提高概率教學(xué)質(zhì)量初探

黃仙鳳

【內(nèi)容摘要】長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)方面總存在著教學(xué)方式與學(xué)生實(shí)際需求、數(shù)學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用等相脫節(jié)問(wèn)題。本文結(jié)合概率教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)實(shí)踐的思考，闡述了概率教學(xué)中的幾點(diǎn)看法。

【關(guān)鍵詞】教學(xué) 概率 應(yīng)用

基于特定的評(píng)價(jià)體系，數(shù)學(xué)教育工作者往往側(cè)重學(xué)術(shù)性課程的填鴨式，學(xué)習(xí)者強(qiáng)化接收。雖教學(xué)效率高，學(xué)生短時(shí)間內(nèi)接受了系統(tǒng)的知識(shí)體系，但過(guò)于強(qiáng)調(diào)“接受”，壓抑了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。如此教、學(xué)狀況，忽視了學(xué)校課程與社會(huì)生活間的聯(lián)系，學(xué)生雖掌握了課程的“知識(shí)世界”，可缺乏質(zhì)疑精神及提出問(wèn)題的能力，體驗(yàn)不到學(xué)習(xí)對(duì)個(gè)人的現(xiàn)實(shí)意義。現(xiàn)實(shí)的教學(xué)偏離了預(yù)定目標(biāo)，違背了教育目的。

尤其是新增加的內(nèi)容，這些新增內(nèi)容為我們探索課改中教與學(xué)模式提供了新場(chǎng)所，有助于逐漸理解、適應(yīng)即將到來(lái)的新一輪課改教學(xué)。其中，概率是高中數(shù)學(xué)知識(shí)模塊的新增部分，是實(shí)用性較強(qiáng)的內(nèi)容。無(wú)論是從課改精神方面，或是基于近幾年的高考命題，提高概率教學(xué)質(zhì)量是非常必要的。由此，在教學(xué)實(shí)踐中，結(jié)合該知識(shí)的特點(diǎn)，對(duì)課程教學(xué)做了些思考。

一、介紹概率的起源及應(yīng)用情況，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)概率學(xué)的重要性

面對(duì)新的知識(shí)領(lǐng)域，常常令初學(xué)者感到茫然。幫助學(xué)生了解概率產(chǎn)生的實(shí)際背景，介紹概率在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，有助于學(xué)生逐步接納此“數(shù)學(xué)文化”，為后繼的學(xué)習(xí)營(yíng)造良好的文化氛圍。

1.概率與機(jī)會(huì)性游戲

所謂機(jī)會(huì)性游戲就是靠運(yùn)氣取勝的一些游戲，如賭博。有史可查的概率知識(shí)的起源，與人類(lèi)的這種機(jī)會(huì)性游戲密切相關(guān)。以骰子為賭博工具的游戲中，孕含著概率理論的某些思想。然而，在玩骰子游戲的幾千年時(shí)間里，人們對(duì)其中的概率思想的發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。直到15世紀(jì)后期和16世紀(jì)早期才有人意識(shí)到骰子點(diǎn)數(shù)下落頻率的計(jì)算是可能的、有效的，每一面會(huì)以相同的頻率出現(xiàn)等這些最簡(jiǎn)單的概率思想。進(jìn)而，概率理論才逐漸被正視，走上了研究、發(fā)展、應(yīng)用的道路。

2.概率與生活

概率論不僅是當(dāng)代科學(xué)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，而且還是當(dāng)代社會(huì)和人類(lèi)日常生活最必需的知識(shí)之一。正如十九世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)拉普拉斯所說(shuō)：“對(duì)于生活中的大部分，最重要的問(wèn)題實(shí)際上只是概率問(wèn)題。你可以說(shuō)幾乎我們所掌握的所有知識(shí)都是不確定的，只有一小部分我們能確定地了解。甚至數(shù)學(xué)科學(xué)本身，歸納法、類(lèi)推法和發(fā)現(xiàn)真理的首要手段都是建立在概率論的基礎(chǔ)之上的。因此，整個(gè)的人類(lèi)知識(shí)系統(tǒng)是與這一理論相聯(lián)系的……”

