轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的逆向分析

劉翠紅，王克明，夏　錕，石　峰

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136)

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轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡響應(yīng)的逆向分析

劉翠紅，王克明，夏錕，石峰

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 航空航天工程學(xué)部(院)，沈陽(yáng) 110136)

不平衡引起的振動(dòng)故障在航空發(fā)動(dòng)機(jī)故障中最為常見(jiàn)，對(duì)不平衡響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算分析在實(shí)際工程應(yīng)用中具有重要意義。根據(jù)轉(zhuǎn)子在單盤(pán)激勵(lì)和多盤(pán)激勵(lì)下的不平衡響應(yīng)分析方法，提出了一種常見(jiàn)不平衡響應(yīng)分析的逆向分析方法——位移激勵(lì)法，即通過(guò)控制單盤(pán)或多盤(pán)的響應(yīng)位移分析不平衡的方法。對(duì)比分析轉(zhuǎn)子在不平衡激勵(lì)下各盤(pán)的響應(yīng)幅值和將不平衡盤(pán)的響應(yīng)幅值作為位移激勵(lì)時(shí)各盤(pán)的響應(yīng)，結(jié)果表明2種方法同轉(zhuǎn)頻時(shí)各盤(pán)響應(yīng)一致。為了避免轉(zhuǎn)子撓度過(guò)大而發(fā)生碰摩，根據(jù)轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)與各盤(pán)上不平衡量的分布關(guān)系，利用控制轉(zhuǎn)子各盤(pán)響應(yīng)位移的方法分析轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在某個(gè)轉(zhuǎn)速下工作時(shí)各盤(pán)允許的最大不平衡量。

轉(zhuǎn)子動(dòng)力特性；不平衡響應(yīng)；控制位移法；反共振；逆向分析

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的重要組件，機(jī)械加工誤差及裝配誤差，都將引起轉(zhuǎn)子的不平衡。統(tǒng)計(jì)資料表明，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的故障約有60%源于不平衡引起的振動(dòng)[1-2]。轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)是轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)研究的一個(gè)重要問(wèn)題。目前對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的研究大都是針對(duì)定轉(zhuǎn)速時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和變轉(zhuǎn)速時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)特性分析[2]，主要應(yīng)用2類(lèi)方法：傳遞矩陣法和有限元法。傳遞矩陣法程序簡(jiǎn)單，計(jì)算機(jī)時(shí)較短，但是該方法比較適用于鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)，對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問(wèn)題計(jì)算的精度不高；有限元法分析轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)問(wèn)題考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、陀螺力矩及剪切變形等影響因素，在計(jì)算不平衡響應(yīng)及穩(wěn)定性等方面的問(wèn)題取得了很好的結(jié)果。

以往不平衡響應(yīng)的計(jì)算大都是在不平衡激振力下計(jì)算轉(zhuǎn)子各截面的幅頻響應(yīng)，本文則通過(guò)限制轉(zhuǎn)子模型各盤(pán)的響應(yīng)幅值[3-4]，反求各盤(pán)上的不平衡量，即以控制位移的方法限制響應(yīng)幅值求解不平衡量。已知響應(yīng)求激勵(lì)是振動(dòng)力學(xué)中的逆問(wèn)題。通過(guò)分析轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在限制了各盤(pán)響應(yīng)幅值后的響應(yīng)，得到不平衡分布，可以?xún)?yōu)化轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)，大大減小由于轉(zhuǎn)子撓度過(guò)大引起的碰摩故障，提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的安全性[5]。

1　理論基礎(chǔ)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如式(1)所示。

(1)

不平衡量等于不平衡質(zhì)量m和其質(zhì)心距轉(zhuǎn)子軸線(xiàn)的距離e的乘積如式(2)

U=me

(2)

不平衡產(chǎn)生的激振力如式(3)

F0=Uω2=meω2

(3)

2　有限元模型的建立

參照渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)特征，利用ANSYS建立一個(gè)具有航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子基本特征的轉(zhuǎn)子盤(pán)軸結(jié)構(gòu)三維有限元模型[7-8]，軸長(zhǎng)L=1.5m，軸半徑為0.02m，各盤(pán)的厚度均為0.04m，半徑為0.2m，材料的彈性模量為2.1×1 011Pa，密度為7 850kg/m3。各輪盤(pán)分布如圖1(a)所示，支承方案為兩端簡(jiǎn)支。利用ANSYS有限元前處理功能劃分網(wǎng)格，共劃分11 810個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)數(shù)為14 369，其中4個(gè)盤(pán)的盤(pán)心節(jié)點(diǎn)號(hào)分別為4 744，4 768，4 792和4 850，模型如圖1(b)所示。有限元模型中轉(zhuǎn)子為實(shí)體單元[9]，單元類(lèi)型選擇三維八節(jié)點(diǎn)的Solid185，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，軸承選擇Combin214彈簧阻尼單元，剛度為3×107N/m。

