花園中灌澆草坪的自動(dòng)噴水龍頭不斷噴出水珠，落在草坪上，這一現(xiàn)象啟發(fā)了查利。因?yàn)椴槔?，事?shí)上，現(xiàn)代生活中幾乎沒有哪一個(gè)領(lǐng)域可以不依賴數(shù)學(xué)，但是必須建立一種模式，不然數(shù)學(xué)無法走出第一步。

他把丹拖曳到了窗前，可以看到噴水龍頭正在不知疲倦地工作。“我們一直在提一個(gè)錯(cuò)誤的問題?！彼f，“從那些你已經(jīng)知道的發(fā)案地點(diǎn)，你根本無法預(yù)言兇手下一次將在哪里作案。”他指著噴水龍頭說?！斑@就好像，不管你對(duì)濺落在草坪上的水珠的位置研究得再多，也無法預(yù)言下一水滴將濺落在何處?！彼戳说ひ谎?，確信他的哥哥正在聽?！暗俏覀兗俣?，你不能看見這個(gè)噴水龍頭安裝在哪里，你所能得到的是濺落到地上的所有水滴的分布模式。然后利用數(shù)學(xué)工具，你就能精確推算出噴水龍頭在什么地方。你不能利用水滴的模式去預(yù)言下一顆水滴將落在哪里，但你能夠用已經(jīng)確定的水滴落點(diǎn)反推出水龍頭在哪里。這只水龍頭所在的地方就相當(dāng)于兇手所在之處?！?/p>

丹一下子很難接受他弟弟提出的建議?！安槔?，你是否是在告訴我，你可以推出兇手的落腳之處？”

查利的回答很簡單：“對(duì)?！?/p>

丹仍然懷疑查利的想法是否真的管用，不過他弟弟的信心和熱情給他留下了深刻印象，所以他同意讓查利幫助調(diào)查。

查利第一步是學(xué)一些犯罪學(xué)的基本科學(xué)知識(shí)：首先，系列殺手的行為是怎么樣的。在這一點(diǎn)上，他作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，多年經(jīng)驗(yàn)教會(huì)了他如何辨認(rèn)哪些是關(guān)鍵因素，而忽略所有其他的因素，以使一個(gè)看似非常復(fù)雜的問題能夠化成一個(gè)僅包含少數(shù)幾個(gè)變量的問題。例如，在與丹以及他哥哥所工作的聯(lián)邦調(diào)查局辦公室里的其他特工交談后，他知道了暴力系列犯罪在地點(diǎn)的挑選上會(huì)呈現(xiàn)出某種傾向性。罪犯們傾向于靠近他們的住所實(shí)施犯罪，但不會(huì)挨得太緊；他們會(huì)環(huán)繞他們的居住所在地設(shè)立一個(gè)“緩沖區(qū)”，在此區(qū)域內(nèi)他們不實(shí)施犯罪，這個(gè)區(qū)域太靠近其住處、太危險(xiǎn)，所以他們不想在這個(gè)他們所謂的舒適區(qū)作案；而在這舒適區(qū)外，犯罪地點(diǎn)出現(xiàn)的頻率是隨著離住所距離的增加而減少的，這也容易解釋，因?yàn)樵竭h(yuǎn)則意味著越不方便，而且他們?cè)讲皇煜つ切┑胤健?/p>

然后，回到他在加州科學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)系的辦公室，查利興奮地認(rèn)真工作了起來，黑板上布滿了數(shù)學(xué)的等式和公式。他的目標(biāo)：找到數(shù)學(xué)的鑰匙，從而確定一個(gè)“熱區(qū)”——地圖上的一個(gè)區(qū)域，由作案地點(diǎn)反推出來，是犯罪分子最可能居住的地區(qū)。

查利得出的公式

就像他在著手解一個(gè)艱難的數(shù)學(xué)問題那樣，查利嘗試種種方法而沒有成功時(shí)，時(shí)間在飛快地流逝。最后，他有了一個(gè)他認(rèn)為可以管用的想法。他擦掉了以前寫在黑板上的潦草字跡，寫下了這個(gè)看起來很復(fù)雜的

公式：

下一步是對(duì)此公式進(jìn)行微調(diào)，就是用由丹提供的以前系列犯罪案件來驗(yàn)證這個(gè)公式。當(dāng)他輸入聯(lián)邦調(diào)查局以前破獲的案件中的犯罪地點(diǎn)，從而證實(shí)這個(gè)公式是不是能正確地預(yù)言罪犯的住處。因?yàn)橛行r(shí)候，這個(gè)公式并不能反映真實(shí)情況，比如哪些是要考慮的因素、哪些是可忽略的因素，一定要與辦案人員交流后才能得知，不過，當(dāng)查利根據(jù)大家的意見作了某些小的調(diào)整后，這個(gè)公式似乎就管用了。