的確，我們只要留意周?chē)囊恍┈F(xiàn)象，就會(huì)發(fā)現(xiàn)在某種程度上概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)已經(jīng)成為人類(lèi)生活中重要的一部分。如我們所熟悉的天氣預(yù)報(bào)、彩票、抓鬮、算命等等，均與概率知識(shí)相關(guān)。

二、設(shè)置概率的可操作、解釋的經(jīng)典案例，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)概率的興趣

對(duì)于新的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，傳統(tǒng)的教學(xué)方式往往一進(jìn)門(mén)就把學(xué)生引入純數(shù)學(xué)的天堂。缺少必要的感性認(rèn)識(shí)，難以自然過(guò)渡為理性認(rèn)識(shí)。為使學(xué)生有充分的“思想準(zhǔn)備”，教學(xué)過(guò)程中，可采取邊走邊欣賞的方式，通過(guò)瀏覽概率的各種“風(fēng)景”后，再進(jìn)入純數(shù)學(xué)天堂，使各種概念和定理成為有源之水、有本之木。

1.生日問(wèn)題

教學(xué)中，借助本教學(xué)班（每個(gè)教學(xué)班一般為50人左右）為實(shí)驗(yàn)實(shí)體。以“班級(jí)是否有同學(xué)生日相同”為主題，設(shè)置“打賭”游戲。通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)驗(yàn)證或?qū)W生自己組織驗(yàn)證等方式的互動(dòng)性游戲，提高學(xué)生參與教、學(xué)的積極性，同時(shí)加深某些“數(shù)學(xué)內(nèi)涵”的感性認(rèn)識(shí)。

統(tǒng)計(jì)的情況將是令人吃驚的：幾乎所有班級(jí)都存在生日相同的同學(xué)。這是巧合嗎？由此展開(kāi)概率知識(shí)的學(xué)習(xí)及于此的解釋。

分析：設(shè)事件A為“50人的生日全都不相同”，則事件 為“50人中，至少有2個(gè)人生日相同”。

①50個(gè)人可能的生日組合是：36550

②50個(gè)人生日都不重復(fù)的組合是：A36550

因?yàn)?0個(gè)人的生日的所有情況中，每種結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的

所以P（A）=

則1-P（A）≈0.9651。

綜上所述，50人中存在生日相同的概率為96.51%，不存在生日相同的概率僅為3.49%，因此打賭時(shí)把賭壓在概率大的事件上較易獲勝。由此，說(shuō)明缺乏概率知識(shí)的情況下，人們的隨意猜測(cè)往往會(huì)與事實(shí)南轅北轍。

2.占卜問(wèn)題

廟宇中常有欲與“神明”溝通者，他們借助于一對(duì)陰陽(yáng)兩面的“器物”占卜（俗稱(chēng)問(wèn)卦）。溝通者口中念念有詞，而后擲出“器物”。當(dāng)這對(duì)“器物”呈現(xiàn)“一陰一陽(yáng)”時(shí)，表示與“神明”溝通成功；當(dāng)呈現(xiàn)“兩陽(yáng)”或“兩陰”時(shí)表示溝通失??；眾所周知，此種迷信活動(dòng)不足為信。而其中，表示溝通成功或失敗所對(duì)應(yīng)的“卦相”，是否“公平、合理”？是否另有玄機(jī)？

分析：一對(duì)“器物”的“卦相”有4種：（陽(yáng)陽(yáng)）（陽(yáng)陰）（陰陽(yáng)）（陰陰）。

又由于每種“卦相”的出現(xiàn)是等可能的，因此呈現(xiàn)陰陽(yáng)搭配（即溝通成功）的概率為1/2。若以呈現(xiàn)“兩陰”（或“兩陽(yáng)”）為成功標(biāo)志，則溝通成功的概率僅為1/4。

繼續(xù)拓展：若連續(xù)出現(xiàn)三次溝通成功稱(chēng)為“顯靈”的話(huà)，其概率有多大呢？

分析：因?yàn)槊恳淮巍皽贤ǔ晒Α笔录欠癜l(fā)生對(duì)另一次事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，即連續(xù)出現(xiàn)三次“溝通成功”為三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式求得發(fā)生的概率為1/8。

