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    從“數(shù)學(xué)史之經(jīng)典”到“高考題之創(chuàng)新”

    2016-10-13 17:56:37劉冰
    黑龍江教育·中學(xué) 2016年7期
    關(guān)鍵詞:九章算術(shù)程序框圖減損

    劉冰

    近兩年全國(guó)與各省高考數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)了一大亮點(diǎn)與創(chuàng)新:中國(guó)數(shù)學(xué)史中的《九章算術(shù)》和《數(shù)書九章》走進(jìn)了高考,實(shí)現(xiàn)了經(jīng)典與創(chuàng)新的完美結(jié)合.

    《九章算術(shù)》是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著,《數(shù)書九章》是對(duì)《九章算術(shù)》的繼承和發(fā)展,兩部書主要涉及算法、幾何、統(tǒng)計(jì)等方面內(nèi)容,在2015-2016年全國(guó)及部分省的高考數(shù)學(xué)卷中均有所體現(xiàn),成為近兩年高考新載體.因此,我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解中國(guó)數(shù)學(xué)史,以便更好地把握高考.下面我對(duì)近兩年相關(guān)高考數(shù)學(xué)題進(jìn)行分析和點(diǎn)評(píng),并對(duì)高考趨勢(shì)進(jìn)行合理預(yù)測(cè).

    一、算法方面

    例1(2016年全國(guó)新課標(biāo)II,理8)中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法,右(下)圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=?

    (A)7 (B)12 (C)17 (D)34

    解析:第一次運(yùn)算:s=0×2+2=2;

    第二次運(yùn)算:s=2×2+2=6;

    第三次運(yùn)算:s=6×2+5=17.

    故選C.

    點(diǎn)評(píng)與預(yù)測(cè):本題考查了必修3中算法案例的秦九韶算法,在著作《數(shù)書九章》中提出了這種多項(xiàng)式簡(jiǎn)化算法.

    一般地,一元n次多項(xiàng)式的求值需要經(jīng)過次乘法和n次加法,而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法.在人工計(jì)算時(shí),大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程.

    把一個(gè)n次多項(xiàng)式: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

    改寫成如下形式:f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

    =(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0

    =[(anxn-2+an-1xn-3+…+a3x+a2)x+a1]x+a0…

    =[(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1]x+a0

    求多項(xiàng)式的值時(shí),首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)一次多項(xiàng)式的值,即

    v0=an

    v1=anx+an-1

    然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即

    v2=v1x+an-2

    v3=a2x+an-3 …

    vn=vn-1x+a0

    這樣,求n次多項(xiàng)式f(x)的值就轉(zhuǎn)化為了求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值.

    結(jié)論:對(duì)于一個(gè)n次多項(xiàng)式,至多做n次乘法和n次加法.

    學(xué)生應(yīng)注意秦九韶算法的步驟及其程序框圖,在未來的高考中,它仍將是一個(gè)熱點(diǎn).

    例2(2016年四川卷,理6)秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法,如(下)圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入n,x的值分別為3,2. 則輸出v的值為( ).

    A. 9 B. 18

    C. 20 D. 35

    解析:初始值,程序運(yùn)行過程如下

    v=1,

    i=2, v=1×2+2=4;

    i=1, v=4×2+1=9;

    i=0, v=9×2+0=18;

    i=-1, 跳出循環(huán),輸出 v=18.

    選B.

    例3(2015年全國(guó)卷II,理8,文8)程序框圖(下)的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入a,b分別為14,18,則輸出的a=?

    (A)0 (B)2 (C)4 (D)14

    [解析]逐次運(yùn)行程序,直至程序結(jié)束,得出a的值.

    a=14,b=18.

    第一次循環(huán):14≠18且14<18,b=18-14=4;

    第二次循環(huán):14≠4且14>4,a=14-4=10;

    第三次循環(huán):10≠4且10>4,a=10-4=6;

    第四次循環(huán):6≠4且6>4,a=6-4=2;

    第五次循環(huán):2≠4且2<4,b=4-2=2;

    第六次循環(huán):a=b=2,跳出循環(huán),輸出a=2,故選B.

    點(diǎn)評(píng)與預(yù)測(cè):本題考查了必修3中算法案例的更相減損術(shù),它包含在《九章算術(shù)》的“方田章”中,由過去的高考冷門,成為2015年高考熱點(diǎn).更相減損術(shù)與程序框圖相結(jié)合,加大了該問題的難度.學(xué)生只有理解更相減損術(shù),才能更好地完成此題.

    因此,在必修3的“第1.3 算法案例”的學(xué)習(xí)及高考復(fù)習(xí)中,學(xué)生應(yīng)更加重視:

    案例1 輾轉(zhuǎn)相除法(歐幾里得算法)、更相減損術(shù)(《九章算術(shù)》)及其程序框圖;

    案例2 秦九韶算法(《數(shù)書九章》)及其程序框圖;

    案例3 進(jìn)位制及其程序框圖.

    二、幾何方面

    例4(2015年全國(guó)卷I,理6,文6)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧度為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放斛的米約有( ).

    (A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛

    解析:由米堆底部的弧長(zhǎng)可求出圓錐底面半徑,進(jìn)而求得米堆的體積.

    設(shè)米堆的底面半徑為r尺,則r=8,解得r=,所以米堆的體積為V=·?仔r2·5=2·5≈(立方尺).

    故堆放的米約有÷1.62≈22斛,故選B.

    點(diǎn)評(píng)與預(yù)測(cè):《九章算術(shù)》與高中內(nèi)容交匯點(diǎn)如下表:

    三、統(tǒng)計(jì)方面

    例5(2015年湖北卷,理2,文2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題:糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧,有人送來米1 534石,驗(yàn)得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為( ).

    (A)134石 (B)169石 (C)338石 (D)1365石

    解析:254粒和1 534石中夾谷的百分比含量是大致相同的,可據(jù)此估計(jì)這批米內(nèi)夾谷的數(shù)量.

    設(shè)1 534石米內(nèi)夾谷x石,則由題意知,解得x≈169,故這批米內(nèi)夾谷約為169石.

    點(diǎn)評(píng)與預(yù)測(cè):南宋時(shí)期的秦九韶的著作《數(shù)書九章》中的“米谷粒分”問題,體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)思想,用樣本估計(jì)總體.

    從此題中可以看出,未來的高考中,可以《數(shù)書九章》為載體,考查統(tǒng)計(jì)與概率等知識(shí)點(diǎn).

    《九章算術(shù)》和《數(shù)書九章》是中國(guó)幾代人共同智慧的結(jié)晶,它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成.在新時(shí)期下,在實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的中國(guó)夢(mèng)的大形勢(shì)下,中國(guó)數(shù)學(xué)史之經(jīng)典,必然會(huì)成為未來高考的新熱點(diǎn).

    從2015年全國(guó)II卷的“更相減損術(shù)”,到2016年全國(guó)II卷的“秦九韶算法”,在2017年的高考復(fù)習(xí)中,我們應(yīng)更注意“輾轉(zhuǎn)相除法”和“進(jìn)位制”等內(nèi)容的講解和訓(xùn)練.

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