科赫雪花上的振動(dòng)模式

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州　313000)

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科赫雪花上的振動(dòng)模式

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州313000)

數(shù)值計(jì)算得到了科赫雪花上的本征振動(dòng)模式圖形. 討論了本征振動(dòng)頻率分布規(guī)律和振動(dòng)圖形的對(duì)稱性.

科赫雪花；振動(dòng)模式

圓形鼓振動(dòng)產(chǎn)生聲音，聲音的特征頻率理論上是拉普拉斯算符在圓形區(qū)域上滿足第一類邊界條件的本征值. 文獻(xiàn)[1]討論了等邊三角形、等腰直角三角形等形狀上的特征頻率及其振動(dòng)模式. 這些區(qū)域具有點(diǎn)群對(duì)稱性，周長(zhǎng)有限，本證頻率和振動(dòng)模式有解析表達(dá)式. 分形區(qū)域則具有自相似性，周長(zhǎng)無(wú)限但面積有限，只能用數(shù)值方法求解本征值. 同時(shí)具有點(diǎn)群對(duì)稱性和自相似性的分形物體是科赫雪花[2]，文獻(xiàn)[3]、[4]用數(shù)值方法計(jì)算得到了科赫雪花上的本征振動(dòng)頻率和圖形，所用方法有所區(qū)別，文獻(xiàn)[3]用的是專門設(shè)計(jì)的程序包，而文獻(xiàn)[4]用的是Mathematica軟件. 從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，大部分師生熟悉的是Mathematica軟件. 我們借用文獻(xiàn)[6]的思路和方法，利用Mathematica軟件，數(shù)值計(jì)算科赫雪花上的前6個(gè)本征振動(dòng)模式，討論這些本征模式的對(duì)稱性，以及本征頻率的分布規(guī)律.

1　科赫雪花及對(duì)稱性

科赫雪花操作如下，先從一個(gè)正三角形開始，每一條邊的中點(diǎn)向外作一個(gè)等邊三角形，邊長(zhǎng)是原來(lái)邊長(zhǎng)的三分之一.然后把等邊三角形的底邊去掉，再對(duì)每一條邊作同樣的操作，依次疊代下去，直至無(wú)窮，最終得到的圖形就是科赫雪花. 圖1是零到三次疊代操作的圖形，以科赫雪花的中心為原點(diǎn)，所在平面為Oxy平面. 由圖1可以看出，科赫雪花具有以下對(duì)稱性: 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)π/3的整數(shù)倍；反射對(duì)稱性，對(duì)Oxz平面和Oyz平面的反射對(duì)稱性；前面兩種基本對(duì)稱性的組合.

圖1　科赫雪花零級(jí)到三級(jí)近似

2　拉普拉斯算符的離散化

數(shù)值求解拉普拉斯算符本征值問題，一般采用離散化方法. 先用合適的網(wǎng)格剖分區(qū)域，設(shè)標(biāo)記為(m，n)的格點(diǎn)上的函數(shù)值為um，n，這個(gè)格點(diǎn)最鄰近的4個(gè)函數(shù)值分別為um+1，n，um-1，n，um，n+1，um，n-1. 設(shè)格點(diǎn)間距是a，于是離散化的本征值方程是

um+1，n+um-1，n+um，n+1+um，n-1-4um，n=λaum，n

(1)

考慮到所有的點(diǎn)以及邊界條件，并把二維標(biāo)記(m，n)按順序編號(hào)，式(1)化為矩陣形式的本征方程：

Lu=λau

(2)

其中L是拉普拉斯矩陣，矩陣元可以從式(1)中讀出. 這樣，本征值和本征函數(shù)就可以利用Mathematica內(nèi)置函數(shù)來(lái)求解.對(duì)于科赫雪花，并沒有采用常用的正方形網(wǎng)格剖分，而是正三角形剖分，更好地保持對(duì)稱性. 具體的網(wǎng)格剖分和拉普拉斯矩陣，請(qǐng)參考程序.

3　本征振動(dòng)模式及對(duì)稱性

考慮到篇幅和計(jì)算量，我們只給出前6個(gè)本征振動(dòng)模式的三維圖和等高線圖，如圖2—圖7所示.

圖2　第一本征振動(dòng)模式三維和等高線圖

圖3　第二本征振動(dòng)模式三維和等高線圖

圖4　第三本征振動(dòng)模式三維和等高線圖

圖5　第四本征振動(dòng)模式三維和等高線圖

圖6　第五本征振動(dòng)模式三維和等高線圖

圖7　第六本征振動(dòng)模式三維和等高線圖

由圖2—圖7可以看出，第一和第六模式保持科赫雪花的所有點(diǎn)群對(duì)稱性. 數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)，第二和第三模式是簡(jiǎn)并的，即它們具有相同的本征頻率；第二和第三模式只保持部分對(duì)稱性，及一種鏡面反射對(duì)稱性；第四和第五模式也是簡(jiǎn)并的，保持兩種鏡面反射對(duì)稱性.

