概率密度函數(shù)連續(xù)和不連續(xù)兩種不同假設(shè)下的解題比較

胡吉卉，　吳　鶯，　劉繼成

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074)

?

概率密度函數(shù)連續(xù)和不連續(xù)兩種不同假設(shè)下的解題比較

胡吉卉，吳鶯，劉繼成

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074)

概率密度函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量?jī)H是一類特殊的連續(xù)型隨機(jī)變量，因此假設(shè)概率密度函數(shù)連續(xù)是一個(gè)苛刻的限制.本文在隨機(jī)變量概率密度函數(shù)連續(xù)和不連續(xù)兩種不同假設(shè)下比較了兩個(gè)典型例題的證明，可以看出兩者的思路是完全不同的，后者通常更具有普遍性.

連續(xù)型隨機(jī)變量； 概率密度函數(shù)； 矩母函數(shù)； 指數(shù)分布

1　引　　言

眾所周知，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)有時(shí)是不連續(xù)的，只要不影響其積分的值甚至可以隨意改變?cè)谝恍c(diǎn)上密度函數(shù)的定義.因此，具有連續(xù)概率密度函數(shù)的隨機(jī)變量?jī)H是一類非常特殊的隨機(jī)變量，假設(shè)概率密度函數(shù)連續(xù)則是一個(gè)非常苛刻的條件.因此，如果增加了概率密度函數(shù)連續(xù)的假設(shè)，往往使要處理的問題變得特殊.本文將從兩個(gè)具體例子出發(fā)，比較在概率密度函數(shù)連續(xù)和不連續(xù)兩種不同假設(shè)下證明方法的異同.

2　例1解題比較

兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義是聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.但是，通常概率論教材(見[1] P.50的(3))中提到連續(xù)型隨機(jī)變量情形時(shí)會(huì)直接給出結(jié)論：兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立等價(jià)于聯(lián)合密度函數(shù)等于兩個(gè)邊緣密度函數(shù)的乘積.因?yàn)檫@里是函數(shù)的相等，若要求概率密度函數(shù)在每點(diǎn)都相等顯然太強(qiáng)了,也是不必要的.事實(shí)上，只要在除去Lebesgue測(cè)度為零的集合之外兩者相等就能說明這兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的.注意到這一點(diǎn)后，利用該等式證明兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立一般是容易處理的.

另一方面，我們也經(jīng)常會(huì)遇到相反的問題.假設(shè)兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立，然后需要證明他們擁有某些性質(zhì).此時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的條件告訴我們的信息自然也只能是：聯(lián)合密度函數(shù)在幾乎處處意義下等于兩個(gè)邊緣密度函數(shù)的乘積.如果聯(lián)合密度函數(shù)以及兩個(gè)邊緣密度函數(shù)都是連續(xù)的，則可以推出該等式是對(duì)每點(diǎn)都是成立的.考察下面的例子(參見[4] P.91例3.10).

證1僅證明必要性，充分性容易直接驗(yàn)證.二維正態(tài)分布的密度函數(shù)為

兩個(gè)邊緣分布為

注意到這三個(gè)函數(shù)是連續(xù)的，則X和Y獨(dú)立蘊(yùn)含

f(x,y)=fX(x)fY(y)

對(duì)所有的x,y∈成立.特別地，f(μ1,μ2)=fX(μ1)fY(μ2)，因此

易知ρ=0.

下面考慮的問題是，如果不用密度函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)，如何證明例1的結(jié)論呢？見下面的證明.

證2令

則X*和Y*獨(dú)立，且E(X*)=E(Y*)=0.因此E(X*Y*)=E(X*)E(Y*)=0.另一方面，直接計(jì)算

因此ρ=0.

