一道不定積分題目的解法研究

劉克英，李鵬，袁合才

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一道不定積分題目的解法研究

劉克英，李鵬，袁合才

在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)或者微積分時，學(xué)生大都認為計算不定積分很困難．這源于學(xué)時有限，而嚴(yán)重不足的作業(yè)量使學(xué)生對題目不熟悉．（記為）有3種正確的常規(guī)解法[1-2]，本文綜合并拓展已有解法[3-6]，給出了7類共22種解法．

以上解法的實質(zhì)是換元．從結(jié)果來看，分為兩類，一類用反正弦或反余弦函數(shù)表示；另一類用反正切函數(shù)來表示．從創(chuàng)新點來看，解法1～3，5，8，9，12~14避免了討論變量范圍；解法15，16，18在文獻[3]中提到過，這里寫出了具體過程．特別地，歐拉代換（除了解法18）以及拆項的6個解法從未出現(xiàn)在文獻中，這是最有價值的．解法5是最優(yōu)方法，代換的選擇很直接，過程簡潔，結(jié)果簡單．該不定積分不能用分部積分法來計算，在講解時可以指出問題所在．

[1] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（上冊）[M]．6版．北京：高等教育出版社，2007

[2] 彭輝．高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)[M]．濟南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2011

[3] 李振宇．關(guān)于一類函數(shù)的積分[J]．工科數(shù)學(xué)，1992（4）：106-109

[4] 高卓瑪．一道不定積分題的多種換元積分解法[J]．青海大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，24（5）：71-72

[5] 吳維峰．探求不定積分的一題多解莫忘解法的正確性[J]．濰坊教育學(xué)院學(xué)報，2009，22（4）：42-43

[6] 吳維峰．對不定積分一題多解的分析[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2010，13（6）：11-13

作者單位：（華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450045）

基金項目：華北水利水電大學(xué)教育教學(xué)研究與改革項目