多層薄膜結構中的熱應力分析

劉加凱

（武警工程大學裝備工程學院，西安710086）

多層薄膜結構中的熱應力分析

劉加凱*

（武警工程大學裝備工程學院，西安710086）

針對當前無法分析MEMS多層薄膜結構中熱應力的現狀，通過修正Suhir.E提出的雙金屬帶熱應力分布理論，提出了MEMS多層薄膜結構的熱應力分布模型，該模型適用于評估MEMS多層結構中熱應力分布規(guī)律，同時為采取合理措施減小應力提供了理論支持。在溫度載荷作用下，多層薄膜結構中將產生正應力、剪應力和剝離應力的作用，應力變化主要集中在界面端處。其中，正應力分布于各層內，隨與中心點距離的增大呈指數減小，在端面處急劇減小至最小值；剪應力和剝離應力則主要分布于各層界面上，隨與中心點距離的增大呈指數增大，在界面端處達到最大值。最后，開展了由四種材料（玻璃、鉻、銅、鎳）組成的多層薄膜結構的熱力學仿真分析，驗證了所建立解析模型的正確性，以及各應力在多層結構中的分布規(guī)律。

MEMS；多層薄膜結構；熱應力；溫度載荷

EEACC:7230doi:10.3969/j.issn.1004-1699.2016.07.008

利用薄膜工藝制備的多層結構在MEMS器件中有著廣泛的應用［1］，環(huán)境應力對其可靠性具有重要的影響。其中，外界溫度載荷對MEMS器件最顯著的影響，是在由不同材料制成的多層結構中由于熱膨脹系數失配而引入較高的熱應力，引起結構發(fā)生翹曲、剝離、龜裂等失效模式［2］，降低MEMS器件的可靠性。

關于多層薄膜結構中熱應力的分析，目前被廣泛應用的是Stoney公式，它通過測量鍍膜前后基片曲率半徑的變化量來計算薄膜層中的正應力［3］。早期主要用于分析淀積在較厚襯底上的單層薄膜中的正應力，Schafer等人［4-5］基于薄膜與襯底的厚度比和雙軸模量比對Stoney公式進行修正，使之用于分析當薄膜與襯底厚度可比較時的正應力。

Stoney公式僅能分析薄膜層中的正應力，不能用于計算結合界面間的應力水平，而界面應力恰恰是引起多層薄膜結構發(fā)生翹曲和剝離的直接原因所在。Suhir.E基于界面位移一致性理論提出了雙金屬帶熱應力分布理論［6］，利用該理論不僅能夠計算雙層薄膜層中的正應力，而且能夠評估界面中的剪應力和剝離應力，但該理論不能分析MEMS多層薄膜結構中的熱應力。本文假設界面應變一致性，對雙金屬帶熱應力分布理論進行修正，使之能夠用于分析MEMS多層薄膜結構中的熱應力。

1　雙層結構中的熱應力分析

1.1雙層結構模型

根據Suhir.E的雙金屬帶熱應力分布理論［7-10］，首先對雙層薄膜結構中的熱應力進行分析。假設由雙層結構材料形成的界面是理想界面，結合界面無空洞、氣泡以及化學成分的變化，同時假設材料層內溫度變化均勻一致，下層薄膜為材料1層，上層薄膜為材料2層；兩種材料的彈性模量E、泊松比v、熱膨脹系數α各向同性且不隨溫度變化。

在溫度載荷作用下，雙層結構中將產生正應力σ（x）、剪應力t（x）和剝離應力p（x），剪應力和剝離應力作用于結合界面上，正應力則分布于各層內。其中剪應力t（x）平行于結合界面的方向，剝離應力p（x）垂直于結合界面的方向，而正應力σ（x）在垂直和平行于結合界面的方向上均有作用，如圖1所示。

圖1　雙層材料結構的熱應力分析模型

1.2雙層結構中的剪應力

假設材料1層上表面和材料2層下表面的任意點x沿水平方向的位移分別為u1（x）和u2（x），則界面上的應力應變模型為：

式中：Δt為所加載的溫度與室溫的差值；t（x）為x處的界面剪應力；α1和α2、h1和h2分別為材料1和材料2的熱膨脹系數、厚度。T（x）為結構中x截面所受的力，可表示為

式中，λ1、λ2和k1、k2分別表示材料1層和材料2層的軸向柔度系數和表面柔度系數，可由如下公式表示：

式中，E1和E2、v1和v2、和、G1和G2分別為材料1和材料2的彈性模量、泊松比、雙軸模量和剪切模量。

結合界面上任意一點x處的力矩平衡方程為

式中：M1（x）和M2（x）分別為材料1層和材料2層在界面x處的彎矩。

由方程（5）和（6）得出曲率半徑 ρ（x）和單位寬度的剪切力T（x）的關系為

其中，D=D1+D2。把方程（3）和（7）代入方程（1）和方程（2），假設當雙層結構均勻受熱升溫Δt時，材料1層上表面和材料2層下表面任意點沿x方向的位移相等，即u1（x）=u2（x），可以得出