3　例2解題比較

例1中我們事先知道隨機(jī)變量具有連續(xù)的概率密度函數(shù)，因此例1中證1的證明也是可行的.然而，通常的情形是，事先并不知道假設(shè)中的概率密度函數(shù)是否連續(xù)，此時(shí)就不能直接將聯(lián)合密度函數(shù)在每點(diǎn)都等于兩個(gè)邊緣密度函數(shù)乘積作為條件來使用.事實(shí)上，在沒有概率密度連續(xù)的假設(shè)下，有關(guān)概率密度的等式都只能理解為幾乎處處意義下成立，考察下面的例子.

例2設(shè)X和Y為取非負(fù)實(shí)值的連續(xù)型隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立.若對(duì)任意u>0，在給定X+Y=u的條件下，X服從[0,u]上的均勻分布，證明X和Y都服從指數(shù)分布.

證1增加假設(shè)：X和Y的密度函數(shù)在[0,+∞)上連續(xù).

第1步：設(shè)X和Y的概率密度函數(shù)分別為fX(x)和fY(y)，則(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為fX(x)fY(y).做變換

則逆變換為

此變換的Jacobi矩陣的行列式為

因此(參見[2]P.169)，(U，V)的聯(lián)合密度函數(shù)為

fU,V(u,v)=fY(u-v)fX(v),u,v≥0, u≥v.

因此，在給定U=u條件下V的條件密度函數(shù)為

(1)

第2步：由假設(shè)

等式(1)以及密度函數(shù)的連續(xù)性得

(2)

對(duì)所有的u≥v≥0成立.注意到，等式(2)右邊僅與u有關(guān)，與v無關(guān).因此，對(duì)每個(gè)u≥0

fY(u-v)fX(v)=fY(u-v′)fX(v′),?0≤v,v′≤u.

特別地，令v′=0和v′=u得

fY(u)fX(0)=fY(0)fX(u)=fY(u-v)fX(v),0≤v≤u.

(3)

(3)的第一個(gè)等式表明，fX(u)與fY(u)最多僅相差一個(gè)常數(shù)的倍數(shù).因?yàn)樗鼈兌际敲芏群瘮?shù)，由密度函數(shù)的規(guī)范性，有

fX(x)=fY(x),x≥0.

亦即X和Y同分布.

第3步：令

則g(0)=1，且g連續(xù).由(3)的第二個(gè)等式知，g滿足

g(u-v)g(v)=g(u),0≤v≤u.

令x=v,y=u-v，則

g(x+y)=g(x)g(y),x,y≥0,g(0)=1.

該方程的唯一解為g(x)=e-λx，故fX(x)=fX(0)e-λx,x≥0.最后，注意到密度函數(shù)的規(guī)范性，得

fX(x)=λe-λx,x≥0.

其中λ=fX(0).所以X與Y均服從參數(shù)為λ=fX(0)的指數(shù)分布.

若去掉例1上面證明中fX(x)和fY(y)連續(xù)的假設(shè)，則等式(1)只是對(duì)幾乎處處u≥v≥0成立，所以等式(2)在v=0和v=u這兩個(gè)特殊點(diǎn)的值可能是不相等的，無法得到關(guān)鍵的等式(3).因此，上面的證明思路是行不通的.為此，我們將選用矩母函數(shù)的方法給予證明.

證2不需要假設(shè)：X和Y的密度函數(shù)在 [0,+∞)上連續(xù).

第1步： 證明X和Y同分布.因?yàn)閷?duì)任意u>0在給定X+Y=u的條件下，X服從[0,u]上的均勻分布，所以

因此，對(duì)任意u>0，在給定X+Y=u的條件下，Y的分布函數(shù)為

P(Y≤y|X+Y=u)=P(u-X≤y|X+Y=u)

亦即，對(duì)任意u>0，在給定X+Y=u的條件下，Y也服從[0,u]上的均勻分布.因此(X,X+Y)與(Y,X+Y)有相同的聯(lián)合分布.特別地，它們的邊緣分布相同，因此X和Y同分布.