第二天，查利在聯(lián)邦調(diào)查局辦公室顯示了一份打印的標(biāo)明“熱區(qū)”的犯罪地點(diǎn)圖。這是查利把他新的公式輸?shù)剿挠?jì)算機(jī)中去時(shí)，計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)圖形：一張?jiān)诘さ穆迳即壏缸锏攸c(diǎn)圖上畫出的一系列有顏色的區(qū)域的地圖，顏色逐步向中心變化，這些區(qū)域就是殺手可能居住的熱區(qū)，而中間的黃色區(qū)域是殺手最有可能居住的區(qū)域。

雖然有了這張圖，也仍然還有許多工作留給丹和他的同事們?nèi)プ?，但是他們不需要像在大海里找一根針那樣去找殺手了。感謝查利的數(shù)學(xué)公式，他們只需要在浴缸里找那根針了。

查利向丹和調(diào)查此案的其他聯(lián)邦調(diào)查局特工解釋，這個(gè)系列殺手，雖然在隨機(jī)挑選的犯罪地點(diǎn)上來尋找被害人，從而試圖不暴露他的住處，但是數(shù)學(xué)公式揭露了真相：以很高的概率確定了罪犯居住地點(diǎn)的熱區(qū)。丹和他的小組決定偵查居住在這個(gè)熱區(qū)中的某一年齡段的符合作案條件（比如曾有前科等等）的若干男人，并使用監(jiān)視以及隱蔽的手法，從嫌疑人拋棄的煙頭、吸管中獲得DNA證據(jù)，看看誰的DNA與從犯罪現(xiàn)場偵查獲得的DNA相符。

過了不多幾天，經(jīng)歷了幾次緊張的時(shí)刻，他們抓到那個(gè)罪犯，案件告破。

丹告訴他的弟弟說：“查利，這是你的公式立下的功勞?！?/p>

事實(shí)還是虛構(gòu)？

除少數(shù)戲劇性情節(jié)外，上面所敘述的就是電視觀眾看到的系列電視劇《數(shù)學(xué)追兇》第一集。許多觀眾不相信數(shù)學(xué)能以這種方式幫助捉拿罪犯。事實(shí)上，整個(gè)第一集是基于一個(gè)真實(shí)案例，在此案中用了一個(gè)數(shù)學(xué)公式來確定罪犯居住地的熱區(qū)。它就是觀眾看到的，查利寫在黑板上的那個(gè)公式。

現(xiàn)實(shí)中，得到這個(gè)公式的那個(gè)數(shù)學(xué)家名叫金·羅斯莫。羅斯莫用來預(yù)言系列犯罪案兇犯居住在哪里的數(shù)學(xué)技巧叫做地理分析技術(shù)。

羅斯莫已在重新分析老案件上取得了一些初步的成功，在取得了他的博士學(xué)位并被提升為偵探后，他把他的興趣傾注到了開發(fā)更好的數(shù)學(xué)方法，來進(jìn)行他稱的“犯罪地理靶定”，其他人則稱此方法為“地理分析技術(shù)”，因?yàn)樗桥c那種被調(diào)查人員基于犯罪分子的行為和心理特征來尋找罪犯的、大家熟知的“心理分析技術(shù)”相輔相成的。地理分析技術(shù)由分析犯罪分子的犯罪地點(diǎn)來確定一個(gè)罪犯的基本行動(dòng)規(guī)律。

羅斯莫早期在加拿大從事系列犯罪案件調(diào)查，但真正使他成為整個(gè)北美地區(qū)執(zhí)法機(jī)構(gòu)大家庭中著名一員的是發(fā)生在美國路易斯安那州拉斐特的那樁市南強(qiáng)奸案，這就是電視劇《數(shù)字追兇》中情節(jié)的真實(shí)來源。

十多年來，一名用頭巾圍著臉的不明身份襲擊者一直在躡手躡足地跟蹤小鎮(zhèn)上的婦女，并且襲擊她們。1998年，被數(shù)以千計(jì)的舉報(bào)信息以及相應(yīng)數(shù)目嫌疑人困擾著的警察邀請(qǐng)羅斯莫來幫忙。羅斯莫分析犯罪地點(diǎn)數(shù)據(jù)，并制成了一幅類似于《數(shù)字追兇》中查利所顯示的地圖，上面用有顏色的地帶來標(biāo)明熱區(qū)以及它的更熱也就是更可能的內(nèi)圈。這幅地圖使得警察能夠把搜索范圍縮小到半平方英里（約合1.3平方千米）、約十多名嫌疑犯中間，最后抓到了罪犯，而羅斯莫?jiǎng)t迅速成為犯罪偵查圈內(nèi)的著名人物。