3.男女?huà)氤錾l率問(wèn)題

研究男女?huà)氤錾l率，對(duì)人口統(tǒng)計(jì)是很重要的。教學(xué)中可讓學(xué)生根據(jù)對(duì)社會(huì)人口男女比例的感知，猜測(cè)在遵循自然選擇時(shí)男女?huà)氲某錾是闆r。

分析：由生物遺傳學(xué)知，性別由染色體決定。女?huà)肴旧w為XX，男嬰染色體為XY。每一嬰兒的染色體構(gòu)成，由母體（染色體為XX）接受一個(gè)X，由父體（染色體為XY）接受一個(gè)X或Y。即性別決定于從父體接受的染色體為X（女?huà)耄┗驗(yàn)閅（男嬰）。因這種接受是隨機(jī)等可能的，由概率知識(shí)知，男女?huà)氲某錾示鶠?.5。因此男女?huà)霕?gòu)成應(yīng)大體呈現(xiàn)平衡之勢(shì)。

三、設(shè)立體現(xiàn)概率對(duì)于生活中某些重要應(yīng)用的專(zhuān)題，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)及實(shí)踐能力

提供以生活為背景的熱點(diǎn)問(wèn)題，開(kāi)展相關(guān)的“數(shù)學(xué)建?！睂W(xué)習(xí)活動(dòng)，力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

“六合彩”賭博問(wèn)題

近些年，“六合彩”賭博之風(fēng)盛行。廣東、福建等沿海地區(qū)尤甚，各年齡階層均參與，時(shí)不時(shí)地上演各種鬧劇、悲劇?！傲喜省?：36的賠率是其宣傳、吸引人的最大賣(mài)點(diǎn)，它點(diǎn)燃了人們暴富的心理。

建模時(shí)引導(dǎo)學(xué)生全面把握：彩民的輸（贏(yíng)）意味著莊家的贏(yíng)（輸），因此彩民與莊家在賭彩時(shí)的聯(lián)系與區(qū)別須充分考慮（即賭彩的“互動(dòng)”關(guān)系）；再者，1：36的賠率雖大，但輸多贏(yíng)少是不爭(zhēng)的事實(shí)，建模時(shí)是否還要考慮賠率以外的事？（如中獎(jiǎng)概率?。?/p>

“六合彩”共有47個(gè)號(hào)碼，其游戲規(guī)則：1：36的賠率，即若以1元買(mǎi)一碼，中碼后可獲36元；不中，則不給賠金。（注：每次以搖獎(jiǎng)形式開(kāi)碼）

（1）某人買(mǎi)一碼，那么他中獎(jiǎng)的概率為多少？

（2）某縣，若按100萬(wàn)人次買(mǎi)碼，每人次10元為例，則“六合彩”莊家是賺還是賠？具體數(shù)值是多少（精確到萬(wàn)元）？

（3）通過(guò)以上計(jì)算，有何體會(huì)？

師生共同分析：

（1）以搖獎(jiǎng)形式開(kāi)碼，則47個(gè)碼的出現(xiàn)是等可能的。因此中獎(jiǎng)概率為1/47；

（2）①開(kāi)碼前，莊家收到的賭資為1000萬(wàn)；②莊家在開(kāi)獎(jiǎng)后應(yīng)支付的賠金為：766萬(wàn)元。故，完成一次“六合彩”賭博，莊家賺；凈賺金額234萬(wàn)元；

（3）通過(guò)以上計(jì)算，不難看出，雖賠率1：36很誘人，但中碼的概率極低——僅1/47，即中碼的可能性很小，所以應(yīng)勸告彩民們不要參與“六合彩”賭博活動(dòng)。

四、整合幾類(lèi)古典概率，全面提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力

在充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性外，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生整理、構(gòu)建知識(shí)框架，掌握概率知識(shí)體系。