第2步： 因?yàn)閄和Y同分布，設(shè)X和Y的概率密度函數(shù)都為f(x)，分布函數(shù)為F(x).記U=X+Y,U的密度函數(shù)為fU(u), (X,U)的聯(lián)合密度函數(shù)為fX,U(x,u),X關(guān)于U的條件密度函數(shù)為fX|U(x|u).由假設(shè)，則(X,U)的聯(lián)合密度函數(shù)為

因此

(4)

第3步： 記X的矩母函數(shù)為φ(t),U的矩母函數(shù)為φU(t)，則(參見[3]P.248)

φU(t)=φ2(t).

(5)

另一方面，由等式(4)并交換積分次序，有

(6)

其中

(7)

為常數(shù).改寫(6)最后一個(gè)等式中的積分，并交換期望和積分次序，再由矩母函數(shù)的定義及等式(5)，有

代入(6)式得

(8)

第4步： 記Φ(t)=tφ(t).對(duì)(8)式兩邊關(guān)于t微分有

分離變量得

兩邊積分得

因此

φ(t)與參數(shù)為λ的指數(shù)分布的矩母函數(shù)形式一致(參見[3]P.246例6c).因?yàn)殡S機(jī)變量的矩母函數(shù)和分布是一一對(duì)應(yīng)的(參見[3]P.248)，所以X和Y都服從參數(shù)為λ指數(shù)分布.

注若函數(shù)f(x)連續(xù)，(4)式和(7)式說明λ=f(0)，這與證1結(jié)果一致.但若f(x)不連續(xù)，X和Y分布的參數(shù)則由(7)式?jīng)Q定.

4　結(jié)　　論

連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)有時(shí)是不連續(xù)的，具有連續(xù)概率密度函數(shù)的隨機(jī)變量?jī)H是一類特殊的隨機(jī)變量，所以假設(shè)概率密度函數(shù)連續(xù)是一個(gè)非?？量痰臈l件，其證明方法不具有一般性.在沒有概率密度連續(xù)的假設(shè)下，有關(guān)概率密度的等式都只能理解為幾乎處處意義下成立，此時(shí)變通的方法通常是選用分布函數(shù)、數(shù)字特征、矩母函數(shù)或者特征函數(shù)作為替代的證明工具.

特別地，兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立等價(jià)于聯(lián)合密度函數(shù)在幾乎處處的意義等于兩個(gè)邊緣密度函數(shù)的乘積.因此，若要通過該等式證明兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立，我們可以允許在Lebesgue測(cè)度為零的集合之外等式不成立.反之，當(dāng)用兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立作為條件時(shí)，盡管可能要證明的結(jié)果中密度函數(shù)的確是連續(xù)的，我們通常也不能事先使用聯(lián)合密度函數(shù)在每點(diǎn)都等于兩個(gè)邊緣密度函數(shù)乘積的等式.

[1]劉次華.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 2版. 武漢：華中科技大學(xué)出版社， 2012.

[2]李賢平.概率論基礎(chǔ)[M].3版. 北京：高等教育出版社， 2010.

[3]Sheldon Ross.概率論基礎(chǔ)教程[M].6版. 北京：機(jī)械工程出版社， 2006.

[4]華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)系.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.北京：高等教育出版社， 2003.

The Comparisons of Examples Under Continuous and Discontinuous Assumptions for Probability Density Function

HUJi-hui，WUYing，LIUJi-cheng

(School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China)

The random variable with continuous probability density function is only a special kind of continuous random variables, so the assumption that random variable has a continuous probability density function is very strict. In this paper, we give a comparison of the proofs for two typical examples under continuous and discontinuous assumptions, it shows that these two methods are completely different, the latter usually has more universality.

continuous random variable; probability density function; moment generating function; exponential distribution

2015-11-13；[修改日期] 2016-03-09

華中科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目(2015067)，華中科技大學(xué)自主創(chuàng)新研究基金(2014TS066)

胡吉卉(1976-),女，博士，副教授，從事概率統(tǒng)計(jì)研究.Email: hujihui@hust.edu.cn

吳鶯(1979-),女，博士，講師，從事概率統(tǒng)計(jì)研究.Email: yingwu@hust.edu.cn

O172.2

C

1672-1454(2016)03-0106-05