基于Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇的反向三I算法的魯棒性

羅敏霞，王雅萍

（中國計量學(xué)院理學(xué)院，浙江杭州310018）

基于Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇的反向三I算法的魯棒性

羅敏霞，王雅萍

（中國計量學(xué)院理學(xué)院，浙江杭州310018）

Schweizer-Sklar三角范數(shù)具有很好的柔性，使得基于柔性化算子的模糊推理算法有良好的屬性.本文基于Minkowski距離標(biāo)準(zhǔn)研究Schweizer-Sklar算子簇的性質(zhì)及模糊推理算法的魯棒性.證明了Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇關(guān)于參數(shù)m是單調(diào)遞減的；Schweizer-Sklar三角余范簇關(guān)于參數(shù)m是單調(diào)遞增的；并且給出了Schweizer-Sklar三角余范簇、三角范數(shù)簇及其誘導(dǎo)的剩余蘊涵簇的擾動；證明了m∈（0，∞）時，Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇（包含Lukasiewizc蘊涵）均適合用于模糊推理.進(jìn)一步證明了：當(dāng)m∈（0，∞）時，基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇的FMP-反向三I算法具有魯棒性；當(dāng)m∈（0，∞）時，基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇的FMT-反向三I算法具有魯棒性.

Schweizer-Sklar三角范數(shù)；反向三I算法；Minkowski距離；魯棒性

1 引言

自從Zadeh于1965年提出模糊集的概念［1］，將原來對命題的非此即彼的判斷方法推廣到用整個［0，1］區(qū)間上的值來表示真值度，模糊理論就被廣泛的應(yīng)用于數(shù)學(xué)和其他應(yīng)用領(lǐng)域，在實踐中越來越多的人使用具有優(yōu)勢的模糊理論方法［2，3］.許多學(xué)者從不同的角度研究了命題邏輯系統(tǒng)［4］進(jìn)而研究模糊推理的應(yīng)用.模糊推理中的最基本推理模型是模糊假言推理（FMP）問題和模糊反駁推理（FMT）問題［5］：

FMP：給定規(guī)則A→B并輸入A*，輸出B*；

FMT：給定規(guī)則A→B并輸入B*，輸出A*；

其中：A，A*∈F（X），B，B*∈F（Y），F(xiàn)（U）表示論域U的全體模糊子集構(gòu)成的集合.

針對這一問題，Zadeh提出了CRI（Compositional Rule of Inference）模糊推理方法［6］，而CRI方法中合成運算帶有隨意性，缺少嚴(yán)格的邏輯依據(jù).1999年王國俊教授首先提出了基于R0算子的全蘊涵三I算法［5］，該算法避免了CRI方法中合成運算的隨意性，并給出此模糊推理算法的嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ).裴道武教授研究了基于左連續(xù)三角范數(shù)誘導(dǎo)的剩余蘊涵的三I算法，并且建立了基于MTL邏輯系統(tǒng)的三I算法的可靠邏輯基礎(chǔ)［7，8］.羅敏霞教授選取一類更具柔性，更貼合實際應(yīng)用的三角范數(shù)簇，討論了基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇的全蘊涵三I算法以及其連續(xù)性［9］.

宋士吉等首次提出了反向三I算法［10］，其基本思想是：已知A∈F（X）和B∈F（Y），并且A*∈F（X）（或者B*∈F（Y）），對一切x∈X，y∈Y，尋找最優(yōu)的B*∈F（Y）（或者A*∈F（X）），使得A*→B*最大程度的支持A→B，即使得（A*（x）→B*（y））→（A（x）→B（y））達(dá)到最大可能值.

羅敏霞等進(jìn)一步給出基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇反向三I算法［11］，為實際應(yīng)用提供更具柔性的模糊推理算法.