圖1　轉(zhuǎn)子有限元模型

3　轉(zhuǎn)子的固有特性計(jì)算

為了更好地分析轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)，先對(duì)轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行模態(tài)分析[10]，計(jì)算前三階固有頻率和主振型以及前三階臨界轉(zhuǎn)速。

利用ANSYS中QR阻尼法計(jì)算并提取轉(zhuǎn)子前三階固有頻率，它們分別為10.628Hz、42.145Hz和77.140Hz，圖2～圖4為前三階模態(tài)振型。

圖2　第一階模態(tài)振型

圖3　第二階模態(tài)振型

圖4　第三階模態(tài)振型

通過(guò)計(jì)算轉(zhuǎn)子各轉(zhuǎn)速下的模態(tài)，畫(huà)出Campbell圖，如圖5所示。從圖5中可以得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)前三階臨界轉(zhuǎn)速[11-12]分別為660.813r/min、2 917.702r/min和5 321.09r/min及對(duì)應(yīng)頻率11.014Hz、48.628Hz和88.685Hz。由于模型中轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生陀螺效應(yīng)，陀螺力矩使轉(zhuǎn)子不易彎曲，所以前三階臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的頻率比前三階固有頻率高。

4　轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)分析

4.1單盤(pán)激勵(lì)下的不平衡響應(yīng)

假設(shè)在盤(pán)上有一不平衡量U=me=10g·cm，等效成不平衡激振力F0=Uω2。由于ANSYS計(jì)算中每一步自動(dòng)載入ω2，所以在1號(hào)盤(pán)心位置(4 744號(hào)節(jié)點(diǎn))處施加旋轉(zhuǎn)載荷0.000 1 ω2。應(yīng)用諧響應(yīng)分析法分析不平衡響應(yīng)[13-15]，設(shè)置諧響應(yīng)分析頻率范圍0～100Hz，分析子步數(shù)為100，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)0～100r/min轉(zhuǎn)頻范圍內(nèi)進(jìn)行諧響應(yīng)分析。圖6(a)～圖6(d)分別為各盤(pán)Y方向的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)(X方向與Y方向除相位外，其他響應(yīng)情況一致)，圖6中顯示各節(jié)點(diǎn)均在11Hz、49Hz和88Hz處出現(xiàn)峰值，這是由于在不平衡激振力下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速處發(fā)生共振，距離共振轉(zhuǎn)速越遠(yuǎn)，響應(yīng)幅值越小。

圖5　坎貝爾圖

圖6　盤(pán)心幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)

表1為4個(gè)盤(pán)的盤(pán)心節(jié)點(diǎn)在不同轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)位移，轉(zhuǎn)頻為10Hz。比較各盤(pán)心節(jié)點(diǎn)處的響應(yīng)，2號(hào)盤(pán)和3號(hào)盤(pán)響應(yīng)明顯比1號(hào)盤(pán)和4號(hào)盤(pán)的響應(yīng)幅值大，這是因?yàn)檫@一轉(zhuǎn)速靠近第一階臨界轉(zhuǎn)速，振型接近一階模態(tài)振型，2號(hào)盤(pán)和3號(hào)盤(pán)比1號(hào)盤(pán)和4號(hào)盤(pán)的盤(pán)心節(jié)點(diǎn)更靠近轉(zhuǎn)子中心，所以響應(yīng)幅值較大。另外，查看各節(jié)點(diǎn)在每步轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)幅值時(shí)還發(fā)現(xiàn)在25Hz和65Hz這兩個(gè)轉(zhuǎn)頻時(shí)響應(yīng)幅值比其他轉(zhuǎn)頻下的幅值普遍小幾個(gè)數(shù)量級(jí)。

