關(guān)于替換定理的兩點(diǎn)注記

郭聿琦,　胡　洵,　陳玉柱

(蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州730000)

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關(guān)于替換定理的兩點(diǎn)注記

郭聿琦,胡洵,陳玉柱

(蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州730000)

替換定理是線性空間(數(shù)域上的線性空間V，特別地，n)理論中涉及線性相關(guān)性的最基本的一個(gè)事實(shí).為了引導(dǎo)學(xué)生更好地理解它，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中形成了關(guān)于它的兩點(diǎn)注記.

替換定理； 極大線性無(wú)關(guān)向量組； N-最大線性無(wú)關(guān)向量組

定理1(替換定理)[1-4]令α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt∈n.若

(i){α1,α2,…,αs}是線性無(wú)關(guān)的，(ii){α1,α2,…,αs}可由{β1,β2,…,βt}線性表出，

則s≤t，且適當(dāng)排列{β1,β2,…,βt}的順序，向量組{α1,…,αs,βs+1,…,βt}與{β1,β2,…,βt}等價(jià)(可相互線性表出) .

替換定理的最基礎(chǔ)部分是該定理的第一個(gè)結(jié)論. 為了引導(dǎo)學(xué)生更好地理解它，我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中積累了下述兩點(diǎn)注記.

1　關(guān)于替換定理的一個(gè)理解

對(duì)替換定理的理解表現(xiàn)在下面一個(gè)定理里.

(i)令α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt∈n. 若{α1,α2,…,αs}線性無(wú)關(guān)，且{α1,α2,…,αs}可由{β1,β2,…,βt}線性表出，則s≤t.

(ii) 令m,n∈+.若m>n，則n中任意m個(gè)向量線性相關(guān).

(iii)上m個(gè)未知量n個(gè)方程的線性齊次方程組

(1)

在m>n時(shí)，有非零解.

(iv)關(guān)于n的任意向量集S，{β1,β2,…,βt}為S的極大線性無(wú)關(guān)向量組當(dāng)且僅當(dāng){β1,β2,…,βt}為S的N-最大線性無(wú)關(guān)向量組.

證(i)?(ii).n的任意向量顯然都可由(ε1,ε2,…,εn)線性表出，其中ε1,ε2,…,εn依次為n階單位陣的n個(gè)列向量.又若n的l個(gè)向量α1,α2,…,αl線性無(wú)關(guān)，則根據(jù)(i)，有l(wèi)≤n. 因此，n中任意m個(gè)向量，m>n時(shí)，線性相關(guān).

(ii)?(iii).考察方程組(1)，即上的矩陣方程

(2)

令

αi=(a1i,a2i,…,ani)′∈n,i=1,2,…,m.

由已知m>n，根據(jù)(ii)，向量組{α1,…,αm}線性相關(guān)，即矩陣方程(2)，從而(1)有非零解.

(iii)?(iv). “當(dāng)”是顯然的，只證“僅當(dāng)”的部分. 令{β1,β2,…,βt}為S的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)向量組，{α1,α2,…,αs}為S的任一線性無(wú)關(guān)向量組. 則根據(jù)假設(shè)，{α1,α2,…,αs}可由{β1,β2,…,βt}線性表出，即存在aij,i=1,2,…,s,j=1,2,…,t，使得

當(dāng)且僅當(dāng)(k1,k2,…,ks)′為下線性方程組

的解.若s>t，則根據(jù)(iii)，上方程組有非零解，即{α1,α2,…,αs}線性相關(guān)，一個(gè)矛盾. 從而{β1,β2,…,βt}為S的N-最大線性無(wú)關(guān)向量組.

用非常初等的方法就可證明上定理的第(iii)款成立，從而，上定理的各款成立，特別地，替換定理的第一個(gè)結(jié)論成立.我們順便羅列這一證明如下.

上定理的第(iii)款成立的證明

考查齊次線性方程組(1)， 即考查下矩陣方程

An×mX=θ.

(2)

對(duì)矩陣A作有限次行的3種初等變換(相當(dāng)于對(duì)(2)作方程間的3種初等變換，它們保持前后方程組的同解性)和列的交換.令A(yù)的秩為r，有

其中r≤n

(3)

與(2)同解，其中X*=(xi1,xi2,…,xim)′.注意，列交換時(shí)，要記住未知量也作出的相應(yīng)的交換.因此，(3)的解(ai1,ai2,…,aim)′就是(2)的解(a1,a2,…,am)′((3)與(2)，從而(3)與(1)的同解就是建立在這個(gè)意義上的).

而(3)又同解于

r≤n

2　定理3在數(shù)域上一般線性空間V中的表現(xiàn)形式

定理4令V為數(shù)域上一線性空間，則下列諸款等價(jià)：

(i) 令α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt∈V.若{α1,α2,…,αs}線性無(wú)關(guān)，且{α1,α2,…,αs}可由{β1,β2,…,βt}線性表出，則s≤t.

(iii)上m個(gè)未知量n個(gè)方程的線性齊次方程組

在m>n時(shí)，有非零解.

(iv) 令V1=G[α1,α2,…,αs]≤V，αi∈V，i=1,…,s.則關(guān)于V1的任意向量集S，{β1,β2,…,βt}為S的極大線性無(wú)關(guān)向量組當(dāng)且僅當(dāng){β1,β2,…,βt}為S的N-最大線性無(wú)關(guān)向量組.

[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù) [M].3版.北京：高等教育出版社，2011.

[2]張賢科，許甫華.高等代數(shù)學(xué) [M].2版.北京：清華大學(xué)出版社，2004.

[3]郭聿琦, 岑嘉評(píng), 徐貴桐. 線性代數(shù)導(dǎo)引 (面向 21 世紀(jì)課程教材)[M]. 北京: 科學(xué)出版社，2004.

[4]Yuqi Guo，Karping Shum，Guitong Xu.Linear Algebra (Translated by P. K. Tam from the new version of [3])[M]. Beijing: Science Press，2007.

[5]郭聿琦, 岑嘉評(píng), 王正攀.高等代數(shù)學(xué)教程[M].北京: 科學(xué)出版社, 2014.

[6]Karl W. Gruenberg，Alan J. Weir.Linear Geometry [M].2nd Ed. Springer-Verlag，New York Inc.，1977.

Two Notes on the Replacement Theorem

GUOYu-qi,HUXun，CHENYu-zhu

(Lanzhou University, Department of Mathematics and Statistics，Lanzhou 730000, China)

The replacement theorem is the most basic fact in the linear space theory dealing with linearly dependent property. In the teaching practice, we accumulate two notes that makes the theorem be understood better.

the replacement theorem; the maximal linearly independent vector set; the N-maximum linearly independent vector set

2015-01-07；[修改日期] 2016-03-14

蘭州大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目資助

郭聿琦(1940-)，男，教授，博導(dǎo)，從事代數(shù)學(xué)-半群與組合半群的研究.Email: yqguo259@swu.edu.cn

O153

C

1672-1454(2016)03-0111-03