磁流變彈性體基于卡方分布的磁偶極子模型*

索　思，徐趙東，許飛鴻

(東南大學(xué) 混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

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磁流變彈性體基于卡方分布的磁偶極子模型*

索思，徐趙東，許飛鴻

(東南大學(xué) 混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096)

為了精確描述磁流變彈性體的磁致效應(yīng)，從而使磁流變彈性體應(yīng)用于工程實(shí)際，基于磁偶極子理論，結(jié)合鐵磁顆粒在磁流變彈性體中的分布特點(diǎn)，引入分布參量n，假設(shè)相鄰鐵磁顆粒的間距滿足卡方分布，提出基于卡方分布的磁偶極子模型，推導(dǎo)了磁致剪切模量的表達(dá)式。該模型彌補(bǔ)了“均勻分布”假設(shè)的不足且形式簡(jiǎn)單，適于工程應(yīng)用，同時(shí)可以精確反映出各因素對(duì)磁流變彈性體磁致效應(yīng)的影響規(guī)律，其中分布參量和外加磁場(chǎng)強(qiáng)度是影響磁致效應(yīng)的關(guān)鍵因素。

磁流變彈性體；磁偶極子模型；卡方分布；磁致剪切模量

0　引　言

磁流變彈性體是近10年來新出現(xiàn)的1種新型智能材料，其流變性能可隨外磁場(chǎng)的改變而快速連續(xù)的變化。由于磁流變彈性體能夠克服磁流變液易沉降、穩(wěn)定性差的問題，因而它具有廣闊的應(yīng)用前景[1-2]，并得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的熱切關(guān)注。目前，大部分研究集中于磁流變彈性體的制備與工程應(yīng)用，其中美國(guó)Lord公司的Jolly等最先研究了磁流變彈性體的力學(xué)性能，并開發(fā)出了1種基于磁流變彈性的套筒[3-4]；中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)的龔興龍教授團(tuán)隊(duì)研究了的各向同性和各向異性磁流變彈性體制備和力學(xué)性能，并設(shè)計(jì)了基于磁流變彈性體的智能吸振元件[5-7]等。然而，有關(guān)建立描述磁流變彈性體磁致效應(yīng)力學(xué)模型的工作相對(duì)落后，主要有Jolly等[3]基于磁偶極子理論，考慮兩個(gè)磁性顆粒間的相互作用，提出的磁偶極子模型；Shen等[8]基于耦合場(chǎng)理論，將磁流變彈性體中磁性顆粒簡(jiǎn)化為無限長(zhǎng)鏈結(jié)構(gòu)并考慮一條鏈中所有顆粒的相互作用，提出的耦合場(chǎng)模型；黨輝等[9]基于麥克斯韋-玻爾茲曼分布，提出的分布鏈修正模型。然而上述的磁偶極子模型和耦合場(chǎng)模型均假設(shè)磁性顆粒在磁流變彈性體中均勻分布，與實(shí)際情況有一定的差距，磁致效應(yīng)計(jì)算結(jié)果通常偏大；而基于麥克斯韋-玻爾茲曼分布的分布鏈修正模型表達(dá)式略為復(fù)雜，參數(shù)較多不易確定，難以用于工程中。

為了彌補(bǔ)以上模型的不足，本文基于磁偶極子模型，確定顆粒間距為影響磁流變彈性體磁致效應(yīng)的關(guān)鍵因素，并分析了磁流變彈性體中磁性顆粒的分布，假定顆粒間距服從χ2分布，推導(dǎo)了磁流變彈性體的磁致剪切模量的計(jì)算公式，并分析了各影響因素對(duì)磁致效應(yīng)的影響，為磁流變彈性體的工程應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

1　模型假設(shè)

磁流變彈性體在硫化成型的過程中，受制作工藝、磁場(chǎng)強(qiáng)度和基材料性質(zhì)的影響，鐵磁顆粒的分布會(huì)有一定的差異，電鏡照片[10]如圖1所示。

由圖1可以看出，在外加磁場(chǎng)作用下，鐵磁顆粒在基體中都會(huì)形成鏈狀結(jié)構(gòu)，當(dāng)外加磁場(chǎng)較小時(shí)，鏈結(jié)構(gòu)較為松散；當(dāng)外加磁場(chǎng)逐漸增大時(shí)，鏈結(jié)構(gòu)逐漸加粗，顆粒趨于緊密。