1.三種古典概率的特點(diǎn)及對(duì)應(yīng)公式

通過(guò)具體實(shí)例講透：

①等可能事件是指“一事件”在多次的試驗(yàn)中，發(fā)生的可能性是相同的。適用于求解某一“子事件”發(fā)生的概率。

②互斥事件和相互獨(dú)立事件都是針對(duì)“兩個(gè)或兩個(gè)以上事件”怎樣發(fā)生而言的。其中，互斥事件指兩個(gè)（或多個(gè)）事件“不可能同時(shí)發(fā)生”，即兩事件相互制約。兩互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式為P（A+B）=P（A）+P（B）；相互獨(dú)立事件指一事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率“沒(méi)有影響”即兩事件互不相干。兩獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式為P（A·B）=P（A）·P（B）。

2.突破概率的模式識(shí)別

教學(xué)中，采取類(lèi)比典型例子的方式，培養(yǎng)學(xué)生判別概率類(lèi)型的能力，提高解決不同概率模型問(wèn)題的實(shí)效性。

例：袋中4只黑球，3只白球，它們除顏色不同外，沒(méi)有其他區(qū)別，計(jì)算：

（1）從中隨機(jī)地摸出3只球，則摸出3只黑球的概率

（2）從中隨機(jī)地摸出3只球，則摸出3只同顏色球的概率

（3）從中隨機(jī)地摸出3只球，則摸出至少1只黑球的概率

（4）現(xiàn)把球隨機(jī)地一只只摸出，每次摸出后記下顏色再放回袋中，則第三次才摸出黑球的概率

（5）現(xiàn)把球隨機(jī)地一只只摸出，每次摸出后記下顏色再放回袋中，則三次摸球中恰有兩次摸出黑球的概率

（6）現(xiàn)把球隨機(jī)地一只只摸出，每次摸出后記下顏色再放回袋中，則三次摸球中至多有兩次摸出黑球的概率

分析：（1）設(shè)事件A為“摸出的2球?yàn)楹谇颉?，則由等可能事件公式知概率：35分之4；

（2）設(shè)事件A為“摸出的3球?yàn)楹谇颉?，事件B為“摸出的3球?yàn)榘浊颉?，則事件A+B為“摸出的3球同顏色”，由互斥事件公式得概率為7分之1；

（3）設(shè)事件A為“摸出的三球均為白球”，則事件 為“摸出的三球至少1只黑球”，由對(duì)立事件分工得概率為35分之34；

說(shuō)明：本題也可用互斥事件的概率公式求解。但若出現(xiàn)“至少”“至多”等類(lèi)型的概率問(wèn)題時(shí)，注意考慮對(duì)立事件的概率公式。

（4）設(shè)事件A為“第一次摸出的球?yàn)榘浊颉?，事件B為“第二次摸出的球?yàn)榘浊颉?，事件C為“第三次摸出的球?yàn)楹谇颉保瑒t事件A·B·C為“第三次才摸出黑球”，由相互獨(dú)立事件公式得概率為343分之36；

（5）每次摸出黑球的概率為7分之4，由獨(dú)立重復(fù)事件知，三次摸球中恰有兩次摸出黑球的概率為343分之144；

（6）方法一：獨(dú)立重復(fù)事件概率公式和互斥事件概率公式的綜合應(yīng)用?！叭蚊蛑兄炼嘤袃纱蚊龊谇颉奔捶譃槿N情況：①三次摸球中均沒(méi)摸到黑球，②三次摸球中僅摸出一個(gè)黑球，③三次摸球中摸出兩個(gè)黑球。因此，三次摸球中至多有兩次摸出黑球的概率是①②③的三個(gè)概率之和為343分之279。

方法二：獨(dú)立重復(fù)事件概率公式和對(duì)立事件概率公式的綜合應(yīng)用?！叭蚊蛑兄炼嘤袃纱蚊龊谇颉钡膶?duì)立面為“三次摸球中均摸得黑球”，因此，用對(duì)對(duì)事件公式得三次摸球中至多有兩次摸出黑球的概率為343分之279。

【參考文獻(xiàn)】

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[3] 王幼軍. 概率論的起源——機(jī)會(huì)性游戲，《數(shù)學(xué)教學(xué)》，2004（6）.

（作者單位：福建省屏南縣第二中學(xué)）