在模糊控制中，實際的模糊推理模型很容易被不同的噪聲擾動.在模糊理論下分析魯棒性問題是非常有意義的［12］，模糊推理的魯棒性是為了測量在模糊推理中一定的輸入誤差可以引起多大的輸出誤差.度量誤差的測量標(biāo)準(zhǔn)有相似度、Hamming距離、Euclidean距離、Chebyshev距離、平均擾動、δ-擾動和（T，δ）-擾動等等［13～16］，王國俊和段景瑤在文獻(xiàn)［15］提出正則度量的概念，給出估算模糊推理魯棒性另一種度量標(biāo)準(zhǔn).這些方法各有利弊，因為往往兩個模糊集在一種距離的定義下有較小的擾動，而在另一種距離的定義下有較大的擾動，針對該問題，戴松松等人在文獻(xiàn)［17］中應(yīng)用更具有普遍意義的規(guī)范化Minkowski距離研究模糊連接詞及CRI模糊推理算法的擾動，得到較理想的結(jié)論.本文利用規(guī)范化Minkowski距離標(biāo)準(zhǔn)研究Schweizer-Sklar算子簇的擾動及基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇的反向三I算法的魯棒性.

2 預(yù)備知識

定義 1［18］設(shè)T是［0，1］上的二元運算，T：［0，1］2→［0，1］，任意x，y，z∈［0，1］，如果滿足下列條件：

（T1）T（x，y）=T（y，x）；

（T2）T（x，T（y，z））=T（T（x，y）z）；

（T3）當(dāng)y≤z時，T（x，y）≤T（x，z）；

（T4）T（x，1）=x.

則稱T是一個三角范數(shù).

設(shè)S是［0，1］上的二元運算，S：［0，1］2→［0，1］，任意x，y，z∈［0，1］，如果滿足（T1），（T2），（T3），且滿足（S4）S（x，0）=x，則稱S是一個三角余范.

定義2［18］Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇Tm（x，y）：［0，1］2→［0，1］，且對任意x，y∈［0，1］，m∈R，

特別地，當(dāng)m=1時，TL（x，y）=max（0，x+y-1）是Lukasiewizc三角范數(shù).

定義3［18］Schweizer-Sklar三角余范簇Sm（x，y）：［0，1］2→［0，1］，且對任意x，y∈［0，1］，m∈R，

特別地，當(dāng)m=1時，SL（x，y）=min（x+y，1）是Lukasiewizc三角余范.

定義4［19，20］Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇誘導(dǎo)的剩余蘊涵簇Im（x，y）；［0，1］2→［0，1］，且對任意x，y∈［0，1］，m∈R，

特別地，當(dāng)m=1時，IL（x，y）=min（1，1-x+y）是Lukasiweize蘊涵.

定義 5［17］假設(shè)A和B是論域X=｛x1，…，xn｝上的模糊集，則稱dp（A，B）=為模糊集A和B的規(guī)范化Minkowski距離，其中p∈［1，∞］為參數(shù).

定義6 設(shè)f：［0，1］2→［0，1］，ε∈［0，1］，設(shè)X=是論域上的模糊集與是論域上的模糊集

稱為函數(shù)f在（X，Y）的（ε1，ε2）-靈敏度.其中

p

定義7

定義8 設(shè)

如果

稱函數(shù)f由（ε1，ε2）輸入引起的≤ε的輸出擾動.引理1［21］假設(shè)x，y＞0且x≠y，那么

rxr-1（x-y）＞xr-yr＞ryr-1（x-y）（r＜0或r＞1）

rxr-1（x-y）＜xr-yr＜ryr-1（x-y）（0＜r＜1）

rxr-1（x-y）=xr-yr=ryr-1（x-y）（r=0或1，x=y）引理2［22］令I(lǐng)是一個有限指標(biāo)集，那么

引理3 假設(shè)x，y∈［0，1］且r＞1，那么|xr-yr|≤r|x-y|.由引理1可得該結(jié)論.

