初學(xué)者如何突破乘法公式的應(yīng)用

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初學(xué)者如何突破乘法公式的應(yīng)用

□安徽省六安市清水河學(xué)校王梧代少國

乘法公式是初中段數(shù)學(xué)所要學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，它對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)有著重要的影響。而初學(xué)者在應(yīng)用這個公式時常會感到困難，進而出現(xiàn)差錯。根據(jù)在教學(xué)過程中的實際經(jīng)驗，學(xué)生只要能從正確認識公式的本質(zhì)特征，形成固定的處理習(xí)慣，運用好整體思想和巧用積的乘方公式等方面著手，就可以有效地提高乘法公式的運用能力。

初學(xué)者乘法公式應(yīng)用能力

在新滬科版教科書中乘法公式的學(xué)習(xí)是安排在七年級下冊的第八章第三節(jié)進行的。公式的導(dǎo)出是應(yīng)用多項式的乘法直接得出的，并以幾何圖形中面積關(guān)系給予直觀解釋，這是一個由一般到特殊的認識過程。筆者曾在偏遠的農(nóng)村初中工作數(shù)年，在教學(xué)中通過課堂觀察和檢測，發(fā)現(xiàn)不少初學(xué)該知識的學(xué)生，雖能熟記乘法公式，但對公式的結(jié)構(gòu)特征認識不清，更難以嫻熟地去應(yīng)用該公式。就此筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)歷，淺談一下如何突破乘法公式的簡單應(yīng)用，希望能對初學(xué)者有所幫助。一方面，這是在學(xué)習(xí)了整式的加、減、乘、除的基礎(chǔ)上，對多項式乘法的進一步深入和拓展；另一方面，又為學(xué)習(xí)“因式分解”、“配方法”等知識奠定了基礎(chǔ)，是進一步研究一元二次方程、二次函數(shù)的工具性內(nèi)容，不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。

一、抓住結(jié)構(gòu)特征，認清公式本質(zhì)

從心理特征來說，初中階段的學(xué)生邏輯思維能力有待培養(yǎng)，從經(jīng)驗型逐步向理論型發(fā)展，觀察能力、記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展，所以在教學(xué)中應(yīng)抓住這些特點，以方便學(xué)生直觀形象把握完全平方公式結(jié)構(gòu)特征。

從認知狀況來說，學(xué)生在此之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了多項式乘法法則的探索過程，對“完全平方公式、平方差公式”已經(jīng)有了初步的認識，為順利完成教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)，但對于“完全平方公式、平方差公式”的理解，由于其抽象程度較高，學(xué)生可能會產(chǎn)生一定的困難，所以教學(xué)中應(yīng)予以簡單明白、深入淺出的分析，讓學(xué)生發(fā)表見解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，讓學(xué)生掌握公式的本質(zhì)。

1.兩個多項式相乘時，如果第一個多項式的每一項都與第二個多項式每項相同或符號相反時，則可以選用公式

通過讓學(xué)生經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力。

2.多項式乘多項式時，如果第一個多項式的部分項與第二個多項式的部分項相同，剩余項與第二個多項式的剩余項的符號不同時，則選用平方差公式，如（x-2y）（-x-2y）=（-2y+x）（-2y-x）=（-2y）2-x2=4y2-x2。

3.當一個多項式與另一個多項式的項數(shù)不同，同類項的系數(shù)絕對值不等，或字母及其指數(shù)不能對應(yīng)相等時，不能使用乘法公式，如（x-2y）（2x+y）不能使用乘法公式。遵循知識產(chǎn)生過程，從特殊→一般→特殊，將所學(xué)的知識用于實踐中。

二、形成科學(xué)的處理方法，避免符號差錯

《新課標》指出：學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。這些都需要學(xué)生具備一定的自我表達能力作為前提。讓學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)公式的特點，對于公式中一些符號問題學(xué)生就會熟練掌握，迎刃而解。