對(duì)于相同的轉(zhuǎn)子模型，已知1號(hào)盤(pán)上有10g·cm的不平衡量，轉(zhuǎn)頻為10Hz時(shí)1號(hào)盤(pán)的響應(yīng)幅值為1.255 9μm，控制1號(hào)盤(pán)心節(jié)點(diǎn)的位移X=1.255 9μm，Y=-1.255 9μm。設(shè)置諧響應(yīng)分析頻率范圍0～100Hz，分析子步數(shù)為100，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行諧響應(yīng)分析。分析限制1號(hào)盤(pán)響應(yīng)幅值時(shí)其余盤(pán)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)。以3號(hào)盤(pán)心節(jié)點(diǎn)為例畫(huà)出Y方向的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)如圖7。圖中25Hz和65Hz為反共振頻率，所以出現(xiàn)峰值。從圖7(b)中可以看到轉(zhuǎn)頻為10Hz時(shí)3號(hào)盤(pán)心的振動(dòng)幅值為2.57μm與不平衡力引起的響應(yīng)幅值相等。

表1　各盤(pán)心節(jié)點(diǎn)在力激勵(lì)下的響應(yīng)

圖7　3號(hào)盤(pán)心幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)

計(jì)算各盤(pán)心節(jié)點(diǎn)在3個(gè)轉(zhuǎn)頻下的響應(yīng)幅值，結(jié)果見(jiàn)表2。對(duì)比表2與表1可以看出，控制1號(hào)盤(pán)心位移，轉(zhuǎn)頻為10Hz時(shí)，轉(zhuǎn)子其他各盤(pán)心響應(yīng)幅值與不平衡激振力下的響應(yīng)幅值相同。

表2　限制1號(hào)盤(pán)心位移時(shí)各盤(pán)的響應(yīng)

從表2中可看出，同頻率時(shí)，單盤(pán)不平衡力激勵(lì)下的響應(yīng)與控制位移時(shí)其他各盤(pán)的響應(yīng)一致。

4.2雙盤(pán)不平衡激勵(lì)下的響應(yīng)

對(duì)該轉(zhuǎn)子模型，若3號(hào)盤(pán)上不平衡量為5g·cm，4號(hào)盤(pán)上不平衡量為10g·cm，計(jì)算系統(tǒng)不平衡響應(yīng)。4個(gè)盤(pán)的盤(pán)心節(jié)點(diǎn)處幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)如圖8(a)～圖8(d)所示。

表3(a)和表3(b)分別給出了兩盤(pán)偏心同向與偏心反向時(shí)的各盤(pán)心節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)幅值。

由表3可以看出，在轉(zhuǎn)頻為10Hz時(shí)，2號(hào)盤(pán)心節(jié)點(diǎn)和3號(hào)盤(pán)盤(pán)心節(jié)點(diǎn)位置的響應(yīng)幅值較大，這是由于這一轉(zhuǎn)速非?？拷谝浑A臨界轉(zhuǎn)速，振型接近第一階模態(tài)振型。通過(guò)計(jì)算各轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的響應(yīng)還發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)子各截面在54Hz轉(zhuǎn)頻下響應(yīng)幅值比其他轉(zhuǎn)頻下要小幾個(gè)數(shù)量級(jí)，這一轉(zhuǎn)頻為反共振頻率。與同向不平衡力下的響應(yīng)幅值相比，反向不平衡力下的不平衡響應(yīng)在前兩階臨界轉(zhuǎn)速附近振動(dòng)幅值都減小，第三階臨界轉(zhuǎn)速附近振動(dòng)峰值增大，這與高階振型耦合有關(guān)。

圖8　盤(pán)心幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)

表3(a)　各盤(pán)心節(jié)點(diǎn)在偏心同向時(shí)的響應(yīng)

表3(b)　各盤(pán)心節(jié)點(diǎn)在偏心反向時(shí)的響應(yīng)

3號(hào)盤(pán)與4號(hào)盤(pán)上不平衡量產(chǎn)生的激振力同向時(shí)，控制轉(zhuǎn)子這兩個(gè)盤(pán)的響應(yīng)位移分別為10Hz轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)幅值5.176 2μm和2.321 1μm，計(jì)算同時(shí)控制轉(zhuǎn)子兩個(gè)盤(pán)的響應(yīng)幅值時(shí)各盤(pán)的不平衡響應(yīng)，與控制一個(gè)盤(pán)的響應(yīng)幅值時(shí)的不平衡響應(yīng)分析方法相同。圖9為控制轉(zhuǎn)子3號(hào)盤(pán)和4號(hào)盤(pán)的位移時(shí)，1號(hào)盤(pán)心節(jié)點(diǎn)Y方向的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)。幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)中會(huì)在反共振頻率54Hz附近出現(xiàn)峰值。