證明：由于f（x）是［c，b］上的可導(dǎo)函數(shù)，故

因為f（x）在［c，b］連續(xù)，由Lagrange中值定理，至少存在一點ξ∈（c，b）使得

類似的，如果f（c）-f（b）≥0，應(yīng)用Lagrange中值定理，至少存在一點ξ∈（c，b）使得

引理 6（Minkowski不等式） 令（a1，a2，…，an），（b1，b2，…，bn）∈Rn，且1≤p＜∞.那么

引理7［23］設(shè)A，B∈（0，1）或 A，B∈（1，+∞），如果A+B＞1，則（A+B-1）Ln（A+B-1）≥ALnA +BLnB.

命題1［11］假設(shè)FMP問題中蘊涵算子是Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇誘導(dǎo)的剩余蘊涵簇，那么FMP-反向三I解的表達(dá)式為：對x∈X，y∈Y，

命題2［11］假設(shè) FMT問題中的蘊涵算子是 Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇誘導(dǎo)的剩余蘊涵Im（x，y）（m＞0），F(xiàn)MT-反向三 I解A*的表達(dá)式為：對x∈X，y∈Y，

其中，Ex=｛y∈Y|m＞0，B*（y）∨（A（x）→B（y））＜1，B*（y）＜（A（x）→B（y））｝

3 Schweizer-Sklar模糊連結(jié)詞的性質(zhì)及其擾動

命題3 Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇Tm（x，y）關(guān)于m是單調(diào)遞減的，且

其中，m1∈（1，+∞），m2∈（0，1），m3∈（-∞，0）.

證明：

（1）當(dāng)m∈（1，+∞）時，TD（x，y）≤Tm（x，y）≤TL（x，y），且Tm（x，y）關(guān)于m是單調(diào)遞減的.

先證明TD（x，y）≤Tm（x，y）.當(dāng)max（x，y）=1時，不妨假設(shè)y=1，則 TD（x，y）=x=Tm（x，y）；其他情形TD（x，y）=0≤Tm（x，y）.

下證 Tm（x，y）≤TL（x，y）（m∈（1，+∞）），且Tm（x，y）（m∈［1，+∞））關(guān)于m是單調(diào)遞減的.

當(dāng)m∈（1，+∞）時，?x，y∈（0，1），xm+ym-1≤x +y-1.當(dāng)xm+ym≤1時，Tm（x，y）=0≤TL（x，y）；當(dāng) xm+ym＞1時，則Tm（x，y）=xm+ym-1.

設(shè) Tm（x，y）：［1，+∞）→R+，Tm（x，y）= （xm+ym-1）1/m是關(guān)于x，y，m的一個多元函數(shù)，則

從而，

（2）當(dāng)（m∈（0，1）時，TL（x，y）≤Tm（x，y）≤TP（x，y），且Tm（x，y）關(guān)于m是單調(diào)遞減的.

（3）當(dāng)m∈（-∞，0）時，TP（x，y）≤Tm（x，y）≤TM（x，y），且Tm（x，y）關(guān)于m是單調(diào)遞減的.

類似（1）的證明，可證（2）與（3）的結(jié)論.

注1 由命題3我們得到含有參數(shù)的三角范數(shù)簇與參數(shù)m之間的關(guān)系，且四種常用的三角范數(shù)包含在其中，從而得到它們之間的關(guān)系［24］：

TD（x，y）≤TL（x，y）≤TP（x，y）≤TM（x，y）.

命題4 Schweizer-Sklar三角余范數(shù)簇關(guān)于m單調(diào)遞增，即

其中，m1∈（-∞，0），m2∈（0，1），m3∈（1，∞）.

命題4可類似于命題3證明.

注2 由命題4我們得到含有參數(shù)的三角余范簇與參數(shù)m之間的關(guān)系，且四種常用的三角余范包含在其中，從而得到它們之間的關(guān)系［24］：

命題5 假設(shè) dp（A，A′）≤ε1，dp（B，B′）≤ε2，那么dp（Tm（A，B），Tm（A′，B′））≤

證明：假設(shè)

當(dāng)m≥1時，

則可得到，

當(dāng)m=0時，

其它情形類似可證明.

