一類非線性六階波動(dòng)方程的幾乎守恒律

王宏偉

（安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽 455000）

一類非線性六階波動(dòng)方程的幾乎守恒律

王宏偉

（安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽 455000）

研究了一類非線性六階波動(dòng)方程的Chaucy問題，通過引入一個(gè)修正的能量泛函，借助Airy方程的Strichartz估計(jì)，在Bourgain空間中證明了這類方程的幾乎守恒律.

修正的能量泛涵；幾乎守恒律；Bourgain空間

在研究具有表面張力的淺水波表面的毛細(xì)管重力波傳播問題時(shí)，Daripa和Dash［1］提出了如下的非線性六階波動(dòng)方程

這里u（x，t）是未知函數(shù)，φ（x），ψ（x）是已知的初始函數(shù)，下標(biāo)t，x分別表示對(duì)t，x求偏導(dǎo)數(shù)，f（u）是非線性項(xiàng)，β＝±1.方程（1）也可以作為彈性晶體中晶格動(dòng)力學(xué)問題的數(shù)學(xué)模型［2］.

當(dāng)非線性項(xiàng)f（u）＝u2時(shí)，Esfahani［3］研究了方程（1）局部解的適定性問題，即解的存在性、唯一性和解對(duì)初值的連續(xù)依賴性；Wang［4］討論了周期解的適定性問題.對(duì)非線性項(xiàng)f（u）＝｜u｜2u，Wang［5］利用I－能量方法證明了當(dāng)初值（φ，ψ）∈Hs×Hs－1，3／2＜s＜2時(shí)方程（1）整體解的適定性.

對(duì)更一般的非線性項(xiàng)f（u）＝｜u｜2ku，k≥1，k∈Z，方程（1）具有下面的能量守恒律［6，7］

當(dāng)初值（φ，ψ）∈Hs×Hs－1，s≥2時(shí)，利用局部解的存在性和守恒律就可以得到方程（1）整體解的適定性.當(dāng)初值的正則性指標(biāo)s＜2時(shí)，能量可能是無窮大，此時(shí)守恒律沒有意義.本文的主要目標(biāo)是引入一個(gè)修正的能量泛函，并在初值的正則性指標(biāo)1／2＜s＜2的條件下，證明這個(gè)能量泛函是幾乎守恒的.隨著時(shí)間的增大，該能量泛函可以得到控制，由此可以把局部解的存在區(qū)間延拓到任意的時(shí)間T，從而得到整體解的適定性.

1　預(yù)備知識(shí)

u（x，t）的時(shí)空Fourier變換定義為u∧（ξ，τ）＝∫R2e－i（xξ＋tτ）u（x，t）dtdx.對(duì)s∈R，Hs（R）表示通常的Sobolev空間，它的范數(shù)定義為‖f‖Hs＝‖〈ξ〉f∧（ξ）‖L2，其中〈·〉＝1＋｜·｜，記LqtLrx為混合時(shí)空范數(shù)

定義1 對(duì)s，b∈R，記Xs，b為Schwartz函數(shù)類在下列范數(shù)下的完備化空間

根據(jù)定義1，有如下范數(shù)的等價(jià)形式

利用Kato的光滑性估計(jì)［9］，有

由定義1直接可以得到

（4），（5）兩式利用插值定理，有

使用最大值函數(shù)的估計(jì)，還可以得到

下面我們給出一個(gè)新的修正的能量泛函.給定s＜2和一個(gè)常數(shù)N》1，定義乘子I為

把算子I作用到方程（1），（2）兩邊，得到

合并以上兩式，得到

2　主要結(jié)論

下面的定理說明，隨著時(shí)間的增大，E（Iu）（t）是幾乎守恒的.

定理 假定s＞1／2，N》1，Iu是（9）定義在［0，δ］上的解，則下列估計(jì)成立

證明 等式（11）兩邊在［0，δ］上對(duì)t積分，再應(yīng)用Parseval公式，得到

要得到（12），只須證明下列不等式成立關(guān)于ξ2，ξ3，…，ξ2k＋2的對(duì)稱性，不妨假定N2≥N3≥…≥N2k＋2.由于，故下面我們通過比較N和Ni的相對(duì)大小，分情況來證明（13）.

情形1：N》N2.此時(shí)根據(jù)m（ξ）的定義，（14）式的值等于零.（13）成立

情形2：N2＞N》N3.由于＝0，此時(shí)可以得到N1～N2.根據(jù)中值定理，有

由（6），（7）和Hlder不等式，可知

情形3：N2》N3＞N.此時(shí)，估計(jì)（14）如下

由于m（ξ2）～m（ξ3），得到

這里最后一個(gè)不等式成立是由于對(duì)任何p≥2－s，函數(shù)m（x）xp是單調(diào)增加的，并且m（x）〈x〉p是有下界的，這就表明

（1）N3》.此時(shí)A的估計(jì)如下

綜合以上各種情況，定理得到證明.

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The Almost Conervation Law of a Nonlinear Sixth－Order Wave Equation

WANG Hong－wei
（Department of Mathematic and Statistics，Anyang Normal Unversity，Anyang 455000，China）

In this paper，we study the Cauchy problem of a nonlinear sixth－order wave equation.We introduce a new modified energy function.By use of the Strichartz estimates of Airy equation，the almost conservation law of this equation is proved in Bourgain space.

modified energy functional；almost conservation law；Bourgain space

O175.25

A

1001－2443（2016）03－0226－04

10.14182／J.cnki.1001－2443.2016.03.004

2015－04－10

國(guó)家自然科學(xué)基金（10771166）；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（14B110028，16A110007）；安陽師范學(xué)院培育基金（AYNUKP－B04）.

王宏偉（1977－），男，河南湯陰人，講師，博士研究生.主要從事調(diào)和分析和偏微分方程的研究.

引用格式：王宏偉.一類非線性六階波動(dòng)方程的幾乎守恒律［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2016，39（3）：226－229.