表4給出了各盤(pán)盤(pán)心節(jié)點(diǎn)分別在三個(gè)轉(zhuǎn)速下的響應(yīng)幅值。表3與表4相對(duì)比可以看出，轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)頻為10Hz時(shí)各盤(pán)的響應(yīng)與轉(zhuǎn)子在兩同向不平衡激振力下的響應(yīng)幅值相同。這說(shuō)明同頻率下，控制位移時(shí)的響應(yīng)與不平衡激振力下其他各盤(pán)的響應(yīng)幅值一致。

4.3控制響應(yīng)幅值求最大允許不平衡量

由4.1中已知1號(hào)盤(pán)上有幅值為0.000 1ω2的不平衡激振力，轉(zhuǎn)頻為10Hz時(shí)，Y方向上最大響應(yīng)位移為1.255 9μm。計(jì)算此轉(zhuǎn)速下控制1號(hào)盤(pán)的響應(yīng)幅值不超過(guò)10μm，盤(pán)上允許的最大不平衡量U由

圖9　1號(hào)盤(pán)心的幅頻響應(yīng)

頻率/Hz各盤(pán)心節(jié)點(diǎn)振動(dòng)幅值/μm1號(hào)盤(pán)心2號(hào)盤(pán)心3號(hào)盤(pán)心4號(hào)盤(pán)心102.37744.31925.17622.32114510.649011.61205.17622.3211804.93371.37065.17622.3211

算得U=7.962 4×10-4kg·m。因此，若轉(zhuǎn)頻為10Hz要求盤(pán)的最大響應(yīng)位移為10μm時(shí)，盤(pán)上允許的不平衡量不能超過(guò)79.624g·cm。

1號(hào)盤(pán)上有79.624g·cm的不平衡量時(shí),利用ANSYS有限元軟件計(jì)算該盤(pán)的最大響應(yīng)位移。通過(guò)計(jì)算得到1號(hào)盤(pán)心節(jié)點(diǎn)Y方向的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)如圖10所示：

圖10　1號(hào)盤(pán)心的幅頻響應(yīng)

在轉(zhuǎn)頻為10Hz時(shí)，Y方向的響應(yīng)幅值為9.999 99×10-6m，約10μm，與理論計(jì)算的結(jié)果一致。這說(shuō)明僅第一級(jí)盤(pán)上有不平衡量時(shí)，若要限制第一級(jí)盤(pán)在Y方向上的最大響應(yīng)位移不超過(guò)10μm，控制盤(pán)上所有不平衡量在此方向上的矢量和不超過(guò)79.624g·cm即可達(dá)到要求。

實(shí)際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的每個(gè)盤(pán)上都有或多或少的不平衡量。這種情況下應(yīng)先計(jì)算每個(gè)盤(pán)上的不平衡量對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡的影響，以轉(zhuǎn)子工作轉(zhuǎn)頻為20Hz時(shí)為例，表5中給出了1kg·m的不平衡量分別分布在不同盤(pán)上時(shí)(同方向)各盤(pán)的響應(yīng)位移。

各盤(pán)的響應(yīng)是各盤(pán)不平衡影響的疊加，根據(jù)表5可以列出在不同的不平衡量分布情況下各盤(pán)的響應(yīng)方程組，如式(4)所示

(4)

表5　不同的不平衡量分布下各盤(pán)響應(yīng)位移

注：負(fù)號(hào)(-)表示節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)方向?yàn)椴黄胶夂狭κ噶康姆捶较颉?/p>

提取系數(shù)矩陣

D=-10-3×

定義列向量U

U=[U1U2U3U4]T

(5)

其中，U1、U2、U3和U4分別為4個(gè)盤(pán)上的不平衡量，此時(shí)4個(gè)盤(pán)的響應(yīng)位移X1、X2、X3和X4通過(guò)公式(6)可以求出

X=[X1X2X3X4]T=DU

(6)

其中，D-1為D的逆矩陣。將計(jì)算求得的不平衡量分別添加在4個(gè)盤(pán)上，利用ANSYS軟件分析不平衡響應(yīng)，各盤(pán)在轉(zhuǎn)頻為20Hz時(shí)的響應(yīng)幅值如表6所示。

