非均勻平面對(duì)稱的Quintessence宇宙模型

王劍蘋， 沈 明

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州　350116)

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非均勻平面對(duì)稱的Quintessence宇宙模型

王劍蘋， 沈 明

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 福州350116)

構(gòu)造一類特殊的非均勻平面對(duì)稱度規(guī)， 利用理想流體的能動(dòng)量張量， 在Quintessence模型的假設(shè)下求解Einstein場(chǎng)方程， 得到一類帶有暗能量性質(zhì)的非均勻平面對(duì)稱宇宙模型. 此外， 通過計(jì)算模型的Hubble參數(shù)和減速因子等物理量， 分析了模型的物理性質(zhì).

Einstein場(chǎng)方程； 理想流體； 暗能量； Quintessence模型

0　引言

目前， 天文觀測(cè)數(shù)據(jù)顯示宇宙正在加速膨脹[1-2]. 加速膨脹現(xiàn)象表明宇宙中存在著暗能量， 暗能量被認(rèn)為是導(dǎo)致宇宙加速膨脹現(xiàn)象的主要因素， 已成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)[3-4]. Quintessence模型[5-6]是一種重要的暗能量模型. 結(jié)合Quintessence的狀態(tài)方程， 并進(jìn)一步拓展文獻(xiàn)[7]中的度規(guī)以獲得更具物理價(jià)值的Einstein場(chǎng)方程嚴(yán)格解[8-9]， 提出以下形式的非均勻平面對(duì)稱度規(guī)：

(1)

其中:a是t的函數(shù);b是t,x,y的函數(shù). 通過求解， 獲得三種形式的宇宙模型， 并利用Hubble參數(shù)和減速因子對(duì)模型的物理性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步的探索.

1　基本方程

Einstein場(chǎng)方程為

(2)

其中： Gij(i,j=0,1, 2, 3)為Einstein張量； Rij為Ricci曲率張量；R為標(biāo)量曲率； Tij為能動(dòng)量張量；κ是不改變所得空間性質(zhì)的常數(shù)； gij為一個(gè)未知的洛倫茲度規(guī)， 即所需要求解的度規(guī).

理想流體下的能量動(dòng)量張量Tij由下式給出

(3)

其中:ρ表示理想流體的能量密度；p表示對(duì)應(yīng)的壓力； ui代表四維速度并滿足

(4)

(5)

在隨動(dòng)坐標(biāo)系下， 利用能動(dòng)量張量(3)結(jié)合Einstein場(chǎng)方程(2)可得

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

由式(12)得到

(13)

通過方程(7)和(8)可得

(14)

將式(13)代入方程(14)有

(15)

其中: e(t)是t的函數(shù).

因此， 可以得f(t， x)和g(t， y)的表達(dá)式

(16)

(17)

將式(13)代入方程(10)和(11)得

(18)

(19)

將式(16)和(17)代入式(18)和(19)， 則滿足

(20)

即

(21)

由上可得

(22)

其中: c1， c2， c3為積分常數(shù).

因此，

(23)

(24)

(25)

令r(t)=j(t)+n(t)， 則

(26)

觀察方程(8)和(9)， 得方程

(27)

將式(26)代入式(27)， 得

(28)

(29)

Quintessence暗能量的狀態(tài)方程為

(30)

其中: w是w∈[-1， 0]的常數(shù).

將式(30)代入式(6)和(9)得到

(31)

再將式(30)和式(26)代入方程(31)， 并通過移項(xiàng)得到方程

(32)

結(jié)合方程(29)， 最終得到方程組

(33)

由于b是x，y的函數(shù)， 即c1，c2，c3不全為0， 方程組(33)可轉(zhuǎn)換為

(34)

2　方程的解

根據(jù)方程組(34)的特性， 將其分為三種情況分別進(jìn)行討論.

2.1w=0的情形

在w=0時(shí)， 通過求解方程組(34)的第二個(gè)方程， 可得

(35)

將式(35)代入方程組(34)的第一個(gè)和第二個(gè)方程得到

(36)

其中:a1，a2，a3，c1，c2，c3，r1，r2是積分常數(shù). 在該情況下得到度規(guī)：

(37)

在此度規(guī)下， 通過方程(6)和(7)， 得到壓強(qiáng)和能量密度分別為

(38)

(39)

2.2w=-1的情形

在w=-1時(shí)， 通過求解方程組(34), 得到a和b分別為

(40)

(41)

從而度規(guī)為

(42)

其中:a1，a2，a3，c1，c2，c3，r1是積分常數(shù). 在此度規(guī)下， 得到壓強(qiáng)和能量密度分別為

(43)

此時(shí)， 壓強(qiáng)和能量密度都為常數(shù)， 即代表著宇宙是處于一種不變的狀態(tài).

2.3w≠-1且w≠0的情形

在w≠-1且w≠0時(shí)， 得到a和b為

(44)

(45)

其中:a1，a2，a3，c2，c3，r1是積分常數(shù). 此時(shí)度規(guī)為

(46)

在此度規(guī)下， 將相應(yīng)的a和b代入式(6)和(9)， 求得壓強(qiáng)和能量密度分別為

(47)

(48)

此時(shí)度規(guī)場(chǎng)下的壓強(qiáng)p<0且能量密度ρ>0， 顯然符合暗能量模型. 由于該模型的能量密度ρ是關(guān)于時(shí)間t遞減， 即意味宇宙隨著時(shí)間的推進(jìn)而膨脹， 并且當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)， 宇宙的壓強(qiáng)和密度就會(huì)趨于零， 因此該模型與目前天文觀測(cè)現(xiàn)象吻合. 并且此時(shí)經(jīng)過驗(yàn)算， 模型的能量動(dòng)量張量滿足能量守恒定律.

觀察度規(guī)(46)， 可得到平均標(biāo)準(zhǔn)尺度R(t)

(49)

計(jì)算Hubble值H和減速因子q， 分別為

(50)

(51)

3　結(jié)語

平面對(duì)稱的時(shí)空是一類描述早期宇宙進(jìn)化形態(tài)的重要模型， 對(duì)解釋宇宙的進(jìn)化過程有著重要意義. 在一類非均勻的平面對(duì)稱度規(guī)下， 基于Quintessence的狀態(tài)方程求解Einstein場(chǎng)方程， 得到三種滿足能量守恒定律的暗能量宇宙模型， 并分析了其物理性質(zhì). 結(jié)果顯示， 減速因子與狀態(tài)方程參數(shù)有關(guān)， 當(dāng)其取值為(-1， -1/3)時(shí)， 宇宙將加速膨脹.

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[9] STEPHANI H， KRAMER D. MACCALLUM M，etal. Exact solutions of Einstein’s field equations[M]. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press， 2003.

(責(zé)任編輯： 洪江星)

Inhomogeneous plane symmetric cosmological models with Quintessence

WANG Jianping, SHEN Ming

(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350116, China)

We construct an inhomogeneous plane symmetric metric, and solve the Einstein’s field equations in present of Quintessence with the energy momentum tensor of perfect fluid. We obtain the corresponding inhomogeneous plane symmetric cosmological models with dark energy. Moreover, the physical properties of the models with the Hubble parameter and the deceleration parameter are analyzed.

Einstein’s field equations； perfect fluid； dark energy； Quintessence model

10.7631/issn.1000-2243.2016.01.0012

1000-2243(2016)01-0012-05

2013-06-16

沈明(1983-)， 博士， 副教授， 主要從事幾何物理中的偏微分方程的研究，shenming0516@fzu.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(11101085)

O175.24

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