將磁性顆粒簡(jiǎn)化為兩個(gè)磁偶極子，如圖2所示，其相互作用力[11]可表示為

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率，r為磁偶極子間距，m1和m2為顆粒的磁偶極矩，r0為沿磁矩方向的矢量。

通過分析上式，可知磁偶極矩間相互作用力F近似與磁性顆粒間距r的二次方成反比，則當(dāng)間距r增大時(shí)，相互作用力F將迅速減小，可見，鏈結(jié)構(gòu)中顆粒的相互作用力主要取決于相鄰顆粒的間距。

基于以上討論，本文的計(jì)算模型主要有以下假設(shè)：(1)磁流變彈性體中鐵磁顆粒尺寸相同，且磁化后其磁矩也是相等的；(2)鐵磁顆粒的相互作用只存在于相鄰顆粒之間，忽略其它顆粒的作用；(3)鐵磁顆粒分布對(duì)磁流變彈性體磁致效應(yīng)的影響主要表現(xiàn)在硫化成型后顆粒平均間距。由于硫化過程中外加磁場(chǎng)的作用，磁性顆粒在彈性體中的分布不會(huì)是均勻分布，而是呈現(xiàn)成鏈趨勢(shì)，則相鄰磁性顆粒的間距呈偏峰分布，假設(shè)該間距是符合χ2分布。該假設(shè)考慮了鐵磁顆粒分布差異對(duì)磁流變彈性體磁致效應(yīng)的影響，使模型彌補(bǔ)了均勻分布假設(shè)的不足，同時(shí)也不致使模型表達(dá)過分復(fù)雜，適宜用在工程實(shí)際中。

圖1　不同外加磁場(chǎng)下鐵磁顆粒分布

圖2磁偶極子模型

Fig 2 Schematic of dipolar model

2　磁致剪切模量計(jì)算

采用磁偶極子模型進(jìn)行分析，計(jì)算模型如圖2所示。將外加磁場(chǎng)下的每一個(gè)顆粒簡(jiǎn)化為一個(gè)磁偶極子，在外加磁場(chǎng)H下，磁偶極矩分別為m1和m2的兩個(gè)磁偶極子的相互作用能可表示為

如圖2所示，定義一條鏈的剪切應(yīng)變?yōu)?/p>

則兩偶極子的相互作用能寫成

式中，磁偶極矩

式中，Jp為顆粒的極化強(qiáng)度。

為了表征相鄰鐵磁顆粒間的相對(duì)距離，引入隨機(jī)變量h(h≥0)，令

h越小，顆粒間距越小，兩相鄰顆粒構(gòu)成的偶極子對(duì)相互作用能E12越大，當(dāng)h=0時(shí)，表明相鄰顆粒緊密相連，完全接觸。將h代入式(4)可得

假設(shè)

式中，n表示隨機(jī)變量h的期望值。分布參量n的大小可以反映相鄰鐵磁顆粒間距的平均水平，n越小，則磁流變彈性體中鐵磁顆粒分布越密集，所以n可以作為一個(gè)反映MRE制備工藝以及基材料性質(zhì)的綜合指標(biāo)。由于E12為h的函數(shù)，對(duì)E12求期望值

式中

表示鐵磁顆粒分布的密集程度對(duì)磁流變彈性體磁致效應(yīng)的影響。

設(shè)彈性體的總體積為Ve，每個(gè)顆粒的體積為Vi，那么顆粒的總數(shù)np可以表示為

式中，φ為顆粒的體積比，d為顆粒直徑。

由于顆粒之間的相互作用能只存在于鄰近顆粒之間，所以總體的磁場(chǎng)能等于E(E12)乘以總的顆粒個(gè)數(shù)np，進(jìn)而彈性體中的平均能量密度可表示為

為求磁場(chǎng)能引起的磁致剪切應(yīng)力，只需將式(9)對(duì)剪切應(yīng)變?chǔ)们笠浑A導(dǎo)數(shù)

