基于衰減現(xiàn)象教學(xué)RC和RL暫態(tài)過程

趙　強(qiáng)，趙振杰

(華東師范大學(xué) 物理學(xué)系，上?！?00241)

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基于衰減現(xiàn)象教學(xué)RC和RL暫態(tài)過程

趙強(qiáng)，趙振杰

(華東師范大學(xué) 物理學(xué)系，上海200241)

結(jié)合現(xiàn)代教學(xué)理論，通過構(gòu)建簡單的物理衰減模型，從典型的簡單衰減過程的視角，對RC和RL暫態(tài)過程進(jìn)行了分析，并簡潔明確地詮釋了求解時常用的一階線性方程的三要素法的表達(dá)式的物理含義，從而得出了比較通用且意義明確的分析和求解策略，達(dá)到了改善教學(xué)效果的目的.

暫態(tài)過程；衰減.

RC和RL暫態(tài)過程是普通物理、電路分析和電工技術(shù)等課程的基本內(nèi)容.在教學(xué)過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生或多或少地傾向于憑借機(jī)械記憶來應(yīng)對這部分的學(xué)習(xí)，對教學(xué)效果產(chǎn)生不利影響.經(jīng)過分析，發(fā)現(xiàn)造成學(xué)習(xí)障礙的主要原因之一是在通常的課程內(nèi)容中，RC和RL暫態(tài)過程均有零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和全響應(yīng)的分類與次第，導(dǎo)致內(nèi)容在表面上顯得有些分散，不容易對暫態(tài)過程及其數(shù)學(xué)描述的深層的物理內(nèi)涵構(gòu)建出直觀的詮釋，導(dǎo)致不能較好地激發(fā)學(xué)生已有的知識記憶，以及與已有的知識記憶建立較強(qiáng)較深較廣的關(guān)聯(lián)，故而阻礙了高層次認(rèn)知目標(biāo)的達(dá)成.因此，如何在有限的課時內(nèi)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建較深層的意義，將會對本部分內(nèi)容的教學(xué)效果帶來顯著影響.

雖然目前認(rèn)知心理學(xué)中的信息加工理論模型和建構(gòu)主義理論模型的合理性仍然遭受一些質(zhì)疑，但其對教學(xué)決策的指導(dǎo)作用已被廣泛認(rèn)可.因此，在教學(xué)過程中，可以從深層的物理內(nèi)涵出發(fā)，基于同學(xué)們熟悉的、簡單的和直觀的現(xiàn)象來構(gòu)建問題分析模型，可以更好地引導(dǎo)學(xué)生提取具有高度相關(guān)性的已有記憶和激活有效的先驗圖式，進(jìn)行富有意義和效果的編碼過程，最終實(shí)現(xiàn)較深層次的記憶的重構(gòu)[1-4].這樣，不但有利于學(xué)生快速掌握學(xué)習(xí)任務(wù)，在新的任務(wù)中也能夠快速有效地激活先驗圖式以及實(shí)現(xiàn)相關(guān)記憶的激活擴(kuò)散，從而實(shí)現(xiàn)較好的遠(yuǎn)程遷移效果[3].

基于此，本文嘗試在教學(xué)策略中，由簡單的典型物理衰減現(xiàn)象入手構(gòu)建模型，實(shí)現(xiàn)從衰減過程的角度詮釋暫態(tài)過程，從而將暫態(tài)過程的更深層的物理內(nèi)涵給予比較直觀的揭示.最后，由得出的對一階線性微分方程的三要素法的表達(dá)式的物理含義的詮釋，實(shí)現(xiàn)改善教學(xué)效果的目的.

1　對常系數(shù)衰減現(xiàn)象的分析

教學(xué)中常見的衰減過程是典型的等系數(shù)簡單衰減過程，如放射性物質(zhì)的衰變和光在均勻介質(zhì)中的衰減等現(xiàn)象.若定義I為衰減的物理量，α為衰減系數(shù)，t為變化的參數(shù).其中，最簡潔的情形是令t=0時I=I0，并且t=∞時I=0，這一過程可以用一階線性微分方程

(1)

來表示，其解為

I=I0e-αt

(2)

然而，對終止?fàn)顟B(tài)It=∞≠0的情形，以及I隨t增加的情形探討的較少.這導(dǎo)致在遇到很多此類衰減現(xiàn)象時，教師和學(xué)生都因為先驗圖式的不足而很難激活與衰減過程相應(yīng)的概念以及問題解決圖式來解決問題，成為潛在的學(xué)習(xí)阻礙.