式中：Δα=α2-α1，

方程（8）的邊界條件是t（0）=0，T（L）=0，可以得出滿足邊界條件的雙層結構的剪應力表達式為

由式（10）可知，剪應力在結合界面的邊緣達到最大

由于K值通常具有較大值，則式（10）、式（11）可簡化為

通過對雙層結構中的剪應力進行分析可知，剪應力在x方向上呈指數增大，在界面端處達到最大值，且最大值與界面寬度L無關。

1.3雙層結構中的正應力

把方程（10）代入方程（3），進行積分可以得出x處的單位寬度剪切力

把方程（13）代入方程（6）、方程（7）可得出

雙層結構中的正應力是由材料層的剪切力T（x）、彎矩M1（x）和M2（x）共同決定的結果，并且在結合界面處達到最大值。在界面附近的材料層內，沿x方向上

式中：結果為正則表示拉應力，為負表示壓應力。由于K值具有較大值，方程（17）和方程（18）可簡化為

通過對雙層結構中正應力進行分析可知，正應力隨x的增大呈指數減小，在結構的端面上達到最小值，且最小值為0。

此外，在y方向也存在正應力，由于與x方向的正應力相比極小，故在這里不作討論。

1.4雙層結構中的剝離應力

雙層結構界面間的剝離應力是引起界面分層的主要原因之一。為簡化分析模型，認為剝離應力主要集中在雙層結構的邊沿，可以近似地將作用在材料層邊沿的力N0來代替剝離應力的作用，所以可建立如圖2所示的剝離應力模型。

圖2　雙層薄膜結構的剝離應力模型

根據此模型，可以寫出在任意點處的平衡方程

式中：

對方程（21）進行兩次微分，可以得出x處的剝離應力

剝離應力在界面端處最大

由于K值具有較大值，雙層結構的剝離應力方程（23）可以簡化為

由式（25）可知，剝離應力隨x的增大呈指數減小，在結構的端面上達到最大值。由方程（23）可知，當 μ=0時，剝離應力 p（x）=0。代入方程（22）可得

在此條件下，剝離應力在任何溫度下都為0。

通過對雙層結構的熱應力分布情況進行分析可知，熱應力變化主要集中在邊沿范圍內，正應力呈指數減小，剪應力和剝離應力呈指數增加。結構層中的應力是由材料熱膨脹系數和加載的溫度共同決定的，熱膨脹系數相差越大，加載溫度越高，應力也就越大。

2　多層結構中的熱應力分析

與雙層結構類似，多層結構在溫度載荷下材料層中也將產生剪應力、正應力、剝離應力的作用，多層結構的熱應力分析模型如圖3所示。

圖3　多層結構的熱應力分析模型

為簡化分析多層結構的計算量，在以下的分析中采用界面應變一致性的條件，而非界面位移一致性的條件［11］。假設第（i-1）層的上表面和第i層的下表面的縱向應變分別為和，則

其中，αi為第i層材料的熱膨脹系數，為該層的軸向柔度系數，Fi為作用于第i層的軸向力，ρ為多層結構的曲率半徑，Δt為溫度差。根據條件，可得

將式（28）從i=1到i相加，可得

其中Δαi=αi-α1，為第i層材料與基體材料的熱膨脹系數之差。

其中，

相應地，作用于第i層薄膜上沿x方向的正應力為

在多層結構中

則作用于第i層和第（i+1）層之間界面上的剪切力

根據雙層結構的分析方法，則在第i層和第（i+1）層之間界面上的應力可計算得

則最大應力發(fā)生在層間界面端部，其值為

多層結構上的應力分布規(guī)律與雙層結構具有一致性，即熱應力變化主要集中在邊沿范圍內，正應力呈指數減小，剪應力和剝離應力呈指數增加。

3　多層結構在溫度載荷下的仿真分析

采用熱-應力耦合方法，利用有限元軟件對多層結構在溫度載荷下的應力分布規(guī)律進行仿真分析。

3.1多層結構模型

MEMS器件的基本結構一般由三部分組成：基體、種子層和結構層［12］。某非硅基MEMS器件的基本材料模型如圖4所示，種子層由鉻層和銅層組成，由下到上玻璃基底、鉻層、銅層和鎳層的厚度分別為20 μm、0.5 μm、1 μm和10 μm，各層材料的參數如表1所列，本文以此為模型開展多層結構的熱應力仿真研究。