然后，磁致剪切模量可表達(dá)為

3　影響因素分析

鐵磁顆粒磁化過程是非線性的，在理論分析中，外部磁場(chǎng)強(qiáng)度H與材料內(nèi)部磁化強(qiáng)度Mp的非線性關(guān)系可根據(jù)Frolich-Kennely定理確定[12]

式中，Ms為磁飽和時(shí)的磁化強(qiáng)度，對(duì)于鐵磁材料通常取μ0Ms=2.1 T；μp為鐵粉的磁導(dǎo)率，低磁場(chǎng)中μp取1 000。

3.1分布參量n對(duì)磁致剪切模量的影響

由以上模型計(jì)算得出磁致剪切模量與分布參量n的關(guān)系如圖3所示，其中參數(shù)取如下值：μ0=4π×10-7H/m，μ1=1，φ=0.3，γ=0.025，H0=400kA/m。

由圖3可知，磁致剪切模量隨著分布參量n的增大而減小，在n∈[0,2]時(shí)，磁致剪切模量下降很快，n≥2時(shí)，下降趨于緩慢，而當(dāng)n≈6時(shí)，磁致剪切模量已接近于0，可認(rèn)為磁致效應(yīng)可以忽略不計(jì)。根據(jù)式(6)可知，參數(shù)n反映了磁流變彈性體中磁性顆粒間的平均距離，表征了磁性顆粒在磁流變彈性體中分布的密集程度，n越小磁性顆粒間的平均距離越小，磁性顆粒分布越密集，成鏈效果越好；而成鏈效果直接影響磁流變彈性體磁致效應(yīng)的大小，所以降低n可以顯著地改善磁流變彈性體的磁流變效應(yīng)。

圖3分布參量n與磁致剪切模量關(guān)系

Fig 3 Relationship between parameter n and magnetic-induced shear modulus

為進(jìn)一步驗(yàn)證參數(shù)n對(duì)磁流變彈性體磁流變效應(yīng)的影響，采用標(biāo)準(zhǔn)3參數(shù)固體模型對(duì)文獻(xiàn)[13]中擬靜態(tài)試驗(yàn)中BIIR-H-60和BIIR-H-70(60和70表示試樣中鐵磁顆粒的質(zhì)量比為60%和70%)結(jié)果進(jìn)行分析處理，試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，根據(jù)以上模型，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可表示為

式中，A、B和C為待定參數(shù)。試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模型誤差可表示為

式中，m為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)量，τM和τE分別模型計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果。

采用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，結(jié)果如下：A=-0.0101 MPa，B=39 610，C=0.585 MPa；對(duì)于試樣BIIR-H-60和BIIR-H-70，參數(shù)n分別為1.8422和1.5526。從試驗(yàn)結(jié)果(圖4)可以看出，鐵磁顆粒質(zhì)量比越大，MRE試樣的磁流變效應(yīng)越顯著，這主要是由于鐵磁顆粒的分布會(huì)隨顆粒含量的增加而趨于密集。同時(shí)，從參數(shù)識(shí)別結(jié)果也可以看出，參數(shù)n與鐵磁顆粒質(zhì)量比成負(fù)相關(guān)關(guān)系，這表明參數(shù)n可以有效地表征磁性顆粒在磁流變彈性體中分布的密集程度。

圖4　擬靜態(tài)試驗(yàn)結(jié)果

3.2切應(yīng)變對(duì)磁致剪切模量的影響

由以上模型計(jì)算得出磁致剪切模量與切應(yīng)變?chǔ)玫年P(guān)系如圖5所示，其中參數(shù)取如下值：μ0=4π×10-7H/m，μ1=1，φ=0.3，n=2，H0=400 kA/m。

圖5　切應(yīng)變?chǔ)门c磁致剪切模量關(guān)系

Fig 5 Relationship between shear strainγand magnetic-induced shear modulus

由圖5可知，磁致剪切模量隨切應(yīng)變的增大而減小，這主要是由于切應(yīng)變的增加使磁性顆粒間距增大，顆粒間由于磁場(chǎng)引起的相互作用力減小導(dǎo)致的。但從圖5也可以看出，當(dāng)應(yīng)變較小時(shí)，這種由應(yīng)變引起的剛度減小效應(yīng)是很小的，通?？梢院雎圆挥?jì)。