4　本征值分布

設(shè)k是本征波矢量k2=λ，N(k)是波矢量小于k的本征模式數(shù)目(含簡(jiǎn)并)，當(dāng)波矢量k趨向無(wú)窮時(shí)，本征模式數(shù)目函數(shù)N(k)的漸近行為滿足Weyl-Berry定律[5]：

(3)

其中D是區(qū)域的維數(shù)，MD是區(qū)域的測(cè)度(體積或面積)，d是區(qū)域邊界的維數(shù)，mD是區(qū)域邊界的測(cè)度(面積或長(zhǎng)度). 如果是嚴(yán)格的科赫雪花，即近似階數(shù)趨向無(wú)窮，那么科赫雪花內(nèi)部區(qū)域的維數(shù)D=2，邊界的維數(shù)是d=ln4/ln3=1.261 86. 本文中的零級(jí)近似正三角形的邊長(zhǎng)是1，科赫雪花取到四級(jí)近似，此時(shí)它的面積是A=0.67，周長(zhǎng)是l=9.48. 如果不把四級(jí)近似的科赫雪花看作分形物體，而是一個(gè)多邊形，那么按照式(3)，本征模式數(shù)目分布是

Np(k)～0.055k2-0.189k

(4)

如果把四級(jí)近似的科赫雪花看作分形物體，邊界維數(shù)取為d，則本征模式數(shù)目分布是

NS(k)～0.055k2-0.213kd

(5)

由于計(jì)算條件制約，我們只考慮前220個(gè)本征波矢量，此時(shí)本征模式數(shù)目函數(shù)N(k)如圖8所示.

圖8　四級(jí)近似科赫雪花上本征模式數(shù)目函數(shù)

由圖8中得數(shù)據(jù)擬合得到的本征模式數(shù)目函數(shù)，如果把四級(jí)近似科赫雪花看作是多邊形，擬合公式是

Np(k)～0.073k2-1.345k

(6)

如果把四級(jí)近似科赫雪花看作是分形物體，擬合公式是

NS(k)～0.081k2-0.605kd

(7)

式(4)和式(6)誤差較大，式(5) 和式(7)誤差較小，這說(shuō)明四級(jí)近似的科赫雪花邊界具有分形特性，不是一般的多邊形.

5　結(jié)論

我們對(duì)四級(jí)近似的科赫雪花進(jìn)行正三角形網(wǎng)格剖分，數(shù)值求解，得到了離散化后的拉普拉斯算符的本征函數(shù)和本征值，畫出了科赫雪花上的前6個(gè)本征振動(dòng)模式. 這些模式，完全或部分保持了科赫雪花原有的對(duì)稱性. 數(shù)值計(jì)算得到了前220個(gè)本征波矢量的數(shù)目函數(shù)，擬合公式表明，科赫雪花的邊界具有分形特性.

[1]呼格吉樂，邱為鋼. 振動(dòng)模式的可視化[J]. 大學(xué)物理，2010，29(06)：40-42.

[2]科赫雪花[EB/OL]:http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html

[3]LapidusML，NeubergerJW，RenkaRJ，etal.Snowflakeharmonicsandcomputergraphics:numericalcomputationofspectraonfractaldrums[J].InternatJBifurcChaosApplSciEng，1996，6 (7)：1185-1210.

[4]McClureM.VibrationoftheKochdrum[J].MathEducRes，2007，12: 149-161.

[5]BerryM.StructuralStabilityinPhysics[M].Berlin:Springer-Verlag，1979: 51-53.

ThevibrationalmodesofKochsnowflakes

QIUWei-gang

(SchoolofScience,HuzhouTeachersCollege,Huzhou,Zhejiang313000,China)

TheeigenvibrationmodesofKochsnowflakearedrawnfromnumericalsolutions.Thesymmetriesofthesemodesanddistributionofwave-vectorarediscussed.

Kochsnowflake；vibrationalmodes

2015-02-25；

2015-05-19

國(guó)家自然科學(xué)基金(11475062，11275067)、湖州師范學(xué)院中青年教師卓越教學(xué)能力培養(yǎng)計(jì)劃專題項(xiàng)目(2014ZYJH017)資助

邱為鋼(1975—)，男，江蘇張家港人，湖州師范學(xué)院理學(xué)院副教授，博士，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)和研究工作.

教學(xué)討論

O411;O441

A

1000- 0712(2016)01- 0007- 04