對于終態(tài)I∞≠0的情形，例如當(dāng)所處的環(huán)境中相應(yīng)的物質(zhì)或能量的背景(本底)值不為零時，由于與周邊環(huán)境的交換，均會導(dǎo)致I∞≠0，也就是物理量I發(fā)生了衰減的只有I0-I∞.以及I隨t增加的情形可以看作是衰減系數(shù)為負(fù)所致，當(dāng)然，這也可以看作是因為觀察角度的不同所致，例如下課時教室中空座位會隨同學(xué)們的離座而增加.對于這類情形，滿足的方程為

(3)

若將I∞選作I的參考0值，為了方便表述，令Y=I-I∞，則有Y0=Yt=0=I0-I∞和Y∞=Yt=∞=I∞-I∞=0.也就是說，此時的衰減過程變?yōu)槭?1)所描述的最簡單的情形，則解為

Y=Y0e-at

即

I=I∞+(I0-I∞)e-at

(4)

因此，其含義可以由圖1來詮釋，若以終態(tài)為參考點(diǎn)，則這一過程反映的是初態(tài)與終態(tài)間的差值的衰減過程.另外，可以看出式(4)就是一階常系數(shù)線性微分方程的三要素法的表達(dá)式

f=f∞+(f0-f∞)e-At

(5)

式中f∞和f0分別是t=∞和t=0時的值，A=1/τ(τ為時間常數(shù)).

圖1　衰減過程示意圖(Y0=I0-I∞)

基于上述的探討，下面分別對RC和RL暫態(tài)過程進(jìn)行分析.

2　對RC暫態(tài)過程的分析

如圖2所示的RC回路，在時間t=0之前，開關(guān)S閉合于位置1，電路處于穩(wěn)態(tài)，且電容器兩端的電壓uC=E1.因此，在t=0，S切換到位置2后，電路的暫態(tài)過程是由下式描述的全狀態(tài)響應(yīng)：

圖2　RC回路

(6)

由i=(E2-uC)/R，可以看出，電路的暫態(tài)過程和式(3)給出的類似.因此，如果以uc(t=∞)=E2作為參考0電位(即以a點(diǎn)的電位為參考0電位)，那么b點(diǎn)電位uΔ=uc-E2，且

(7)

方程的解為

(8)

則

(9)

這一結(jié)果完全符合式(5)的描述.其物理含義可以簡單詮釋為：E1-E2是uΔ的初始值，反映的是電容器兩端電壓的初態(tài)與終態(tài)間的差值.若電容器C所存儲的電量Q以uc(t=∞)=E2時的電量為參考0點(diǎn)，則S切換前，電容器存儲的電量為Qt≤0=C(E1-E2)，而且S切換后電流i與Q成正比，因此，暫態(tài)過程就是這部分電量的等系數(shù)衰減過程.也就是說，電路的暫態(tài)過程是電量的初態(tài)和終態(tài)間的差值的衰減過程.

另外，式(9)也可以表達(dá)為

(10)

3　對RL暫態(tài)過程的分析

如圖3所示的RL回路，在t=0時刻之前，開關(guān)S閉合于位置1，且電路處于穩(wěn)態(tài)，流過電感的電流i=I1=E1/R，當(dāng)t=0時，將S切換到位置2.則電路的暫態(tài)過程是由下式描述的全狀態(tài)響應(yīng)，并且當(dāng)t=∞時，i=I2：

圖3　RL回路

(11)

若以I2為電流的參考0值，則電流值可以被表示為iΔ=i-I2，且

(12)

(13)

則

(14)

