基于瑞利法的多彈簧串聯(lián)等效質(zhì)量的確定

李立建，徐　音

(河南理工大學(xué) 萬(wàn)方科技學(xué)院，河南 鄭州 451400)

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基于瑞利法的多彈簧串聯(lián)等效質(zhì)量的確定

李立建，徐音

(河南理工大學(xué) 萬(wàn)方科技學(xué)院，河南 鄭州 451400)

基于瑞利法求解質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)固有頻率的分析思路與計(jì)算步驟.將工程實(shí)際問(wèn)題中可簡(jiǎn)化為由質(zhì)量塊與多彈簧串聯(lián)而成的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，通過(guò)采用瑞利法推導(dǎo)得到了其多個(gè)彈簧等效質(zhì)量的解析計(jì)算公式.同時(shí)，以兩彈簧串聯(lián)等效質(zhì)量的確定作為分析實(shí)例，對(duì)彈簧等效質(zhì)量的理論計(jì)算公式進(jìn)行了有效驗(yàn)證，并對(duì)兩彈簧串聯(lián)時(shí)兩彈簧的等效質(zhì)量與其自身質(zhì)量?jī)烧叩谋戎堤匦赃M(jìn)行了分析研究.研究?jī)?nèi)容將為多彈簧串聯(lián)其等效質(zhì)量的確定奠定了理論基礎(chǔ)，并且拓寬了瑞利法在工程實(shí)際中的應(yīng)用范圍.

瑞利法；固有頻率；多彈簧串聯(lián)；質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)；等效質(zhì)量

對(duì)于由質(zhì)量塊與單個(gè)彈簧串聯(lián)而成的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，計(jì)算系統(tǒng)固有頻率時(shí)僅考慮質(zhì)量塊的質(zhì)量對(duì)其的影響已能滿足實(shí)際要求.但在一些彈簧質(zhì)量相對(duì)于系統(tǒng)總質(zhì)量不可忽略時(shí)，再不考慮彈簧質(zhì)量在振動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的動(dòng)能，將導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果相對(duì)于實(shí)際結(jié)果偏差較大.

基于此，瑞利于1873年通過(guò)將彈簧質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響考慮進(jìn)去，提出了一種求解單自由度系統(tǒng)固有頻率的近似計(jì)算方法.隨后，相關(guān)學(xué)者對(duì)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)中的彈簧質(zhì)量的等效質(zhì)量進(jìn)行了系統(tǒng)而深入的研究，同時(shí)，瑞利法也被應(yīng)用于許多工程實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中[1-2]，為系統(tǒng)固有頻率的計(jì)算及結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與優(yōu)化奠定了理論基礎(chǔ).梁興雨等[3]通過(guò)將內(nèi)燃機(jī)曲軸等效為連續(xù)分布的階梯軸模型，基于瑞利法對(duì)高速內(nèi)燃機(jī)曲軸的軸向振動(dòng)進(jìn)行了研究.李龍根等[4]采用瑞利法對(duì)引線鍵合系統(tǒng)關(guān)鍵部件壓電微夾持器的抽象模型進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)建模及優(yōu)化，并將壓電微夾持器柔性連接及支臂部分的質(zhì)量對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率的影響考慮了進(jìn)去，從而得到了與系統(tǒng)固有頻率更為接近的精確解.石元華等[5]通過(guò)結(jié)合鄧柯萊法將瑞利法應(yīng)用于某飛機(jī)結(jié)構(gòu)成品件振動(dòng)試驗(yàn)的振動(dòng)夾具的設(shè)計(jì)當(dāng)中，極大降低了結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的成本及計(jì)算時(shí)間.同時(shí)，對(duì)由質(zhì)量塊與單個(gè)彈簧串聯(lián)而成的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)振動(dòng)周期求解項(xiàng)中關(guān)于彈簧等效質(zhì)量確定的相關(guān)研究也很多[6-10]，這里就不一一贅述.