當(dāng)m=-∞時，

注3 本命題給出一簇含參數(shù)的三角范數(shù)的擾動.特別當(dāng)m=0時，乘積三角范數(shù)的最大靈敏度是ε1+ε2-ε1ε2；當(dāng) m=1時，Lukasiewicz三角范數(shù)的最大靈敏度是ε1+ε2；當(dāng)m=-∞時，極小三角范數(shù)的最大靈敏度是max（ε1，ε2）；當(dāng)m=∞時，突變?nèi)欠稊?shù)的最大靈敏度是1，這種情形不具有魯棒性.

命題6 假設(shè) dp（A，A′）≤ε1，dp（B，B′）≤ε2，那么

命題6可類似于命題5證明.

注4 當(dāng)m∈（0，∞），含參數(shù)的蘊涵算子簇具有魯棒性，適合用于模糊推理；特別當(dāng)m=1時，Lukasiewicz蘊涵算子的最大靈敏度是ε1+ε2.另外，當(dāng)m=0時，Goguen蘊涵算子的最大靈敏度是1；當(dāng)m=-∞時，Godel蘊涵的最大靈敏度都是1；當(dāng)m=∞時，突變蘊涵的最大靈敏度是1，這三種情形都不具有魯棒性，從而均不適合用于模糊推理.

命題7 假設(shè) dp（A，A′）≤ε1，dp（B，B′）≤ε2，那么dp（Sm（A，B），Sm（A′，B′））

證明：假設(shè)

當(dāng)m≥1，

當(dāng)m≤1且m≠0，

則可得到，

當(dāng)m=0時，

其它情形類似可證明.

注5 本命題給出一簇含參數(shù)的三角余范的擾動.特別當(dāng)m=0時，概率和三角余范的最大靈敏度是ε1+ ε2-ε1ε2；當(dāng)m=1時，Lukasiewicz三角余范的最大靈敏度是ε1+ε2；當(dāng)m=-∞時，極大三角余范的最大靈敏度是max（ε1，ε2）；當(dāng)m=∞時，突變和三角余范的最大靈敏度是1，這種情形不具有魯棒性.

4 基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇的反向三I算法的魯棒性

定理1 假設(shè) dp（A，A′）≤ε1，dp（B，B′）≤ε2，dp（A*，A′*）≤ε3，B*和B′*是FMP-反向三I解（m∈（0，∞）），則

證明：當(dāng)m∈（0，∞）時，令

則由命題6，

再由命題1和命題5，

注6 本定理給出基于一簇含參數(shù)的蘊涵算子的FMP-反向三I算法的魯棒性，特別當(dāng)m=1時，基于Lukasiewicz蘊涵算子的FMP-反向三I解的最大靈敏度是ε1+ε2+ε3.由命題6可知，其它三種常用的蘊涵運算均不適合做模糊推理連接詞.

定理2 假設(shè) dp（A，A′）≤ε1，dp（B，B′）≤ε2，dp（B*，B′*）≤ε3，A*和 A′*是FMT-反向三I解（m∈（0，∞）），則

證明：當(dāng)m＞0時，令

由命題6，

再由命題2與命題6，

5 結(jié)論

本文以Minkowski距離為度量標(biāo)準(zhǔn)，研究Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇、三角余范簇及其誘導(dǎo)的剩余蘊涵簇的單調(diào)性及其擾動.證明了Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇關(guān)于參數(shù)m是單調(diào)遞減的；Schweizer-Sklar三角余范簇關(guān)于參數(shù)m是單調(diào)遞增的；并且給出四種著名的三角范數(shù)及三角余范的序.給出了Schweizer-Sklar三角余范簇、三角范數(shù)簇及其誘導(dǎo)的剩余蘊涵簇的擾動；證明了m∈（0，∞）時，Schweizer-Sklar剩余蘊涵算子簇具有很好的魯棒性，均適合用于模糊推理.文獻(xiàn)［11］給出了的基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇反向三I算法解的一般表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇及其誘導(dǎo)的剩余蘊涵簇的擾動研究得到，當(dāng)m∈（0，∞）時，基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇的 FMP-反向三I算法具有魯棒性；當(dāng)m∈（0，∞）時，基于Schweizer-Sklar剩余蘊涵簇的FMT-反向三I算法具有魯棒性.因其為模糊控制等應(yīng)用提供了可靠的理論依據(jù)，使得基于柔性Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇的模糊推理算法具有更廣泛、更實際的應(yīng)用前景.