例1.用乘法公式計算（-2x+3y）2。

解法一：原式=（-2x）2+2（-2x）3y+（3y）2=4x2-12xy+9y2

解法二：原式=（3y-2x）2=（3y）2-2（3y）2x+（2x）2=9y2-12xy+4x2

例2：用乘法公式計算（-2x-3y）2

解法一：原式=（-2x）2-2（-2x）3y+（3y）2=4x2+12xy+9y2

解法二：原式=［-（2x+3y）］2=（2x+3y）2=4x2+12xy+9y2

本兩例中兩種解法，無論哪種解法，關(guān)鍵是由中間的“+”或“-”號決定了在（a+b）2和（a-b）2這兩公式中選用哪一個。在本例兩種解法中，解法二不易出符號的差錯，故建議選用第二種解法為宜。要解決好這個問題，需注意兩方面：（1）初學(xué)者不要過多地跳步；（2）要形成自己科學(xué)的處理習(xí)慣，避免在符號上出錯。教師務(wù)必進一步發(fā)展符號感和推理能力，使學(xué)生熟練技能、掌握方法、形成能力，發(fā)展積極向上的情感體驗，獲得終身發(fā)展的學(xué)習(xí)動力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的思想。

三、掌握好“整體思想”在該知識上的應(yīng)用

整體思想是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時的一種常用方法：通過研究問題整體結(jié)構(gòu)特征，從而對問題進行整體處理的解題方法。從整體上去認識問題、思考問題，常常能化繁為簡、變難為易，同時又能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性。在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式等方面，整體思想都有很好的應(yīng)用，在提高學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識方面具有獨特的作用。用整體思想解題不僅解題過程簡捷明快，而且富有創(chuàng)造性。有了整體思維的意識，在思考問題時，才能使復(fù)雜問題簡單化，提高解題速度，優(yōu)化解題過程。同時，強化整體思想觀念，靈活選擇恰當?shù)恼w思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功。如在完全平方公式的探求過程中，學(xué)生表現(xiàn)出觀察角度的差異：有些學(xué)生只是側(cè)重觀察某個單獨的式子，把它孤立地看，而不知道將幾個式子聯(lián)系地看；有些學(xué)生則既觀察入微，又統(tǒng)攬全局，表現(xiàn)出了較強的觀察力。教師要善于抓住這個契機，適當對學(xué)生進行學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)他們“既見樹木，又見森林”的優(yōu)良觀察品質(zhì)。

例3.（1）（2a+b+1）（2a+b-1）=［（2a+b）+1］［（2a+b）-1］

（2）（a-2b-3）（a+2b+3）=［a-（2b+3）］［（a+（2b+3）］

“整體思想”是初中數(shù)學(xué)中重要的思想方法。本例中可將分別在兩個三項式中對應(yīng)符號相同的項，放在每個三項式的前面視為整體用括號括起來。作為公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，其余的項放在后面括起來作為?；?qū)⒎謩e在兩個三項式中對應(yīng)符號不同的項，放在每個三項式的后面視為整體用括號括起來，作為公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的b，其余的項放在前面括起來作為a。如例3（1）中將（2a+b）視為公式中的a，例3（2）中將（2b+3）視為公式中的b。

學(xué)生在解題中，要把注意力和著眼點放在問題的整體上，多方位思考、聯(lián)想、探究，進行整體思考、整體變形，從不同的方面確定解題策略，能使問題迅速獲解。

四、巧用積的乘方公式

學(xué)生解題時運用積的乘方公式，也是為了引導(dǎo)學(xué)生回憶鞏固前面的知識。積的乘方公式的理解及應(yīng)用，首先要讓學(xué)生理解這個公式，而要讓學(xué)生理解這個公式，就要讓學(xué)生理解積的乘方的含義，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的互相聯(lián)系。

例4.（a-2b）2（a+2b）2=［（a-2b）（a+2b）］2=（a2-4b2）2= a4-8a2b2+16b4

乘法公式在初中數(shù)學(xué)中有著重要的地位和廣泛的應(yīng)用，這有點像“九九乘法表”在小學(xué)數(shù)學(xué)中的地位。正如此，所以在剛開始學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，就不能一知半解，含混過關(guān)，而需要正確地理解，并能嫻熟地應(yīng)用各公式。對于初學(xué)者來說，要想達到這種要求就可以結(jié)合本文所提到的幾點，在解題和應(yīng)用的實踐過程中注意觀察，勤于思考，多做總結(jié)，就可以有效地提高自己應(yīng)用乘法公式的能力。

總之，只要學(xué)生真正認清公式的本質(zhì)特征，形成科學(xué)的處理方法，運用好整體思想和巧用積的乘方公式等方法，在解題時，克服“思維定勢”的影響，通過辨析、學(xué)會分析可以幫助學(xué)生加深對此公式的正確認識，加之靈活運用，觀察、探究、歸納等方法，就能有效地提高乘法公式的運用能力。