圖4　非硅基MEMS器件的基本材料模型

表1　多層結構中各層材料參數（采用μMKSV單位制）

3.2溫度載荷下的熱應力仿真分析

對有限元模型加載150℃的溫度載荷，并以20℃作為結構的應力應變零點。在溫度載荷作用下，由于各層材料的熱膨脹系數不匹配，導致各結構層受到不同程度的正應力、剪應力和剝離應力。多層結構中的正應力、剪應力和剝離應力的分布情況如圖5所示。

圖5　多層結構在150℃溫度載荷作用下的應力分布圖

由圖5可知，在150℃的溫度載荷下，由于銅、鎳材料的熱膨脹系數大于鉻與玻璃，所以銅層和鎳層的拉伸應變大于鉻層和玻璃層，使結構有向下彎曲的趨勢。在各層層間界面附近，應力迅速增大，其中在鉻-銅之間的界面上產生的應力最大，這是由于鉻材料與銅材料的熱膨脹系數差別最大，銅的熱膨脹系數是鉻的近3倍。

在高溫作用下，銅層的拉伸變形大于鉻層，有拉伸鉻層的趨勢，而鉻層則阻止這一趨勢，因此在鉻層上產生拉應力，在銅層上則產生壓應力。鉻層上的拉應力沿x方向的變化如圖6所示，其最大正應力達170.67 MPa，且隨x的增大呈指數減小，在層端處達到最小值。在圖中，仿真結果與利用多層結構熱應力分布模型中式（34）所計算得到的理論值及其變化趨勢具有一致性。在與中心距離35 μm以內，仿真值與理論值基本重合，在35 μm至界面端處，正應力仿真值與理論值均迅速下降。但兩者之間存在一定的誤差，正應力最大誤差達33.2 MPa。之所以存在誤差，是由于熱應力分布模型為簡化計算量，假設了多層結構界面間應變一致，但在實際的仿真過程中，界面間的位移和應變情況則十分復雜。

圖6　鉻層上的正應力分布情況

在溫度載荷作用下，層間界面上將產生剪應力和剝離應力，最大應力值均發(fā)生在界面端處，其中在鉻-銅界面上的最大剪應力和剝離應力分別為34.38 MPa和27.04 MPa，其分布情況如圖7、圖8所示。同樣仿真結果與數學模型計算結果具有一致性，在層間中部，剪應力和剝離應力基本為0，而在界面端部呈指數迅速增大。

圖7　鉻層與銅層界面上從中心到端部的層間剪應力分布圖

圖8　鉻層與銅層界面上從中心到端部的層間剝離應力分布圖

3　結論

通過對雙金屬帶熱應力分布理論進行修正，建立了多層薄膜結構熱應力分布模型。在溫度載荷作用下，由不同材料組成的多層結構中將產生正應力、剪應力和剝離應力的作用，應力變化主要集中在結構端處。正應力主要分布于各層內，隨x的增大呈指數減小，在端面處達到最小值；剪應力和剝離應力主要分布于各層界面上，在x方向上呈指數增大，在界面端處達到最大值。通過對由四種材料組成的多層結構進行熱力學仿真分析，驗證了所建立多層結構熱應力分布模型的正確性。本文的研究能夠用于評估MEMS多層結構中正應力、剪應力和剝離應力的分布規(guī)律，同時為采取合理措施減小應力提供了理論支持。

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劉加凱（1985-），男，河南輝縣人，漢族，武警工程大學講師，博士，研究方向為MEMS可靠性，liujiakai1129@163.com。

Therm al Stress Analysis on Multilayer Structure

LIU Jiakai*
（Armed Police Engineering University&Equipment Engineering College，Xi'an 710086，China）

Aimed at the multilayer structure being unable to parse，the thermodynamics distributing model has been put forward by revising bimetal strip stresses model advanced by Suhir.E，which applies to evaluate the thermal stress distributing rule of MEMS multilayer structure.Under the thermal loading，multilayer structure composed by different material will create normal stress，shearing stress and peeling stress，and the stress variety concentre in the end of interface.Normal stress distributes in each layer，which value presents exponential decrease along with the distance from centre of each layer，and decreases sharply in the end until achieve minimum.Shearing stress and peeling stress main distribute in the interface of each layer，both values present exponential increate along with the distance from centre of bonded pair，and increase sharply in the end until achieve maximum.Then，the thermodynamic simulation has been analyzed on multilayer structure composed by four material such as glass，chromium，cuprum and nickel，which result validate the analytic model and the stress distributing in multilayer structure.

mems；multilayer structure；thermal stress；temperature load

TN4

A

1004-1699（2016）07-0994-06

2016-01-20修改日期：2016-02-27