3.3外加磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)磁致剪切模量的影響

由以上模型計(jì)算得出磁致剪切模量與外加磁場(chǎng)強(qiáng)度H的關(guān)系如圖6所示，其中參數(shù)取如下值：μ0=4π×10-7H/m，μ1=1，φ=0.3，n=2，γ=0.025。

圖6　磁場(chǎng)強(qiáng)度H與磁致剪切模量關(guān)系

Fig 6 Relationship between magnetic field intensity H and magnetic-induced shear modulus

由圖6可知，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度H<200 kA/m時(shí)，磁致剪切模量隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加而增加，這是磁性顆粒的磁化強(qiáng)度逐漸增大使顆粒間的相互作用力逐漸增大的結(jié)果；而當(dāng)H≥200 kA/m時(shí)，磁致剪切模量隨磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加不再增加，這主要是由于磁性顆粒達(dá)到磁飽和，磁化強(qiáng)度不再增大。

4　結(jié)　論

通過研究鐵磁顆粒分布對(duì)磁流變彈性體磁致效應(yīng)的影響，提出了基于卡方分布的磁偶極子模型，并得出以下結(jié)論：

(1)本模型彌補(bǔ)了“均勻分布假設(shè)”的不足，通過引入分布參量n來表征相鄰鐵磁顆粒平均間距，更好的反映了鐵磁顆粒在磁流變彈性體中的分布差異對(duì)磁致效應(yīng)的影響，同時(shí)該模型推導(dǎo)出的磁致剪切模量計(jì)算公式也綜合反映了各因素對(duì)磁致效應(yīng)的影響規(guī)律。

(2)磁致剪切模量會(huì)隨分布參量n的增加而減小，n較小時(shí)，磁致剪切模量下降很快，當(dāng)n≥2時(shí)，下降趨于緩慢，而當(dāng)n≈6時(shí)，磁致剪切模量已接近于0，可認(rèn)為磁致效應(yīng)可以忽略不計(jì)。

(3)切應(yīng)變的增大會(huì)引起磁致剪切模量的減小，但當(dāng)切應(yīng)變較小時(shí)，這種效應(yīng)很小，通?？珊雎圆挥?jì)。

(4)磁致效應(yīng)會(huì)隨外加磁場(chǎng)強(qiáng)度變化而變化，但當(dāng)磁性顆粒達(dá)到磁飽和時(shí)，磁致剪切模量不會(huì)隨外磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加而提高。

致謝：感謝江蘇省青藍(lán)工程對(duì)項(xiàng)目的大力資助，感謝科技部中青年科技創(chuàng)新領(lǐng)軍人才對(duì)本項(xiàng)目的大力資助！

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A model ofmagnetorheological elastomer based on chi-square distribution

SUO Si，XU Zhaodong，XU Feihong

(Key Laboratory of Concrete and Prestressed Concrete Structures of Ministry of Education，Southeast University，Nanjing 210096，China)

In order to describe the magnetorheological effect of magnetorheological elastomers accurately,and provide theory basis for the engineering application of MRE,a modified mathematical model is proposed based on the dipolar model.Analyzing the characteristic of ferromagnetic particles’ distribution in the elastomer,this model introduces n as a distribution parameter and assumes that the distance between two adjacent particles meets chi-square distribution,and the expression of magnetic-induced shear modulus is derived.This model overcomes the deficiency of the assumption that particles distribute uniformly in MRE,and it is simple in formation and apt for engineering application.Moreover,the expression of magnetic-induced shear modulus can reflect the law between the magnetorheological effect and each influence factor exactly,and results show the distribution parameter and magnetic intensity are the key factors.

magnetorheological elastomer; dipolar model; chi-square distribution; magnetic-induced shear modulus

1001-9731(2016)09-09063-05

江蘇省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(BK20140025)

2015-03-20

2015-06-15 通訊作者：徐趙東，E-mail:xuzhdgyq@seu.edu.cn

索思(1990-)，男，山西大同人，在讀碩士，師承徐趙東教授，從事智能材料研究。

TU599

ADOI:10.3969/j.issn.1001-9731.2016.09.012