羅斯莫公式的解釋

最后，讓我們來更仔細(xì)地看一下那個(gè)由羅斯莫發(fā)明，在《數(shù)字追兇》中被查利寫下的公式：

為了理解此公式的意義，我們先要重溫中學(xué)數(shù)學(xué)中解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)。解析幾何的最基本設(shè)計(jì)就是設(shè)置一個(gè)由x軸和y軸構(gòu)成的直角坐標(biāo)系，每個(gè)xi和yj值構(gòu)成了坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，表達(dá)為（xi，yj）。比如方程 x2+y2=9在坐標(biāo)系中就是一個(gè)由一系列點(diǎn)構(gòu)成的圓，圓心在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，圓的直徑為3。

現(xiàn)在我們用一張坐標(biāo)方格紙來畫剛才所說的坐標(biāo)系，此時(shí)每個(gè)點(diǎn)就相當(dāng)于一個(gè)坐標(biāo)小方格。我們把一張透明的坐標(biāo)方格紙疊放在地圖上，用兩個(gè)數(shù)字“i”和“j”來確定每一個(gè)小方格的位置：一個(gè)表明它在第幾行，另一個(gè)表明它在第幾列；等式的左邊是殺手的住所在此小方格里的概率pij，右邊表示如何計(jì)算這個(gè)概率。

我們把已經(jīng)知道的犯罪地點(diǎn)由地圖上的坐標(biāo)來表示，（xi，yi）表示第一次犯罪的地點(diǎn)，（x2，y2）表示第二次犯罪的地點(diǎn)，依此類推。這個(gè)公式是說：

要計(jì)算在第“i”行、第“j”列的坐標(biāo)方格中的概率pij，首先要計(jì)算從此坐標(biāo)方格的中心（xi，yj）到每一犯罪地點(diǎn)（xn，yn）你必須要走多遠(yuǎn)。這里的下標(biāo)n代表任一犯罪地點(diǎn)——n=1是指第一個(gè)犯罪地點(diǎn)，n=2指第二個(gè)犯罪地點(diǎn)，依此類推。必須要走多遠(yuǎn)這個(gè)問題的答案是：

| xi — xn | + | yj — yn |，

公式中有兩個(gè)地方要用到此答案。

從左至右來看這個(gè)公式，它由兩個(gè)分式組成。左邊的分式，是把距離放在分母上，分子是。距離的冪次為f，冪次f的數(shù)值的選取如下：用過去犯罪模式的數(shù)據(jù)去檢驗(yàn)此公式時(shí)，符合得最好的那個(gè)f值。這個(gè)公式的這一部分表達(dá)了如下思想：當(dāng)處在緩沖區(qū)外時(shí)，犯罪地點(diǎn)的概率隨距離的增大而減小。

右邊的分式是概率公式中用到的緩沖區(qū)里每次犯罪“行走距離”的概念。在右邊的分式中，用2B減去距離，B是選來描述緩沖區(qū)大小的一個(gè)數(shù)，并在此式中使用減得的結(jié)果。當(dāng)距離增加時(shí)，公式第二項(xiàng)的分母上由減法給出的結(jié)果愈小，用另一冪次g加大了這個(gè)結(jié)果后，第二項(xiàng)的值就愈大。

這個(gè)公式的兩個(gè)分式結(jié)合起來就起了一種“平衡作用”，表達(dá)了下面這一分析：當(dāng)離開罪犯據(jù)點(diǎn)向外移動(dòng)時(shí)，犯罪的概率先是增大（當(dāng)通過緩沖區(qū)移動(dòng)時(shí)），然后是減小。用優(yōu)美的數(shù)學(xué)符號(hào)“+”把此公式的這兩部分結(jié)合起來，希臘字母表示“對(duì)每一次犯罪的貢獻(xiàn)求和，就給出了第‘ij個(gè)坐標(biāo)方格中的概率的值?！眱身?xiàng)中都出現(xiàn)，它是被用來增加這項(xiàng)或那項(xiàng)的“權(quán)重”的。的值選得愈大，“概率隨距離的增大而減小”的現(xiàn)象的權(quán)重也就愈大，反之較小的值則是強(qiáng)調(diào)緩沖區(qū)的效應(yīng)。當(dāng)用這個(gè)公式來計(jì)算（當(dāng)然用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行）所有坐標(biāo)小方格的概率pij，制作一張熱區(qū)地圖就很容易了：你只要把小方格涂上顏色就行了，概率最大的涂黃色、稍小一些的涂橙色、然后是紅色，如此，概率最小的留下不

涂色。

（本文材料主要取自《數(shù)學(xué)緝兇》一書，上?？萍冀逃霭嫔?011年第1版）