表6　各盤(pán)響應(yīng)幅值

由表6可看出，將求解的4個(gè)盤(pán)的不平衡量分別加在盤(pán)上，各盤(pán)的響應(yīng)位移不超過(guò)規(guī)定的最大振動(dòng)幅值，其響應(yīng)幅值與限定的振動(dòng)幅值基本一致，其中的微小誤差來(lái)源于響應(yīng)系數(shù)矩陣與不平衡量的取位精度。這說(shuō)明控制各盤(pán)響應(yīng)幅值計(jì)算得出的各盤(pán)上允許的最大不平衡量是正確的。

5　結(jié)論

文中利用控制位移求響應(yīng)的方法(位移激勵(lì)法)，根據(jù)最大允許的響應(yīng)位移反求出不平衡量的范圍，這對(duì)實(shí)際轉(zhuǎn)子的設(shè)計(jì)及制造有一定的參考價(jià)值。具體結(jié)論如下：

(1)對(duì)比分析同轉(zhuǎn)頻時(shí)不平衡力激勵(lì)和位移激勵(lì)的響應(yīng)情況，結(jié)果表明各盤(pán)的響應(yīng)幅值是一致的，驗(yàn)證了控制位移求響應(yīng)這種方法是可行的；

(2)不平衡激勵(lì)下各盤(pán)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)在臨界轉(zhuǎn)速處出現(xiàn)峰值。位移激勵(lì)下施加激勵(lì)的盤(pán)的幅頻響應(yīng)為一條水平直線(xiàn)，其他各盤(pán)的響應(yīng)曲線(xiàn)在臨界轉(zhuǎn)速不會(huì)出現(xiàn)峰值，而是在不平衡盤(pán)的反共振頻率對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速處出現(xiàn)峰值；

(3)不平衡激勵(lì)可以求出轉(zhuǎn)子各盤(pán)的響應(yīng)，而控制位移反求不平衡量的方法只能求出控制位移的盤(pán)上的不平衡量。這是由于此方法限定一個(gè)盤(pán)的響應(yīng)位移時(shí)，計(jì)算過(guò)程中認(rèn)為此位移是由該盤(pán)上不平衡量引起的，其他盤(pán)均不存在不平衡；

(4)多盤(pán)不平衡響應(yīng)是每個(gè)不平衡盤(pán)分別引起的響應(yīng)的疊加。若要控制轉(zhuǎn)子n個(gè)盤(pán)的響應(yīng)位移就可以列出相應(yīng)的n元方程組，求出對(duì)應(yīng)的n個(gè)盤(pán)上的不平衡量。

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(責(zé)任編輯：宋麗萍英文審校：趙歡)

Reverseanalysisofrotorunbalanceresponse

LIUCui-hong，WANGKe-ming，XIAKun，SHIFeng

(FacultyofAerospaceEngineering,ShenyangAerospaceUniversity,Shenyang110136,China)

Vibrationfaultcausedbyunbalanceisthemostcommonfaultforaero-engine,andthecalculationandanalysisofunbalanceresponseissignificantforthepracticalengineeringapplication.Accordingtotheanalysismethodofrotorunbalanceresponseexcitedbyonediscandmorediscs,areversemethodofthecommonunbalanceresponseanalysis,i.e.displacementexcitationmethodwasproposed.Thismethodanalyzesrotorunbalancebycontrollingonediscormorediscsresponsedisplacement.Theresponsedisplacementsofthediscsexcitedbyunbalanceandtheresponseofthediscsexcitedbytheresponsedisplacementsofunbalancediscswerecomparedandanalyzed.Theresultsshowthattheresponsedisplacementofeachdiscisidenticalforthetwotypesofexcitationatthesamerotatingspeed.Inordertopreventtherubbingcausedbyoverlargedeflectionofrotor,themaximumallowableunbalanceisobtainedbythedisplacementrestrictionmethodaccordingtotheunbalanceresponsesofrotorandunbalancedistributionofthediscs.

rotordynamiccharacteristic;unbalanceresponse;displacementrestrictionmethod;anti-resonance;reverseanalysis

2015-11-18

劉翠紅(1990-),女，山東荷澤人，碩士研究生，主要研究方向：航空發(fā)動(dòng)機(jī)強(qiáng)度、振動(dòng)及噪聲，E-mail：565582372@qq.com；王克明(1954-)，男，遼寧沈陽(yáng)人，教授，主要研究方向：航空發(fā)動(dòng)機(jī)強(qiáng)度、振動(dòng)及噪聲，E-mail:wmk308@126.com。

2095-1248(2016)04-0030-08

V231.92

A

10.3969/j.issn.2095-1248.2016.04.006