然而在實(shí)際的工程問(wèn)題當(dāng)中，可等效為質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的工程結(jié)構(gòu)或機(jī)械結(jié)構(gòu)，并非僅是由質(zhì)量塊與單個(gè)彈簧串聯(lián)而成的，當(dāng)?shù)刃У馁|(zhì)量-彈簧系統(tǒng)中彈簧的剛度系數(shù)是分段相等時(shí)，質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)則變成了由質(zhì)量塊與多彈簧串聯(lián)組合而成，若此時(shí)仍采用單個(gè)彈簧的等效質(zhì)量來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率顯然是不合適的.因而，本文以質(zhì)量塊與多彈簧串聯(lián)而成的單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)為研究對(duì)象，在瑞利法求解質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)彈簧等效質(zhì)量的基礎(chǔ)上，對(duì)多彈簧串聯(lián)時(shí)其等效質(zhì)量的確定問(wèn)題進(jìn)行了研究，并結(jié)合兩彈簧串聯(lián)等效質(zhì)量確定作為數(shù)值算例對(duì)多彈簧等效質(zhì)量的確定進(jìn)行了驗(yàn)證.

1　多彈簧串聯(lián)等效質(zhì)量的確定

圖1　質(zhì)量塊和m個(gè)彈簧串聯(lián)　　　　的等效模型

由圖1可知，O1、O2、…、Om點(diǎn)的位移與系統(tǒng)廣義坐標(biāo)x之間的關(guān)系分別為：

(1)

由此可得到，彈簧1、彈簧2、…、彈簧m距固定端ξ處的位移為：

?

(2)

?

(3a)

(3b)

整個(gè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的總動(dòng)能為質(zhì)量塊和m個(gè)等效彈簧的動(dòng)能之和，則整個(gè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的總動(dòng)能為：

(4)

在平衡位置處，質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的動(dòng)能最大，由式(4)可得，其最大動(dòng)能為：

(5)

其中，彈簧1、彈簧2、…、彈簧m的質(zhì)量分別為M1=ρ1l1、M2=ρ2l2、…、Mm=ρmlm.

整個(gè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的最大勢(shì)能為：

(6)

根據(jù)機(jī)械能守恒原理可知，Tmax=Umax，于是聯(lián)立式(5)和式(6)可得：

(7)

式中，M1、M2、…、Mm分別為彈簧1、彈簧2、…、彈簧m的等效質(zhì)量，且滿足：

(8a)

?

(8b)

對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)，x=Asin(ωnt+φ)，振動(dòng)的最大幅值xmax=A，最大速度νmax=Aωn，將其分別代入式(7)便可得到質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的固有頻率為：

(9)

上述分析是在假定系統(tǒng)為靜變形時(shí)的振動(dòng)形式，并且由式(8)所得m個(gè)彈簧的等效質(zhì)量理論與實(shí)際相比，具有較高的求解精度，因而可用于多彈簧串聯(lián)時(shí)彈簧實(shí)際等效質(zhì)量的近似代替.

2　數(shù)值算例與特性分析

2.1 數(shù)值算例

下面以質(zhì)量塊與兩彈簧串聯(lián)而成的單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)為例，對(duì)上述理論推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)等效質(zhì)量的特性進(jìn)行分析.圖2為質(zhì)量塊與兩彈簧串聯(lián)的等效模型.

圖2　兩彈簧串聯(lián)的等效模型

由式(8)可知，當(dāng)m=2時(shí)，彈簧1和彈簧2的等效質(zhì)量可分別求得為：

(10)

令K2=ηK1，并令M1(η)=Me1/M1、M2(η)=Me2/M2，則式(10)可簡(jiǎn)化為：

(11)

從式(11)可見，兩彈簧的等效質(zhì)量與其自身質(zhì)量的比值均與兩彈簧剛度之間的比例系數(shù)η有關(guān)，而與兩彈簧的長(zhǎng)度無(wú)關(guān).同時(shí)，從式(11)也可得到，當(dāng)彈簧1和彈簧2的剛度系數(shù)相等時(shí)，即η=1時(shí)兩彈簧的等效質(zhì)量為：

(12)

當(dāng)彈簧1和彈簧2的剛度系數(shù)、質(zhì)量密度均相等時(shí)，即K1=K2和ρ1=ρ2=ρ，于是由式(12)可得到兩彈簧總的等效質(zhì)量為：

(13)

從式(13)所得的計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)兩彈簧滿足上述條件時(shí)，所得到的等效質(zhì)量與采用瑞利法計(jì)算得到的由質(zhì)量塊與單一彈簧組合而成的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)彈簧的等效質(zhì)量相同，可見，式(8)所確定的由質(zhì)量塊和多彈簧串聯(lián)而成的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)各彈簧的等效質(zhì)量計(jì)算公式是正確的.