［1］Zadeh L A.Fuzzy sets［J］.Information and Control，1965，8（3）：338-353.

［2］陳衛(wèi)東，朱奇光.基于模糊算法的移動機(jī)器人路徑規(guī)劃［J］.電子學(xué)報，2011，39（4）：971-974. CHEN Wei-dong，ZHU Qi-guang.Mobile robot path planning based on fuzzy algorithms［J］.Acta Electronica Sinica，2011，39（4）：971-974.（in Chinese）

［3］袁學(xué)海，李洪興，楊雪.基于模糊變換的模糊系統(tǒng)和模糊推理建模法［J］.電子學(xué)報，2013，41（4）：674-680. YUAN Xue-hai，LI Hong-xing，YANG Xue.Fuzzy system and fuzzy inference modeling method based on fuzzy transformation［J］.Acta Electronica Sinica，2013，41（4）：674-680.（in Chinese）

［4］羅敏霞，姚寧.L*系統(tǒng)中公式的語構(gòu)程度化方法［J］.電子學(xué)報，2011，39（2）：424-428. LUO Min-xia，YAO Ning.Syntactic graded method of formulas in the system L*［J］.Acta Electronica Sinica，2011，39（2）：424-428.（in Chinese）

［5］王國俊.模糊推理的全蘊涵三I算法［J］.中國科學(xué)（E輯），1999，29（1）：43-53.

［6］Zadeh L A.Outline of a new approach to the analysis of complex systems and decision processes［J］.IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，1973，3（1）：28 -44.

［7］Pei D W.Unified full implication algorithms of fuzzy reasoning［J］.Information Sciences，2008，178（2）：520-530.

［8］Pei D W.Formalization of implication based fuzzy reasoning method［J］.International Journal of Approximate Reasoning，2012，53（5）：837-846.

［9］Luo M X，Yao N.Triple I algorithms based on Schweizersklar operators in fuzzy reasoning［J］.International Journal of Approximate Reasoning，2013，54（5）：640-652.

［10］宋士吉，吳澄.模糊推理的反向三I算法［J］.中國科學(xué)（E輯），2002，32（2）：230-246.

［11］羅敏霞，桑倪.基于Schweizer-Sklar三角范數(shù)簇誘導(dǎo)的剩余蘊涵簇的反向三I算法［J］.智能系統(tǒng)學(xué)報，2012，7 （6）：494-499. LUO Minxia，SANG Ni.The reverse triple I algorithms based on a class of residual implications induced by the family of Schweizer-Sklar t-norms［J］.CAAI Transactions on Intelligent Systems，2012，7（6）：494-499.（in Chinese）

［12］陳明，陳武凡，馮前進(jìn)，楊豐.基于互信息量和模糊梯度相似性的醫(yī)學(xué)圖像配準(zhǔn)［J］.電子學(xué)報，2003，31（12）：1835-1838. CHEN Ming，CHEN Wu-fan，F(xiàn)ENG Qian-jin，YANG Feng.Medical image registration based on mutual information and fuzzy gradient similarity［J］.Acta Electronica Sinica，2003，31（12）：1835-1838.（in Chinese）

［13］Dai S S，Pei D W，Guo D H.Robustness analysis of full implication inference method［J］.Approximate Reasoning，2013，54（5）：653-666.

［14］Li Y F，Qin K Y，He X X.Robustness of fuzzy connectives and fuzzy reasoning［J］.Fuzzy Sets and Systems，2013，225（8）：93-105.

［15］Wang G J，Duan J Y.On robustness of the full implication triple I inference method with respect to finer measurements［J］.Approximate Reasoning，2014，55（3）：787 -796.