這一結(jié)果完全符合式(5)的描述.其物理含義可以簡單詮釋為：電感中的磁通量Φ與磁通勢F成正比，而磁通勢F與電流i成正比，因此Φ=Ki，K是一個與電感結(jié)構(gòu)等有關(guān)的常數(shù).I1-I2是iΔ的初始值，反映的是電感L中磁通量的初態(tài)和終態(tài)間的差值.若電感中的磁通量以t=∞時的磁通量為參考0值，則S切換前，電感中的磁通量Φt≤0=K(I1-I2)，暫態(tài)過程反映的就是這部分磁通量等系數(shù)的衰減過程.當(dāng)然，如果可以引入磁荷的觀點(diǎn)，那么將會更加直觀.

進(jìn)一步，對電感L來說，可以將恒壓源E1與E2分別和電阻R串聯(lián)時組成的電壓源分別等效變換為電流源I1與I2，如圖4所示，則上述詮釋會更為明顯.

圖4　RL回路的電流源模型

另外，式(14)可以表達(dá)為

(15)

式中第一項i′反映的是I2=0時的零輸入狀態(tài)響應(yīng).第二項i″反映的是I1=0時的零狀態(tài)響應(yīng).而i是上述兩個過程的線性疊加.也就是說，可以將電感中的磁通量看作是由兩部分磁通量動態(tài)疊加的結(jié)果，其中一部分是零輸入響應(yīng)的電感中的初始電流所產(chǎn)生的磁通量，另一部分是進(jìn)行零狀態(tài)響應(yīng)的電流產(chǎn)生的磁通量.

4　總結(jié)

暫態(tài)過程中，RC回路可以理解為電容器存儲的電荷量(或電壓)的衰減，RL回路可以理解為電感中磁通量(或磁通勢)的衰減.如果以終態(tài)作為參考0值，則衰減過程變?yōu)橐粋€由下式描述的零輸入狀態(tài)響應(yīng)：

(16)

其解由式(5)給出.并且可以表示為

(17)式中第一項f ′反映的是f∞=0時的過程(零輸入響應(yīng))，第二項f ″反映的是f0=0時的過程(零狀態(tài)響應(yīng)).而f反映的是更普通的過程(全狀態(tài)響應(yīng))，而且可以認(rèn)為是上述兩個過程的線性疊加.

因此，可以基于典型的常系數(shù)衰減過程來類比分析RC回路和RL回路的暫態(tài)過程.對學(xué)生來說，可以有效地激活已有的知識記憶，并且建立意義明確的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)了改善教學(xué)效果的目的.

[1]KinjoH，SnodgrassJG.Doesthegenerationeffectoccurforpictures[J].AmericanJournalofPsychology，2000，113： 95-121.

[2]McNamaraDS，HealyAF.Agenerationadvantageformultiplicationskilltrainingandnonwordvocabularyacquisition[M].Learningandmemoryofknowledgeandskills:Durabilityandspecificity.ThousandOaks，CA:SagePublicationsInc， 1995: 132-169.

[3]RadvanskyGA.Situationmodels，propositions，andthefaneffect[J].PsychonomicBulletin&Review，2005(12): 478-483.

[4]AnitaWoolfolk，EducationalPsychology[M]. 10thEdition.PearsonEducationInc,2007: 292-301.

TeachingRCandRLtransient state processes based on attenuation phenomena

ZHAO Qiang, ZHAO Zhen-jie

(Department of Physics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

According to the modern educational theories, a typical attenuation with a constant attenuation coefficient is analyzed to decipherRCandRLtransient state processes, and the essence of three-factor method for the first order circuit is revealed. Consequently, an active and meaningful strategy for solving these problems is obtained and therein lies a successful method of improving the learning effect.

transient state process; attenuation

2015-04-09；

2015-06-01

華東師范大學(xué)實(shí)驗教學(xué)設(shè)備研制基金(41000-562930-14203/005)資助

趙強(qiáng)(1972—)男，新疆奇臺縣人，華東師范大學(xué)物理學(xué)系副研究員，博士，主要從事物理學(xué)科教學(xué)方向的研究和教學(xué)工作.

O441.1;G642.1;TM131.2

A

1000- 0712(2016)01- 0017- 03