3.2特性分析

由上述分析和式(11)可知，兩彈簧的等效質(zhì)量與其自身質(zhì)量的比值M1(η)與M2(η)均與兩彈簧剛度之間的比例系數(shù)η有關(guān)，其中，比例系數(shù)η的取值在[0,+∞)之間.由此可得：比值M1(η)與M2(η)隨比例系數(shù)η的變化曲線，如圖3所示.

圖3　比值M1(η)與M2(η)隨比例系數(shù)η的變化曲線

從圖3可見：當(dāng)比例系數(shù)η較小時(shí)，也即是彈簧1的剛度系數(shù)遠(yuǎn)大于彈簧2的剛度系數(shù)時(shí)，彈簧1的等效質(zhì)量幾近于零，因而對(duì)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的固有頻率影響甚微，可以忽略，且可以將其近似等效為剛度系數(shù)較大的剛體，這時(shí)對(duì)系統(tǒng)固有頻率產(chǎn)生影響的主要是剛度系數(shù)較小的彈簧2，其等效質(zhì)量為采用瑞利法計(jì)算由質(zhì)量塊與單個(gè)彈簧串聯(lián)而成的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)彈簧的等效質(zhì)量相同，為其自身質(zhì)量的1/3；當(dāng)比例系數(shù)η較大時(shí)，也即是彈簧1的剛度系數(shù)遠(yuǎn)小于彈簧2的剛度系數(shù)時(shí)，彈簧1和彈簧2的等效質(zhì)量分別接近與其自身質(zhì)量的1/3和1，說(shuō)明這時(shí)彈簧2可近似等效為剛度系數(shù)較大的剛體，對(duì)系統(tǒng)固有頻率影響較大，而剛度系數(shù)較小的彈簧1對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響的質(zhì)量?jī)H為其自身質(zhì)量的1/3.同時(shí)，從圖3還可看出，當(dāng)比例系數(shù)η約在區(qū)間(1,40]范圍內(nèi)變化時(shí)，兩者將共同對(duì)系統(tǒng)的固有頻率產(chǎn)生影響.

4　結(jié)論

在瑞利法求解單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，對(duì)由質(zhì)量塊與多彈簧串聯(lián)而成的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)中多個(gè)彈簧的等效質(zhì)量進(jìn)行了推導(dǎo)計(jì)算，得到了多個(gè)彈簧在剛度系數(shù)、密度、長(zhǎng)度均不相等情況的理論計(jì)算公式.對(duì)兩彈簧串聯(lián)時(shí)兩彈簧的等效質(zhì)量與其自身質(zhì)量的比值特性進(jìn)行了探討分析，發(fā)現(xiàn)該比值僅與兩彈簧剛度之間的比例系數(shù)η有關(guān)，而與兩彈簧的密度、長(zhǎng)度無(wú)關(guān).同時(shí)，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩彈簧之間的剛度系數(shù)相差懸殊時(shí)，若剛度系數(shù)較大的彈簧位于固定端一側(cè)時(shí)，對(duì)系統(tǒng)固有頻率影響較大的是剛度系數(shù)較小的彈簧；反之，兩者共同對(duì)系統(tǒng)的固有頻率產(chǎn)生影響.

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Equivalent mass determination of multiple springs in series based on Rayleigh method

LI Lijian，XU Yin

(Wanfang College of Science & Technology HPU, Zhengzhou 451400,China)

Based on the analysis thought and calculation steps of the Rayleigh method used for solving the natural frequency of mass-spring system, the simplifiable mass-spring system composed of single mass and multiple springs in series in the engineering practical problems, whose the analytical calculation formulas of multiple springs equivalent mass are derived by using the Rayleigh method in this paper. Meanwhile, the equivalent mass determination of two springs in series as an analysis example is used to verify the effectiveness of springs equivalent mass’s theoretical calculation formulas. the characteristics of ratio between spring equivalent mass and its own mass is also analyzed and studied at the time of the two springs in series. The research contents will be laid an theoretical foundation for the equivalent mass determination of multiple springs in series, and widens the application range of Rayleigh method in the engineering practice.

Rayleigh method; natural frequency; multiple springs in series; mass-spring system; equivalent mass

2016-03-23;

2016-04-18

河南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度( No.(2015)-JKGHYB-0681)

李立建(1986- )，男，河南周口人，講師，碩士，研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人及柔性機(jī)構(gòu).E-mail:lljianzhu@126.com，聯(lián)系電話：15038010200

O326；TH113.1

A

1671-9476(2016)05-0060-05

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.016