［16］Hung W L，Yang M S.Similarity measures of intuitionistic fuzzy sets based on LPmetric［J］.International Journal of Approximate Reasoning，2007，46（1）：120-136.

［17］Dai S S，Pei D W，Wang S M.Perturbation of fuzzy sets and fuzzy reasoning based on normalized Minkowski distance［J］.Fuzzy Sets and Systems，2012，189（1）：63 -73.

［18］Klement E P，Mesiar R，Pap E.Triangular Norms［M］. Dordrecht：Kluwer Academic，2000.

［19］Whalen T.Parameterized R-implications［J］.Fuzzy Sets and Systems，2003，134（2）：231-281.

［20］He H C，Wang H，Liu Y H.Principle of Universal Logics ［M］.Beijing：Science Press，2006.

［21］Hardy G H，Littlewood J E，Polya G.Inequalities（2nd edition）［M］.Cambrige：Cambridge University Press，1952.

［22］徐蔚鴻，謝中科，楊靜宇，葉有培.兩類模糊推理算法的連續(xù)性和逼近性［J］.軟件學(xué)報，2004，15（10）：1485 -1492. XU Wei-Hong，XIE Zhong-Ke，YANG Jing-Yu，YE You-Pei.Continuity and approximation properties of two classes of algorithms for fuzzy inference［J］.Journal of Software，2004，15（10）：1485-1492.（in Chinese）

［23］羅敏霞，何華燦.泛邏輯學(xué)語構(gòu)理論［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［24］Wang X Z，Ruan D，Kerre E E.Mathematics of Fuzziness—Basic Issues［C］.Heidelberg：Springer，2009.

羅敏霞 女，1964年生于山西運城，教授、博士、碩士生導(dǎo)師.中國人工智能學(xué)會人工智能基礎(chǔ)專業(yè)委員會常務(wù)委員；中國計算機(jī)學(xué)會多值邏輯與模糊邏輯專業(yè)委員會委員.主要研究方向為計算機(jī)科學(xué)中的非經(jīng)典邏輯、模糊推理算法與圖像處理等，先后在國際國內(nèi)專業(yè)領(lǐng)域的期刊上發(fā)表論文90余篇，出版專著2部，教材1部.E-mail：mxluo@cjlu.edu.cn

王雅萍 女，1990年生于甘肅蘭州.碩士研究生，研究方向為非經(jīng)典邏輯與模糊推理算法.

Robustness of the Reverse Triple I Algorithms Based on Schweizer-Sklar T-norms

LUO Min-xia，WANG Ya-ping

（College of Science，China JiLiang University，Hangzhou，Zhejiang 310018，China）

Since the family of Schweizer-Sklar t-norm is flexible，they have good characteristics for fuzzy reasoning based on these flexible operators.In this paper，the properties of the Schweizer-Sklar operators family and the robustness of fuzzy reasoning algorithms are studied.The family of Schweizer-Sklar t-norms are decreasing for the variable m.The family of Schweizer-Sklar t-conorms are increasing for the variable m.These perturbations of Schweizer-Sklar t-conorms，Schweizer-Sklar t-norms and its residual implications are given.We proved that Schweizer-Sklar residual implication operators（include Lukasiewizc implication operator）are more suitable in fuzzy reasoning for m∈（0，∞）.Moreover，we showed that the FMP reverse triple I algorithms based on the Schweizer-Sklar residual implications are robust for m∈（0，∞），and the FMT reverse triple I algorithms based on the Schweizer-Sklar residual implications are robust for m∈（0，∞）.

Schweizer-Sklar t-norms；reverse triple I algorithms；Minkowski distance；robustness

O142

A

0372-2112（2016）04-0959-08

電子學(xué)報URL：http：//www.ejournal.org.cn 10.3969/j.issn.0372-2112.2016.04.029

2014-08-25；

2015-04-05；責(zé)任編輯：孫瑤

國家自然科學(xué)基金（No.61273018）