具不同階導(dǎo)數(shù)的中值問題的輔助函數(shù)構(gòu)造方法分類

滕興虎，陳桂東，毛自森，張燕

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具不同階導(dǎo)數(shù)的中值問題的輔助函數(shù)構(gòu)造方法分類

滕興虎，陳桂東，毛自森，張燕

（解放軍理工大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211101）

針對(duì)中值問題中中值表達(dá)式含有函數(shù)不同階導(dǎo)數(shù)的情形，基于函數(shù)求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則，對(duì)輔助函數(shù)的類型進(jìn)行了分類與總結(jié)，并以實(shí)例做了具體的說明．

微分中值定理；積分中值定理；中值點(diǎn)；輔助函數(shù)

在高等數(shù)學(xué)中，介值定理、微分中值定理、泰勒公式、費(fèi)馬定理和積分中值定理等內(nèi)容均涉及到中值點(diǎn)的存在性問題[1-3]．這些內(nèi)容具有嚴(yán)密的邏輯推理，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，既是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)．特別是所需證明的中值表達(dá)式中含有函數(shù)不同階導(dǎo)數(shù)的一類問題，在中值定理的應(yīng)用中，具有更強(qiáng)的綜合性，問題的難度更大[4-9]．針對(duì)中值問題中的此類問題，本文基于函數(shù)求導(dǎo)的四則運(yùn)算法則，對(duì)輔助函數(shù)的類型進(jìn)行了分類與總結(jié)，并以實(shí)例做了具體的說明．

1構(gòu)造2個(gè)函數(shù)相乘型的輔助函數(shù)

1∶250 000比例尺圖上面積大于2 mm2(實(shí)地面積125 000 m2)的水庫依比例尺表示(按面采集)[2]。

2構(gòu)造2個(gè)函數(shù)相除型的輔助函數(shù)

3構(gòu)造不同函數(shù)項(xiàng)相加或相減型的輔助函數(shù)

將包含同階或不同階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)項(xiàng)，進(jìn)行相加或相減作為輔助函數(shù)，在一定約束條件下，可以得到含有不同階的中值表達(dá)式．

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：68-242

[2] 四川大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（第一冊(cè)）[M]．北京：高等教育出版社，1978：113-122

[3] 徐森林，薛春華．?dāng)?shù)學(xué)分析（第一冊(cè)）[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2005：185-197

[4] 李心燦．大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試難題解析選編[M]．2版．北京：高等教育出版社，2000：226-396

[5] 西北工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室．高等數(shù)學(xué)專題分類指導(dǎo)[M]．上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，1999：58-78

[6] 陳兆斗，鄭連存，王輝，等．大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題精講[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2010：36-47

[7] 王戈平．?dāng)?shù)學(xué)分析選講[M]．徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2002：107-118

[8] 徐利治．大學(xué)數(shù)學(xué)解題方法詮釋[M]．合肥：安徽教育出版社，1999：55-70

[9] 胡適耕．大學(xué)解題藝術(shù)[M]．長沙：湖南大學(xué)出版社，1999：296-302

The classification of the method of the construction of the auxiliary function in the mean value problems with different order derivative

TENG Xing-hu，CHEN Gui-dong，MAO Zi-sen，ZHANG Yan

（School of Science，PLA University of Science and Technology，Nanjing 211101，China）

In the discussion of mean value problems，some mean value expression has function with different order．To solve this kind of problems，the type of auxiliary function was classified and summarized base on the function derivation law．Also，some special examples was given．

differential mean value theorem；integral mean value theorem；mean value point；auxiliary function

O172

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.005

2015-12-15

解放軍理工大學(xué)校級(jí)課題（GJ1507037）

滕興虎（1975-），男，江蘇邳州人，碩士，講師，從事數(shù)學(xué)教育與非線性動(dòng)力學(xué)研究．E-mail：tengxh3121@163.corn

1007-9831（2016）04-0018-04